電路課件第十三章

1、第13章非正弦周期電流電路和信號的頻譜本章重點13.413.5非正弦周期信號周期函數(shù)分解為葉級數(shù)有效值、平均值和平均功率非正弦周期電流電路的計算對稱三相電路中的高次諧波首 頁 l 重點 1.周期函數(shù)分解為葉級數(shù)2.非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率3.非正弦周期電流電路的計算返 回13.1非正弦周期信號生產實際中，經常會遇到非正弦周期電流電路。在電子技術、自動、計算機和無線電技術等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。(1)(2)不是正弦波按周期規(guī)律變化f (t) = f (t + nT)返 回 頁下 頁l 非正弦周期交流信號的特點例1半波整流電路的輸出信號示波器內

2、的水平掃描電壓例2周期性鋸齒波返 回 頁下 頁例3脈沖電路中的脈沖信號tT返 回上頁下 頁例4交直流共存電路+VEs返 回 頁下 頁13.2周期函數(shù)分解為葉級數(shù)若周期函數(shù)滿足條件：周期函數(shù)極值點的數(shù)目為有限個；間斷點的數(shù)目為有限個；在一個周期內絕對可積，即：Tò0f (t) dt < ¥可展開成收斂的葉級數(shù)注意一般電工里遇到的周期函數(shù)都能滿足條件。返 回 頁下 頁周期函數(shù)展開葉級數(shù)：直流分量（和原函數(shù)同頻）f (t) = A + A cos(w t + f ) +01m11cos(2w t + f ) +L+ A二次諧波（2倍頻）2m12cos(nw t + f )

3、+ A高次諧波nm1n返 回 頁下頁¥f (t) = A0 + å Akm cos(kw1t + fk )k =1也可表示成：A cos(kw t + f ) = a cos kw t + b sin kw tkm1kk1k1系數(shù)之間的關系為：A0 = a0=+ b2Aa2kmkka = Acosfb = - Asin fkkmkkkmkf = arctan - bkkak返 回 頁下 頁¥f ( t) = a0 + åak coskw1 t +bk sin kw1tk =1系數(shù)的計算：= 1TòA = af ( t)d t00T0= 12 f

4、 (t) cos(kw t)d(wòat)k110= 12 f ( t)sin(kw t)d(wòbt)k110求出A0、ak、bk便可得到原函數(shù)f(t) 的展開式。返 回 頁下 頁注意利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化f (t)f (t) = f (-t)= 0bkf (t)f (t) = - f (t)= 0akT/2oT/2tf (t)f (t) = - f (t + T )= b= 0atoT2k2kT/22返 回 頁下 頁T/2oT/2t周期函數(shù)的頻譜圖： kw1Akm的圖形Akmw13w5w117w1ok1fk kw1的圖形返 回 頁下 頁例1周期性方波信號的分

5、解ìTiS0 < t <2Iïmi (t) =IíT2mSï0< t < TtîoT/2T 解 圖示矩形波電流在一個周期內的表：= 1(t)dt = 1dt = ImTiT / 2Iòò直流分量： IOSmTT200= 12 i(wt)sin kwtd(w t)ò諧波分量： bKS0ìï0K為偶數(shù)I1coskwt)= m (-=2I0í m kïî kK為奇數(shù)返 回 頁下頁= 22 i(wt) coskwtd(wt)òakS0= 2

6、Im× 1 sin kwt = 00k= 2ImA =+ a= bb22（k為奇數(shù)）kkkKkis 的展開式為：= Im+ 2Im(sin wt + 1 sin 3wt + 1 sin 5wt +L )iS235返 回 頁下 頁周期性方波波形分解直流分量tt三次諧波七次諧波五次諧波t返 回 頁下頁直流分量+直流分量直流分量+三次諧波三次諧波返 回 頁下頁等效電源iSis1is 3is 5IS0ImtTT/2= Im+ 2Im(sin wt + 1 sin 3wt + 1 sin 5w t +K )iS235is5 is1 is3 IS0返 回 頁下 頁AkmiS矩形波的幅度頻譜Imt

7、T/2Tw3w5w7wo1111= Im+ 2Im(sin wt + 1 sin 3wt + 1 sin 5w t +K )iS2fk35w3w5w7w1111ok1矩形波的相位頻譜-/2返 回 頁下 頁13.3有效值、平均值和平均功率1.三角函數(shù)的性質正弦、余弦信號一個周期內的為0。2 2 sin kwtd(wt) = 0cos kwtd(wt) = 0òò00為p。k整數(shù) sin2、cos2在一個周期內的2 2 wwwwòòt) = t) = sin k2td(cos2ktd(00返 回 頁下 頁三角函數(shù)的正交性2 coskwt × sin

8、 pwtd(wt) = 0coskwt × cos pwtd(wt) = 0ò02 ò02 sin kwt × sin pwtd(wt) = 0ò0返 回 頁下 頁(k ¹ p)2.非正弦周期函數(shù)的有效值¥i(t) = I0 + å Ikmcos(kwt + j )k若k =1則有效值:1Ti (t )TwòI =2d(t)021Téù¥åk =1( wt + j )T=ò+êëI0Ikmcos kú d(t)ûk0

9、返 回上頁下 頁21TTéù¥åk =1( w)Tt + jòI =+êëI0Ikmcos kú d(t)ûk01òI dt = I2200T10Tw t+ fò)dt =I 2cos (k2I2kkm1kT10T2Icos(kwt + f )dt = 0ò0kT01T2Icos(kwt + f )Iò)dt = 0kmk(k ¹ q)T0返 回 頁下 頁I 2¥+ åkm I =I 202k =1周期函數(shù)的有效值為直流分量及各結論次諧

10、波分量有效值平方和的方根。返 回上頁下 頁I =I 2 + I 2 + I 2 + ××××××0123.非正弦周期函數(shù)的平均值¥i(t) = I0 + å Ikmk =1cos(kwt + j )k若其直流值為：其平均值為：正弦量的平均值為：= 1TIcoswt dt = 0.898IòIavmT0返 回 頁下 頁I= 1Ti(wt) dtavT ò0I = 1 òT i(wt)dt = I T004.非正弦周期交流電路的平均功率u(t) = U0+ åUkm cos(kw

11、t + juk )¥k =1¥i(t) = I0 + å Ikm cos(kwt + jik )k =11TP =òu × idtT0利用三角函數(shù)的正交性，得：P = U0 I0 + åUk Ik cosjkk =1= P0 + P1 + P2 + .¥(j = jkuk- j )ik返 回 頁下 頁結論平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率返 回 頁下頁P = U I +U I cosj +U I cosj +L001 1122213.4非正弦周期電流電路的計算1.計算步驟利用葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開干種頻率的諧波信

12、號；對各次諧波分別應用相量法計算；（注意:交流各諧波的 XL、XC不同，對直流L 相于短路。）C相當于開路、將以上計算結果轉換為瞬時值迭加。返 回 頁下頁2.例1計算舉例方波信號激勵的電路。求u,已知：R = 20W、L = 1mH、C = 1000pFIm = 157A、 T = 6.28siSRuCL 解 (1)方波信號的展開式為：iSI2I13+ m (sin wt +sin 3wt +=i m ImS2t+ 1 sin 5wt +L )0T/2T5代入已知數(shù)據(jù)：返 回上頁下 頁= Im= 157 = 78.5A直流分量：I022= 2 ´1.57 = 100 mA= 2Im最

13、大值：Ip1m3.14= 1 I= 33.3AI三次諧波最大值：3m1m3= 1 I= 20AI五次諧波最大值：5m1m52 ´ 3.14角頻率： w = 2 = 106rad/s6.28 ´10-6T返回 頁下 頁電流源各頻率的諧波分量為：= 78.5Ai=100sin106 t AIS 0s1i= 100 sin 5 ×106 t Ai= 100 sin 3 ×106 t As 55s 33（2）對各次諧波分量單獨計算：IS 0IS0（a)直流分量作用uR= 78.5AIS 0U0 = RIS 0 = 20 ´ 78.5´10-6

14、=1.57mV返 回上頁下 頁i=100sin106 tA（b)作用s1- 1 =1= -1kiS1Rw C106 ´1000 ´10-12u1Cw L= 10 ´10-3 = 1kL61XL>>R(R + jX) × ( jX)XXLw) =»-= 50kZ (LCLCR + j( X+ X )1RRCLC100 ´10-65000&&U = I × Z (w）=× 50 =mV11122返 回 頁下頁(c)三次諧波作用 i= 100 sin 3 ×106 tAs 33 1=

15、1= 0.33kWiR3w C3´106 ´1000 ´10-12S 3u1Cw L= 3´10 ´10-3 = 3k36L1(R + jXL3)(- jX)wC 3) =Ð -WZ (3374.589.190R + j( XL3 - XC 3)110-6&&× Z (3w )= 33.3´U= I´ 374.5Ð - 89.1903S 312= 12.47 Ð - 89.20 mV2返 回 頁下 頁i= 100 sin 5 ×106 t(d)五次諧波作用As

16、 55= 0.2kW11iS 5=R5w C5 ´106 ´1000 ´10-12uC1w L= 5 ´10 ´10-3 = 5k56L1(R + jXL5)(- jXC 5)w) =Ð - 89.53 WoZ (5208.3R + j(5XL5- XC 5)1&&-106w )= I× Z (5= 20 ´× 208.3Ð - 89.53°U5s512= 4.166 Ð - 89.53° mV2返 回上頁下 頁(3)各諧波分量計算結果瞬時值迭加：U

17、& = 12.47 Ð - 89.2° mVU0 = 1.57 mV324.166U& = 5000 mVU&=Ð - 89.53omV1252u = U0+ u1 + u3 + u5» 1.57 + 5000 sin wt+ 12.47 sin(3wt - 89.2° )+ 4.166 sin(5wt - 89.53° ) mV返 回 頁下 頁已知: u = 30 +120 cos1000t + 60cos(2000t + ) V.例24求電路中各表讀數(shù)(有效值)。V2L140mHL2A330WmC1A1cd

18、A225mF2V1+uab返 回 頁下頁10C 解 (1)u0=30V作用于電路，L1、L2短路，C1、C2開路。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A,iC10=0,uad0= ucb0 = u0 =30V返 回 頁下頁iC10(2) u1=120cos1000t V作用wLwL = 1000 ´10 ´10-3 = 10= 1000 ´ 40 ´10-3 = 4012111= 40wCwC1000 ´ 25 ´10-6j10W12j40WU&= 120Ð0oV30WI&&IL 211C

19、11dcI&= I&I&= 0-j40W-j40W11L 21U&U&_b= 0+cb11aU&= U&= 120Ð0oV并聯(lián)諧振ad11120Ð0o&&o= jwCU = 3Ð90 AI- j40C1111返 回 頁下頁(3) u2=60cos(2000t+p /4)V作用w= 2000 ´ 40 ´10= 80W,2wL = 2000 ´10 ´10-3 = 20-2L312= 20111=2wC2wC2000 ´ 25 ´10-

20、612j80Wj20WU& = 60Ð45oV30W&I&IC122cdL 22I&= I&= 0I&-j20W-j20W2C122U&_bU&= 0a +2ad2U&= U& = 60Ð45oVcb22U&60Ð45o并聯(lián)諧振&o= 3Ð - 45 AI 1j2wLL 22j202返 回 頁下 頁所求電壓、電流的瞬時值為：i=i0+ i1 + i2 =1A+iC12 =3cos(1000t+90°) AiC1= iC10 +iC11iL2= iL2

21、0 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t- 45°) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45°) V2 = 2.12A表A1的讀數(shù)： I =1A表A2的讀數(shù)：3/+ (3/= 2.35A表A3的讀數(shù)：表V1的讀數(shù)：表V2的讀數(shù)：122)2302 + (120 /2)2= 90V302 + (60 /2)2= 52.0V返回 頁下頁已知u(t)是周期函數(shù)，波形如圖，L=1/2p H， C=125/p mF，求理想變壓器原邊電流i1(t

22、)及輸例3出電壓u2的有效值。 解 w = 2/T = 2´103 rad/su(t) =12 +12cos(w t)ii8W2 : 112+u2*Lu/V當u=12V作用時，電容開路、電感短路，有：2412i = 12 / 8 = 1.5A1u2 = 0o10.5t/ms返回上頁下頁當 u =12 cos(w t)作用時= -1 =- = -4XwC2 ´103 ´125 ´10-6C1振幅相量X= wL = 2 ´103 ´´10-3= 1WL2U&I&128WI&= - j3A1+12Ð

23、;00+U&11j4j4&&U1 = U = 12Ð0 V01&&=ÐUU60 V021n6i =1.5 + 3cos(wt - 900 )AU2 = 4.243V12返 回 頁下頁j4W-j4W已知: u = 2202 coswtV例41 u = 2202 coswt +1002 cos(3wt + 300 )V2求Uab、i、及功率表的讀數(shù)。* W*a+60Wj20WI 解 U=4402 +1002= 451.22V= 440Ð00 VU&ab&一次諧波作用：U1ab(1)+ 440U&&

24、= 6.96Ð -18.4 AI060 + j20(1)2 b三次諧波作用：U&=100Ð300 V測的是u的功率ab(3)1100Ð300I& = 1.18Ð -150 A60 + j60(3)i = 6.962 cos(wt -18.40 ) +1.182 cos(3wt -150 )AP = 220 ´ 6.96cos18.4 =1452.92W返 回 頁下頁已知:is = 5 + 20cos1000t +10cos 3000t A例5L=0.1H，C31mF，C1中只有電流，C3中只有三次諧波電流，求C1、C2和各支路電

25、流。i2C1i3ii1SC3100W200WLC2 解 C1中只有電流，說明L和C2對三次諧波發(fā)生并聯(lián)諧振。即：C= 1 =1Fw2 L9 ´1052返 回 頁下頁C3中只有三次諧波電流，說明L、C1、C2對一次諧波發(fā)生串聯(lián)諧振。即：- L C2 1+8= 0C =FjwCj(wL -1 wC)9 ´101512= iS= 5A直流作用： i1返 回 頁下 頁iSi1100Wi2C1i1i3iSC3100W200WLC2i2 (t) = iS = 20cos1000tA一次諧波作用：三次諧波作用：I&100 ´10= 2.23Ð480 A100

26、+ 200 - j10333(3)30I&= I&- I& =10 -= 8.67Ð -110 A9 - j101(3)S3(3)i (t) =5 + 8.67cos(3000t -11 )A01i (t) = 2.23cos(3000t + 48 )A03返 回 頁下頁13.5對稱三相電路中的高次諧波1.對稱三相電路中的高次諧波u= u(t - 2T )u= u(t - T ),= u(t)u設CAB33葉級數(shù)( k 為奇數(shù))展開，則有：uA = SUm(k ) cos(kw1t + fk ) A相 - 2k)cos(kw t + fu= SU B相 Bm(

27、k )1k3+ 2k)cos(kw t + fu= SUCm(k )1k3返回 頁下 頁C相討論令 k =6n+1，(n =0,1,2)，即：k =1,7,13 各相的分別為：(f )k A相 正序對稱三相電源(f - 4n - 2 )k3(f + 4n + 2 ) C相 k3令 k =6n+3，即：k =3,9,15 返 回上頁下 頁B相各相的 A相 B相 分別為：(f )k零序對稱三相電源(f - (2n +1)2)k(fk + (2n +1)2) C相 令 k =6n+5，即：k =5,11,17 負序對稱三相電源各相的分別為：(f )k A相 B相 (f - (2n + 2)2 + 2 )k3(f + (2n + 2)2 - 2 ) C相 k3返 回 頁下 頁結論三相對稱的非正弦周期量（奇諧波）可分解為3類對稱組，即正序對稱組、負序對稱組和零序對稱組。在上述對稱的非正弦周期電壓源作用下的對稱三相電路的分析計算，按3類對稱組分別進行。對于正序和負序對稱組，可直接有關結論，第12章的方法和2.零序組分量的響應對稱的三角形電源返 回 頁下頁零序組電壓源是等幅同相的電源U&= U&= U&= U&A(k )B(k )C(k )S(