課堂導(dǎo)學(xué)（2.2.2反證法）

1、.課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一,用反證法證明數(shù)學(xué)中的根本命題【例1】 求證:質(zhì)數(shù)有無窮多.證明:假如質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有限，那么我們可以將全體質(zhì)數(shù)列舉如下：p1，p2，pk，令q=p1p2pk+1.q總是有質(zhì)因數(shù)的，但我們可證明任何一個(gè)pi1ik都除不盡q.假假設(shè)不然，由pi除盡q,及pi除盡p1p2pk可得到pi除盡q-p1p2pk，即pi除盡1,這是不可能的.故任何一個(gè)pi都除不盡q.這說明q有不同于p1，p2,pk的質(zhì)因數(shù).這與只有p1，p2，pk是全體質(zhì)數(shù)的假定相矛盾.所以質(zhì)數(shù)有無窮多.溫馨提示 用反證法證明結(jié)論是B的命題，其思路是：假定B不成立，那么B的反面成立，然后從B的反面成立的假定出發(fā)，利用一些

2、公理、定理、定義等作出一系列正確的推理，最后推出矛盾的結(jié)果，假設(shè)同時(shí)成認(rèn)這個(gè)結(jié)果與題設(shè)條件，那么與學(xué)過的公理、定理或定義矛盾，這矛盾只能來自“B的反面成立這個(gè)假設(shè)，因此B必定成立.可見反證法的步驟是：否認(rèn)結(jié)論推出矛盾否認(rèn)假設(shè)肯定結(jié)論，其中推出矛盾是證明的關(guān)鍵.二,某些數(shù)學(xué)問題的證明可用反證法【例2】 a、b、c0,1,求證：1-ab,1-bc,1-ca不能同時(shí)大于v.證明一:假設(shè)三式同時(shí)大于，即1-ab>,1-bc>,1-ca>,三式相乘，得：1-aa·1-bb·1-cc>.又1-aa2=.同理，1-bb，1-cc.以上三式相乘得1-aa1-bb1-

3、cc，這與1-aa1-bb1-cc>矛盾，故結(jié)論得證.證明二:假設(shè)三式同時(shí)大于.0<a<1，1-a>0.同理，.三式相加得>,矛盾，原命題成立.溫馨提示 與原命題相反的判斷，如“是的反面是“不是，“有的反面是“沒有，“等的反面是“不等，“成立的反面是“不成立，“有限的反面是“無限，以上這些都是互相否認(rèn)的字眼，較容易找.應(yīng)注意以下的否認(rèn)：“都是的反面為“不都是，即“至少有一個(gè)不是不是“都不是；“都有的反面為“不都有，即“至少一個(gè)沒有不是“都沒有；“都不是的反面為“部分是或全部是，即“至少有一個(gè)是不是“都是；“都沒有的反面為“部分有或全部有，即“至少一個(gè)有不是“都有.

4、三,綜合應(yīng)用【例3】 平面M內(nèi)有兩相交直線a,b交點(diǎn)為P和平面N平行.求證:平面M平面N.證明:假設(shè)平面M不平行平面N,那么M和N一定相交,設(shè)交線為c.a平面N,ac.同理bc.那么過c外一點(diǎn)P有兩條直線與c平行.這與公理“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和直線平行相矛盾.所以假設(shè)不成立.所以平面M平面N.溫馨提示 本結(jié)論是空間兩平面平行的斷定定理,推出的矛盾與幾何公理相矛盾.各個(gè)擊破類題演練 1 證明:1,2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).證明:假設(shè)1,2為某一等差數(shù)列的三項(xiàng),設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d,那么1=-md,2=+nd.其中m,n為某兩個(gè)正整數(shù),由上面兩式消去d,得2m+n=m+n,因?yàn)閚+

5、2m為有理數(shù),而m+n為無理數(shù),所以n+2mn+m,因此假設(shè)不成立,即1,2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).變式提升 1 a、b是平面內(nèi)的兩條直線，求證：它們最多有一個(gè)交點(diǎn).證明:假設(shè)直線a、b至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，那么通過不同的兩點(diǎn)有兩條直線，這就與公理“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線相矛盾，所以平面內(nèi)的兩條直線最多有一個(gè)交點(diǎn).類題演練 2證明：方程2x=3有且只有一個(gè)根.證明：2x=3，x=log23,這說明方程有一個(gè)根.下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的.假設(shè)方程2x=3有兩個(gè)根b1、b2b1b2.那么2=3,2=3.兩式相除得2-=1.假如b1-b2>0，那么2->1,這與2-b

6、2=1相矛盾.假如b1-b2<0,那么2-<1，這也與2-=1相矛盾.因此b1-b2=0,那么b1=b2.這就同b1b2相矛盾.假如方程的根多于兩個(gè)，同樣可推出矛盾.故2x=3有且只有一個(gè)根.變式提升 2 反證法證明：a是整數(shù),a2是偶數(shù),求證:a也是偶數(shù).證明：假設(shè)a不是偶數(shù),那么a為奇數(shù).設(shè)a=2m+1m為整數(shù),那么a2=4m2+4m+1.4m2+m是偶數(shù),4m2+4m+1為奇數(shù),即a2為奇數(shù)與矛盾.a一定是偶數(shù).類題演練 3 直線a平面M,平面N過a且和平面M相交于直線b,求證ab.證明：假設(shè)aDb.a,b共面,那么它們相交,設(shè)交點(diǎn)為A.bM,點(diǎn)A也在平面M內(nèi)點(diǎn)A在直線b上.又A點(diǎn)在直線a上,故a與平面M有公共點(diǎn)A,這與題設(shè)a平面M相矛盾.假設(shè)aDb不正確.ab.變式提升 3 a0，證明關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個(gè)根.證明：由于a0，因此方程至少有一個(gè)根x=假如方程不只一個(gè)