課堂導學（2.2.2反證法）

1、.課堂導學三點剖析一,用反證法證明數學中的根本命題【例1】 求證:質數有無窮多.證明:假如質數的個數有限，那么我們可以將全體質數列舉如下：p1，p2，pk，令q=p1p2pk+1.q總是有質因數的，但我們可證明任何一個pi1ik都除不盡q.假假設不然，由pi除盡q,及pi除盡p1p2pk可得到pi除盡q-p1p2pk，即pi除盡1,這是不可能的.故任何一個pi都除不盡q.這說明q有不同于p1，p2,pk的質因數.這與只有p1，p2，pk是全體質數的假定相矛盾.所以質數有無窮多.溫馨提示 用反證法證明結論是B的命題，其思路是：假定B不成立，那么B的反面成立，然后從B的反面成立的假定出發(fā)，利用一些

2、公理、定理、定義等作出一系列正確的推理，最后推出矛盾的結果，假設同時成認這個結果與題設條件，那么與學過的公理、定理或定義矛盾，這矛盾只能來自“B的反面成立這個假設，因此B必定成立.可見反證法的步驟是：否認結論推出矛盾否認假設肯定結論，其中推出矛盾是證明的關鍵.二,某些數學問題的證明可用反證法【例2】 a、b、c0,1,求證：1-ab,1-bc,1-ca不能同時大于v.證明一:假設三式同時大于，即1-ab>,1-bc>,1-ca>,三式相乘，得：1-aa·1-bb·1-cc>.又1-aa2=.同理，1-bb，1-cc.以上三式相乘得1-aa1-bb1-

3、cc，這與1-aa1-bb1-cc>矛盾，故結論得證.證明二:假設三式同時大于.0<a<1，1-a>0.同理，.三式相加得>,矛盾，原命題成立.溫馨提示 與原命題相反的判斷，如“是的反面是“不是，“有的反面是“沒有，“等的反面是“不等，“成立的反面是“不成立，“有限的反面是“無限，以上這些都是互相否認的字眼，較容易找.應注意以下的否認：“都是的反面為“不都是，即“至少有一個不是不是“都不是；“都有的反面為“不都有，即“至少一個沒有不是“都沒有；“都不是的反面為“部分是或全部是，即“至少有一個是不是“都是；“都沒有的反面為“部分有或全部有，即“至少一個有不是“都有.

4、三,綜合應用【例3】 平面M內有兩相交直線a,b交點為P和平面N平行.求證:平面M平面N.證明:假設平面M不平行平面N,那么M和N一定相交,設交線為c.a平面N,ac.同理bc.那么過c外一點P有兩條直線與c平行.這與公理“過直線外一點有且只有一條直線和直線平行相矛盾.所以假設不成立.所以平面M平面N.溫馨提示 本結論是空間兩平面平行的斷定定理,推出的矛盾與幾何公理相矛盾.各個擊破類題演練 1 證明:1,2不能為同一等差數列的三項.證明:假設1,2為某一等差數列的三項,設這一等差數列的公差為d,那么1=-md,2=+nd.其中m,n為某兩個正整數,由上面兩式消去d,得2m+n=m+n,因為n+

5、2m為有理數,而m+n為無理數,所以n+2mn+m,因此假設不成立,即1,2不能為同一等差數列的三項.變式提升 1 a、b是平面內的兩條直線，求證：它們最多有一個交點.證明:假設直線a、b至少有兩個交點A和B，那么通過不同的兩點有兩條直線，這就與公理“經過兩點有且只有一條直線相矛盾，所以平面內的兩條直線最多有一個交點.類題演練 2證明：方程2x=3有且只有一個根.證明：2x=3，x=log23,這說明方程有一個根.下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的.假設方程2x=3有兩個根b1、b2b1b2.那么2=3,2=3.兩式相除得2-=1.假如b1-b2>0，那么2->1,這與2-b

6、2=1相矛盾.假如b1-b2<0,那么2-<1，這也與2-=1相矛盾.因此b1-b2=0,那么b1=b2.這就同b1b2相矛盾.假如方程的根多于兩個，同樣可推出矛盾.故2x=3有且只有一個根.變式提升 2 反證法證明：a是整數,a2是偶數,求證:a也是偶數.證明：假設a不是偶數,那么a為奇數.設a=2m+1m為整數,那么a2=4m2+4m+1.4m2+m是偶數,4m2+4m+1為奇數,即a2為奇數與矛盾.a一定是偶數.類題演練 3 直線a平面M,平面N過a且和平面M相交于直線b,求證ab.證明：假設aDb.a,b共面,那么它們相交,設交點為A.bM,點A也在平面M內點A在直線b上.又A點在直線a上,故a與平面M有公共點A,這與題設a平面M相矛盾.假設aDb不正確.ab.變式提升 3 a0，證明關于x的方程ax=b有且只有一個根.證明：由于a0，因此方程至少有一個根x=假如方程不只一個