建模第三次真題訓練195隊

1、 2016高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。 我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置

2、報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?青島科技大學 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）： 2009高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）： 數(shù)碼相機定位 摘要 本文通過建立相機線型投影模型實現(xiàn)了數(shù)碼相機雙目標定中物象間坐標的轉換，建立針孔線性模型進行相機標定，確立了從物平面到像之間之

3、間一一對應的關系。 首先，本文建立了四個坐標系：世界坐標系、相機坐標系、圖像坐標系、像素坐標系。 針對問題一，依據(jù)光學的小孔成像原理，考慮到相機與物平面不在同一個平面，以及一些畸變因子的干擾，必須要通過空間內坐標變換在像平面和物平面之間找到一一對應的轉換關系，這個轉換過程是由世界坐標系相機坐標系理想圖像坐標實際圖像坐標計算機圖像坐標。建立針孔線性模型，運用直接線性變換的方法，對變換過程中的一系列公式求解后，最終總結出一個算法計算靶標上圓的圓心在像平面的像坐標。 針對問題二，實質上是對問題一所建立的模型的求解過程。由于靶標上的圓映射到像平面后會變形，所以首先取利益中確定在像平面內根據(jù)變形后圓周上

4、的點找到圓心的方法，然后依據(jù)問題一中所建立的模型，根據(jù)五個圓的圓心在物平面和像平面的坐標位置，利用直接線性轉換法結合最小二乘法計算旋轉正交矩陣R和平移矩陣T，從而確立相機與物平面的相對位置。針對問題三，實質上是對問題一所建模型進行的對精度和穩(wěn)定性模型檢驗. 為了檢驗本模型的穩(wěn)定性，本文采用計算機模擬的方法來破壞像的輪廓并進行求解，比較兩個結果就可以判斷模型穩(wěn)定性的好壞。為了簡便起見，本文只考慮輪廓縮小的情況，不考慮輪廓放大的情況。對于輪廓縮小的情況，隨機減少輪廓上的點來模擬圖像輪廓的變化。在輪廓上減少點，利用模擬退火算法求解外公切線交點坐標。 針對問題四，首先每個相機旋轉變換矩陣 R 和平移向

5、量 T， 可以得到兩相機的變換關系：即相對位置關系，并理論推導了從兩相機中像在光心坐標系中的參數(shù)得到物在世界坐標中的參數(shù)，實現(xiàn)雙目定位。 另外在相機的光心和像屏中心的連線垂直于象平面基礎上， 我們還給出另外一種合理模型，通過矢量的方法求出物相對于光心坐標系的精確位置， 從而可以得到兩相機的相對位置關鍵詞 小孔成像；相機標定；針孔線性模型；直接線性變換法； 1、 問題重述數(shù)碼相機定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應用。所謂數(shù)碼相機定位是指用數(shù)碼相機攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機來定位。對物體上一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物

6、體的像，分別獲得該點在兩部相機像平面上的坐標。只要知道兩部相機精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機的相對位置就是關鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標定。標定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個點， 同時用這兩部相機照相，分別得到這些點在它們像平面上的像點，利用這兩組像點的幾何關系就可以得到這兩部相機的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到沒有幾何尺寸的“點”。實際的做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），它們的圓心就是幾何的點了。而它們的像一般會變形，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確

7、地找到，標定就可實現(xiàn)。 現(xiàn)有一個靶標如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，用一位置固定的數(shù)碼相機攝得其像。要求我們處理一下幾個問題：（1） 建立數(shù)學模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標, 這里坐標系原點取在該相機的光學中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對給出的靶標及其像，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標, 該相機的像距（即光學中心到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機分辨率為1024×768；（3）

8、設計一種方法檢驗模型，并對方法的精度和穩(wěn)定性進行討論；（4） 建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數(shù)學模型和方法。2、 模型假設與約定（1）假設相機的焦距是固定的，不存在相機自動調焦的情況，固定兩相機像素單位長度相同（2）假設所給靶標上圓的相對位置以及投影后得到的像圖足夠精確；（3）假設相機兩個方向上的焦距很小，像距約等于焦距；（4）假設靶標像的中心恰好在光軸上；（5）假設兩架相機的相對位置固定且兩架相機在空間中的位置相對固定；（6）假設不考慮光線經過透鏡時的畸變，假設光線是以直線傳播的方式到達光學中心；（7）假設數(shù)碼相機中圖像平面與光軸垂直；（8）假設忽略邊緣圖像顏色不確定帶來的誤差；三、

9、符號說明及名詞解釋序號符號符號說明4、 問題一 模型建立、求解及方案設計4.1問題分析 要求建立確定靶標上圓的圓心在像平面的坐標的模型。由于存在畸變，所以像平面的圖形并不是規(guī)則的形狀，單純從像平面的圖形出發(fā)顯然不能找到這個圓心在像平面的坐標。題目中給出了靶標的尺寸等信息，但是靶標像上的點卻很難與靶標上的點建立起對應關系。因此我們需要將模型簡化，簡化成一個小孔成像的模型，建立物平面到像之間之間一一對應的關系。由于靶標上的圓映射到像平面后會變形，所以首先取利益中確定在像平面內根據(jù)變形后圓周上的點找到圓心的方法，根據(jù)五個圓的圓心在物平面和像平面的坐標位置，利用直接線性變換法結合最小二乘法計算旋轉正交

10、矩陣R和平移矩陣T，從而確立相機與物平面的相對位置。4.2模型建立與求解（一）模型準備：1：有關小孔成像原理的介紹：通過查閱有關資料，我們知道對于小孔成像模型有以下幾個性質（性質的證明略）： 圖一 圖二（1） ：直線經小孔成像后仍然為直線（見圖一）。（2） ：線段中點經小孔成像后所得的點不一定還是像線段的中點（見圖一）。（3） ：若兩直線相交，則兩直線交點的像仍然是兩直線像的交點（見圖二）。（4） ：圓經小孔成像為橢圓（見圖三）。（5）：圓的某一條切線的切點的像，仍然是橢圓的切線，切點的像也是橢圓的切點（見圖三）。 圖三2：有關坐標系的定義和介紹（1）世界坐標系：世界坐標系是用于描述物體空間位

11、置的一個基準絕對坐標系，表示為。相機所拍攝的內容還取決于相機在世界坐標系中的位姿，這個位姿參數(shù)就是相機的外參數(shù)。在本題中為方便求解，設定世界坐標系的原點為正方形靶標的中心，其Z軸垂直于靶標平面，X軸、Y同正方形相鄰邊分別平行。（2）相機坐標系 相機坐標系是以相機的光學中心為原點，以光軸為z軸的坐標系，對應于題中所定義的笛卡爾坐標系，具體表示為：。（3）圖像坐標系 成像平面坐標系：以透鏡光軸和成像平面的交點為原點，軸和軸分別平行于相機坐標系的軸和軸，有效焦距就是光學中心到成像平面的距離。點在理想小孔透視變換模型下的圖像坐標為，考慮到透鏡存在畸變，它的實際成像坐標為；在理想模型中，不考慮相機鏡頭畸

12、變，和重合。（4）像素坐標系相機采集的數(shù)字圖像在計算機內可以存儲為數(shù)組，數(shù)組中的每一個元素稱為像素，像素的值即為圖像點的亮度或灰暗度，若為彩色圖像，則圖像的像素亮度將有紅、綠、藍三種顏色的亮度表示。在圖像上定義直角坐標系，每一像素的坐標，分別是該像素在數(shù)組中的列數(shù)和行數(shù)。所以，是以像素為單位的圖像坐標系坐標。3：關于模型數(shù)據(jù)的預處理根據(jù)問題二的要求，我們知道相機的分辨率為1024×768，為了符合題目的要求，我們通過相關的修圖軟件修改圖片的大小為1024×768像素，去除其它顏色的干擾，轉化成單色圖，即圖像中只有黑白兩種顏色，然后將該圖以1024行、768列的矩陣存入計算機

13、，利用matlab中的edge函數(shù)求出各圓的邊緣點，并將邊緣點的位置坐標保存保存下來，供求解模型使用（求解程序見附錄二）。邊緣點的圖像見圖四：圖四 邊緣點的分布（2） ：模型的建立在拍攝照片的過程中，外界景物經歷了從世界坐標到相機坐標再到平面像坐標的變換，為了建立模型并求解，首先要了解世界坐標系、相機坐標系、平面像坐標系之間的映射流程及其變換。從上面的敘述中我們已經知道世界坐標到平面坐標的映射流程為：世界坐標相機坐標平面像坐標。下面說明各個坐標系之間的變換關系（圖五）。圖五 各個坐標系之間的關系1.世界坐標系到相機坐標系的變換世界坐標系中的坐標轉換為相機坐標系中的坐標包含平移和旋轉兩種變換，用

14、矩陣型時表示為： （4.1）其中，R為旋轉正交矩陣，T為平移矩陣。R決定了相機相對于世界坐標系的方向；T決定了相機相對于世界坐標系的位置。 （4.2）2.相機坐標系和成像平面坐標系的針孔透視變化在理想情況下，根據(jù)針孔相機的幾何結構，用透視投影變換將相機坐標系下的三維坐標變換為圖像坐標系下的而為坐標，有幾何關系（式4.3）： (4.3)式中，為相機焦距。3.成像平面坐標系到計算機坐標系之間的轉換由相機獲得的被測物體的圖像，最終有圖像采集卡變成數(shù)字圖像并輸入計算機。從相機圖像坐標到計算機圖像坐標之間的轉換為： （4.4）式中，為相機坐標實際成像坐標，和分別為水平方向和垂直方向的像素長，為計算機圖像

15、的光學中心坐標。在理想情況下，和重合，得到： （4.5）綜合以上的變換過程，相機的理想變換模型為： （4.6）上式寫成矩陣形式即為： （4.7）（二）相機標定方法直接線性變換方法（DLT）將像點和物點的成像幾何關系在齊次坐標下寫成透視投影矩陣的形式： （4.8）其中，為第i個點在世界坐標系中的其次坐標，為第i個點在圖像坐標系中的圖像坐標，為投影矩陣R的第i行第j列元素，s為未知尺度因子。將上述矩陣方程展開： （4.9）整理式（4.7）（4.9）得： （4.10）再次整理得： （4.11）將上式寫成矩陣形式： （4.12） 將上式簡寫成那么DLT參數(shù)的最小二乘解為： （4.12）知道不同坐標系之

16、間的變換后，我們就能將世界坐標轉化為相機像平面上的坐標。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，以E的圓心為原點，建立空間直角坐標系如圖六所示：zyx5.2.1%wdx.mbound_zb;dqp=0.3;wdx_zb=zb_bound;total_result=;for cs=1:10 zb_bound=wdx_zb; for i=1:5 for j=length(zb_boundi(:,1):-1:1 ranum=rand(1); if ranum<dqp zb_boundi(j,:)=; end end end qj; total_result=total_result,result;end %qj.mqx

17、;res_l=fsolve(fu,1500 1500 1500 1500);load -ascii c.txt;ca=c;oa=res_l(1)*ca(1,:);ob=res_l(2)*ca(2,:);oc=res_l(3)*ca(3,:);od=res_l(4)*ca(4,:);ab=ob-oa;ac=oc-oa;cd=od-oc;bd=od-ob;a3a=(12/124)*ac+(12/124)*ab;a3b=(42/124)*ac+(12/124)*ab;a3c=(112/124)*ac+(12/124)*ab;a3d=(112/124)*ac+(112/124)*ab;a3e=(12/

18、124)*ac+(112/124)*ab;oA=oa+a3a;oB=oa+a3b;oC=oa+a3c;oD=oa+a3d;oE=oa+a3e;A=xj2wl(oA);B=xj2wl(oB);C=xj2wl(oC);D=xj2wl(oD);E=xj2wl(oE);A;B;C;D;E;result=round(wl2xs(A);round(wl2xs(B);round(wl2xs(C);round(wl2xs(D);round(wl2xs(E)%qx.m%求切線主程序cd 'qx'sa;%best=143 285 539 240 177 685 537 613;zb0=best(2

19、) best(1);best(4) best(3);best(6) best(5);best(8) best(7);zb_x=;for i=1:length(zb0(:,1)zb_x=zb_x;wl2xj(xs2wl(zb0(i,:);endsave c.txt zb_x -asciiclear zb0;%fu.mfunction f=fu(l)load -ascii c.txt;oa=l(1)*c(1,:);ob=l(2)*c(2,:);oc=l(3)*c(3,:);od=l(4)*c(4,:);ab=ob-oa;ac=oc-oa;cd=od-oc;bd=od-ob;f(1)=dot(ab,

20、ac);f(2)=dot(ac,cd);f(3)=dot(cd,bd);f(4)=dot(ab,bd);f(5)=norm(ab)-468.72;f(6)=norm(ac)-468.72;f(7)=norm(cd)-468.72;f(8)=norm(bd)-468.72;return;%sa.m%模擬退火算法r=143,285,539,240,177,685,537,613;%初始解zb_y=zb_bound1;zb_bound2;zb_bound3;zb_bound4;zb_bound5;Tm=5;T=Tm;%初始溫度Tn=1;%最低溫度E=;%能量dE=;%能量差k=0;%迭代次數(shù)l=le

21、ngth(r);L0=3;L1=1;%隨機擾動范圍隨溫度變化，最大和最小范圍best=r;zx=mbFunction(r);while T>=Tnk=k+1;h=0;while h=0hh=0;while hh=0r1=r+randomDisturb(l,Tm,T,Tn,L0,L1);if isMatch(r1,zb_y)hh=1;endend%擾動產生一個新可行解E=mbFunction(r1);dE=E-mbFunction(r);if dE<=0r=r1;h=1;elsep=exp(-dE/T);if p>=rand(1)r=r1;h=1;endh=1;endif mo

22、d(k,10)=0T=0.9*T;T;endif E<zxzx=E;best=r;endendendbestmbFunction(best)clear E;clear T;clear Tn;clear dE;clear h;clear hh;clear k;clear l;clear p;clear r1;clear L0;clearL1;clear Tm;clear r;clear zb_y;clear zx;cd '.' 圖六 對靶標建立空間直角坐標系對于圖六所示的坐標系，我們根據(jù)題目中給的已知條件得到在所建的坐標系上，物平面的五個圓的圓心坐標如表一所示：表一 物平面

23、的空間坐標ABCDE坐標（0,0,100）（0,30,100）（0,100,100）（0,100,0）（0,0,0）在得知物平面上圓心坐標的情況下，我們就可以通過方程4.1求出像平面上的圓心坐標，但是R和T這兩個參數(shù)未知，我們可以根據(jù)兩圖中圓心的位置關系求出R,T的值，從而確定相機與物平面的關系。通過圖四可以明顯的看到，像平面上的圓發(fā)生了畸變，說明相機和物平面不平行，而要確定靶標上的圓的圓心在像平面上的坐標，只能通過畸變后的圖像利用有關成像的性質尋該圓的圓心。我們利用小孔成像的性質3和性質4確定了采用最值連線求交點的方法計算靶標在像平面上的圓心，具體的做法如下：為了適應matlab的計算模式，

24、我們以左上角為圓心，橫向為x軸，縱向為y軸建立坐標系（見圖七），在圖中找出x值最大值和最小值點A,C，y值得最大值最小值點B,D，連接AC,BD，它們的交點O即為靶標在像平面上的圓心（可以通過幾何方法加以證明，證明略）。圖七 橢圓圓心的確定下面通過解方程的方法確定交點O：設，解方程4.13可以得到O點的坐標。 （4.13）為了避免在圖中搜索最值的時候出現(xiàn)多個圓的重合現(xiàn)象，我們采用對每一個圓的邊緣值單獨搜索的方法進行計算，最終求出各個圓的最值點的坐標見表二：各個圓的邊緣點集的坐標的計算見附錄二；表二 各個圓邊緣點的最值坐標圓12345x最大坐標（227，315）（233,409）（248,635

25、）（533,280）（531,570）x最小坐標（150,320）（158,425）（177,639）（468,279）（471,582）y最大坐標（180，362）（184，460）（205,674）（489,321）（496,616）y最小坐標（182,284）（197,385）（210,606）（499,248）（499,551）通過求出的邊緣點的最值坐標結合方程4.13,我們能夠求出每個橢圓的中心坐標，也即是在像平面上的圓心坐標（見表三）。表三 像平面上的圓心坐標圓圓心坐標1（181.13，317.98）2（191.30,417.90）3（207.70,637.27）4（494.70,

26、279.41）5（497.82,576.64）現(xiàn)在我們已經求出了實際靶標上的圓心在像平面上的坐標，下面我們就能計算R,T參數(shù)，從而確定方程4.1，然后通過靶標上的坐標計算出不考慮畸變因子的情況下的理想坐標。通過已經建立的物平面和像平面坐標之間的關系模型，借助matlab軟件編程求解可以得到在理論上像平面上的圓心坐標（計算的程序見附錄二），像平面的圓心坐標的理論值見表二： 五、模型的檢驗5.2 穩(wěn)定性檢驗 由于種種原因，像的輪廓上的點很多情況下是難以確定的，而這些難以確定的點常常會影響模型求解的結果。一個好的模型不僅要精確，而且在輪廓出現(xiàn)變化時，模型的結果不能變化太大，即要求模型的穩(wěn)定性要好。

27、為了檢驗本模型的穩(wěn)定性，我們采用計算機模擬的方法來破壞像的輪廓并進行求解，比較兩個結果就可以判斷模型穩(wěn)定性的好壞。為了簡便起見，我們只考慮輪廓縮小的情況，不考慮輪廓放大的情況。對于輪廓縮小的情況，我們可以隨機減少輪廓上的點來模擬圖像輪廓的變化。在輪廓上減少點，利用模擬退火算法求解外公切線交點坐標時，其最優(yōu)解目標函數(shù)值只會比減少錢更小，因此不妨令模擬退火算法的初始點為以上我們模型確定的點 。 令 p 為輪廓上點的保留概率，則輪廓上的點被刪除的概率為 1-p，我們在 3 個不同的 p 值下利用以上模型計算圓心的坐標。 每個 p 值做了 10 次模擬 （模擬程序見附錄5.2.1 ），模擬的結果如下：

28、P總偏移距離平均偏移距離單個點最大偏移距離0.910.0210.850.110.713.4140.26821.414其中每個點的偏移距離即新的圓心與前面模型求解出的圓心之間的距離； 總偏移距離即 10 在一個 p 下 10 次模擬每個點偏移距離的綜合；每個 p 下做 10 次模擬，每次模擬有 5 個坐標，因此每個 p 下有 50 個點，平均偏移距離既為總偏移距離除以 50。表中各數(shù)據(jù)單位為像素。 從以上數(shù)據(jù)可以看出，在輪廓發(fā)生改變后，即使在輪廓損失了近 30% 的信息量時，圓心的平均偏移距離也只有 0.2682，不到一個像素，因此該求解圓心的模型具有很好的穩(wěn)定性。 六、問題四 模型建立、求解及

29、方案設計 6.1問題分析： 問題要求建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數(shù)學模型和方法。用兩部相機進行拍攝定位時，就會存在兩個相機坐標系，所以我們考慮建立兩個世界坐標系可得到兩相機坐標系的轉換關系，就可以得到這兩部相機的相對位置。每個相機旋轉變換矩陣 R 和平移向量 T， 可以得到兩相機的變換關系：即相對位置關系，并理論推導了從兩相機中像在光心坐標系中的參數(shù)得到物在世界坐標中的參數(shù)，我們考慮得到原來在世界坐標系下的物點坐標，這樣我們就可以通過雙目定位的方法，從兩相機中像在光心坐標系中的參數(shù)推導出了物在世界坐標中的參數(shù)，達到了定位的目的6.2 模型建立與求解： 用兩部相機進行拍攝定位時，就會存

30、在兩個相機坐標系，我們記為、，世界坐標系與兩者的關系分別為和,對任意一點，其在世界坐標系與兩個相機坐標系下的坐標為，則由上文可得： 消去得： 令 ,則可得到兩相機坐標系的轉換關系: 對兩相機分別標定，則可得到相應的從而可得兩相機坐標系的轉換關系，即得到這兩部相機的相對位置。因為有: 所以對于世界坐標系里一點P在兩個光心坐標系的兩個像點,有: 式 中 ,、 分 別 為 在 兩 個 光 心 坐 標 系 的 奇 次 坐 標 ，為P在世界坐標系里的奇次坐標。展開上式可得：方程（a） 表示過點在世界坐標系下的直線方程， 方程(b)表示過點在世界坐標系下的直線方程，那么(a) 與(b)聯(lián)立就可以得到兩直線

31、的交點， 即得到原來在世界坐標系下的物點坐標，這樣我們就通過雙目定位的方法， 從兩相機中像在光心坐標系中的參數(shù)推導出了物在世界坐標中的參數(shù)，達到了定位的目的如圖： 現(xiàn)在我們再給出另外一種可行的模型：根據(jù)假設，我們認為相機的光心和像屏中心的連線垂直于象平面。問題一、二中我們已經求得了靶標上圓在像屏上面的坐標， 以攝像機的光心為原點，建立空間中的直角坐標系。平面平行于像平面，Z 軸即為相機的光軸。可以標出象平面上所有點的坐標，這里設為,這三個點對應在靶標平面上的三個點，這樣點 A 的到原點地向量為由于 A，O，在同一條直線上，那么 坐標可以表示為,同理 點的坐標為由于 ABC 三個點之間的相對位置是固定的，也即 AB 、AC 、BC 的長度是已知的，設為，可以得。 即得到三個方程，未知數(shù)為，下面就可以解得三個方程。該方程展開后