北京市東城區(qū)普通高中示范校屆高三12月綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)理試題

1、北京市東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題。每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知全集,集合,則為ABCD2是的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件3若，則下列各式正確的是A B C D4在等差數(shù)列中，且，則的最大值是A B C D5如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的體積為A B C D 6下列命題中，真命題是A BC D7已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點在上，=，則到軸的距離為 A B C D 8設(shè)函數(shù)，若互不相等的實數(shù)滿足

2、，則的取值范圍是 A B C D 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.9已知則_.10函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是 11由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為 .12正三角形邊長為2，設(shè)，則_.13已知命題：是奇函數(shù)；。下列函數(shù)：，中能使都成立的是 .（寫出符合要求的所有函數(shù)的序號）.14 集合，集合,，設(shè)集合是所有的并集，則的面積為_.三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明步驟或演算步驟.15（本小題滿分13分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到的圖象？ 1

3、6（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項和為,數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和.   17（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與底面垂直， 分別是的中點，.（1）求證：/平面；（2）若點在線段上，問：無論在的何處，是否都有？請證明你的結(jié)論；（3）求二面角的平面角的余弦值.         18. （本小題滿分13分）橢圓的中心為坐標(biāo)原點，右焦點為，且橢圓過點。的三個頂點都在橢圓上，設(shè)三條邊的中點分別為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)的三條邊所在直線的斜

4、率分別為，且。若直線的斜率之和為0，求證：為定值.   19. （本小題滿分13分）已知函數(shù)（）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對,不等式恒成立，求的取值范圍   20（本小題滿分14分） 將所有平面向量組成的集合記作，是從到的映射，記作或，其中都是實數(shù)。定義映射的模為：在的條件下的最大值，記做.若存在非零向量，及實數(shù)使得，則稱為的一個特征值.（1）若，求；（2）如果，計算的特征值，并求相應(yīng)的；（3）若，要使有唯一的特征值，實數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試找出一個映射，滿足以下兩個條件：有唯一的特征值，,并驗證滿足這兩個條件. 北京市

5、東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案 題號12345678答案CACCBDBD9. 1 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：(1) = = = 6分 最小正周期 單調(diào)遞增區(qū)間 ， 9分 (2) 向左平移個單位；向下平移個單位 13分16解（1） 4分 +3 ， +3，兩式作差：3-=2 10分 (2) = 13分17解：（1）分別是的中點 / 又平面 /平面 3分(2) 在中，/, 平面平面， 平面，平面 平面 平面 所以無論在的何處，都有 8分(3) 由（2）平面又平面 是二面角的平面角在中所以二面角的平面角的余弦值為 14分法二：

6、（2） 是的中點， 又平面平面平面同理可得平面在平面內(nèi)，過作 以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則， ，設(shè)，則， 恒成立，所以無論在的何處，都有（3）由（2）知平面的法向量為= 設(shè)平面的法向量為 則，即 令，則，所以二面角的平面角的余弦值為 14分18解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意知：左焦點為所以，解得， 故橢圓的方程為（方法2、待定系數(shù)法）4分（2）設(shè)，由：，兩式相減，得到所以，即， 9分同理，所以，又因為直線的斜率之和為0，所以 13分方法2：設(shè)直線：，代入橢圓，得到，化簡得以下同。 13分19解：（1）2分當(dāng)時，0-0+遞增極大遞減極小遞增所以，在和上單調(diào)遞增；在上

7、單調(diào)遞減。當(dāng)時，在上單調(diào)遞增。當(dāng)時，+0-0+遞增極大遞減極小遞增所以，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減。8分（2）法一、因為，所以由得，即函數(shù)對恒成立由（）可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，則，成立，故<。當(dāng)，則在上單調(diào)遞增，恒成立，符合要求。當(dāng)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則，即，。綜上所述，。 13分法二、當(dāng)時，；當(dāng)時，由得，對恒成立。設(shè)，則由，得或-0+遞減極小遞增，所以，。 13分20解：（1）由于此時，又因為是在的條件下，有 （時取最大值），所以此時有。4分（2）由，可得：，解此方程組可得：，從而。當(dāng)時，解方程 此時這兩個方程是同一個方程，所以此時方程有無窮多個解，為（寫出一個即可），其中且。當(dāng)時，同理可得，相應(yīng)的（寫出