動能定理的應(yīng)用知識梳理

1、動能定理的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1進(jìn)一步深化對動能定理的理解。2會用動能定理求解變力做功問題。3會用動能定理求解單物體或多物體單過程問題以及與其他運(yùn)動形式的結(jié)合問題。4知道用動能定理解題的一般步驟?！疽c梳理】要點一、動能定理的推導(dǎo)要點詮釋：1推導(dǎo)過程：一個運(yùn)動物體，在有外力對它做功時，動能會發(fā)生變化。設(shè)一個質(zhì)量為m的物體，原來的速度是，動能是，在與運(yùn)動方向相同的恒定外力F的作用下，發(fā)生一段位移，速度增加到，動能增加到。在這一過程中外力對物體所做的功。根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式得到所以或2關(guān)于公式的幾點說明（1）上面我們設(shè)外力方向與運(yùn)動方向相同，導(dǎo)出了關(guān)系式，這時外力做正功，動能增加。外力方向與運(yùn)

2、動方向相反時，上式同樣適用，這時外力所做的功是負(fù)值，動能的變化也是負(fù)值；（2）外力對物體做負(fù)功，往往說成物體克服這個力做了功。因此，對這種情形，也可以說物體克服阻力所做的功等于動能的減少；（3）如果物體不只受到一個力，而是受到幾個力，上述結(jié)論仍舊正確。只是外力所做的功是指各個力所做的功的代數(shù)和，即外力所做的總功。3動能定理的實質(zhì)動能定理揭示了外力對物體所做的總功與物體動能變化之間的關(guān)系，即外力對物體做的總功，對應(yīng)著物體動能的變化，變化的大小由做功的多少來量度。動能定理的實質(zhì)是反映其它形式的能通過做功而和動能轉(zhuǎn)化之間的關(guān)系，只不過在這里其它形式的能并不一定出現(xiàn)，而是以各種性質(zhì)的力所做的機(jī)械功(等

3、式左邊)的形式表現(xiàn)出來而已。要點二、對動能定理的進(jìn)一步理解要點詮釋：1動能定理的計算式為標(biāo)量式，計算外力對物體做的總功時，應(yīng)明確各個力所做功的正負(fù)，然后求其所有外力做功的代數(shù)和；求動能變化時，應(yīng)明確動能沒有負(fù)值，動能的變化為末動能減去初動能。2位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面為參考系。3動能定理公式中等號的意義等號表明合力做的功與物體動能的變化間的三個關(guān)系：（1）數(shù)量相等：即通過計算物體動能的變化來求合力的功，進(jìn)而求得某一力的功。（2）單位相同：都是焦耳。（3）因果關(guān)系：合外力的功是物體動能變化的原因。4動能定理既適用于一個持續(xù)的過程，也適用于分段過程的全過程。5動能定理應(yīng)用廣

4、泛，直線運(yùn)動、曲線運(yùn)動、恒力做功、變力做功、同時做功、分段做功各種情況均適用。要點三、應(yīng)用動能定理的基本步驟要點詮釋：1選取研究對象，明確它的運(yùn)動過程；2分析研究對象的受力情況和各力的做功情況；受哪些力各力是否做功做正功還是負(fù)功做多少功然后求解各個外力做功的代數(shù)和3明確物體在過程的始末狀態(tài)的動能Ek1和Ek2；4列出動能定理的方程及其他必要的解題方程，進(jìn)行求解。要點四、應(yīng)用動能定理時應(yīng)注意的問題要點詮釋：1有些力在物體運(yùn)動的全過程中不是始終存在的，因此在求解物體運(yùn)動過程中外力的總功時，要注意把物體的受力與運(yùn)動結(jié)合分析。2動能定理是計算物體位移和速率的簡潔公式，當(dāng)題目中涉及到位移時可優(yōu)先考慮動能

5、定理。3若物體運(yùn)動過程中包含幾個不同的物理過程，用動能定理解題時可以分段處理，也可取全過程直接列式?！镜湫屠}】類型一、用動能定理求變力做功例1、如圖所示，質(zhì)量為的小球，從半徑的半圓形軌道上的A點開始下滑，A點與圓心O點在同一水平面上，到達(dá)最低點B的速度。求在弧AB段阻力對物體所做的功Wf。（?。舅悸伏c撥】物體在弧AB段運(yùn)動過程中受重力、彈力和阻力作用，其中彈力和阻力是變力，但在此過程中彈力對小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做負(fù)功。在這一過程中，可用動能定理?！窘馕觥恐亓Φ墓ΑＳ蓜幽芏ɡ碛校核浴究偨Y(jié)升華】動能定理既適用于直線運(yùn)動，也適用于曲線運(yùn)動，既適用于恒力做功，也適用于變力做功。力

6、做功時可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的，可以是在一條直線上的，也可以是不在一條直線上的。舉一反三【變式1】在距地面高處，一人以的速度水平拋出一個質(zhì)量為的物體，物體落地時速度大小為，試求：（）（1）人拋出物體的過程中對物體所做的功為多少？（2）飛行過程中物體克服空氣阻力所做的功為多少？【答案】(1)200J (2)88J【解析】（1）拋出物體的過程中，只有人做功，這個過程很短暫，人施加的力可以說是一個瞬間的力，該過程人的功無法用做功公式求解。所以只能用動能定理求解。由動能定理得：（2）飛行過程，物體除受重力作用外，還有空氣阻力做功，由動能定理得：即：解得：【變式2】如圖所示，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)

7、過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動，拉力為某個值時，轉(zhuǎn)動半徑為R，當(dāng)拉力為時，物體仍做勻速圓周運(yùn)動，半徑為2R，則外力對物體做功的大小是（ ）A B C D零【答案】A【解析】設(shè)當(dāng)繩的拉力為時，小球做勻速圓周運(yùn)動的線速度為，則有當(dāng)繩的拉力為時，小球做勻速圓周運(yùn)動的線速度為，則有由動能定理：故答案為A。類型二、動能定理解單體多過程問題例2、如圖所示，物體從高為的光滑斜面頂端由靜止開始沿斜面下滑，最后停在水平面上與斜面頂端水平距離為的地方，物體與斜面和水平面間的動摩擦因數(shù)均為，試證明：.【解析】設(shè)斜面長為，物體在水平面上滑行的位移大小為，下面傾角為。兩個物體的受力圖如下，在斜面上有：在水平

8、面上：對整個過程根據(jù)動能定理列方程則：展開得：因為：所以：【總結(jié)升華】對這種多過程問題，既可以分段利用動能定理列方程求解，也可以對全過程利用動能定理列方程求解，解題時可根據(jù)具體情況選擇使用舉一反三【變式1】如圖所示，光滑1/4圓弧的半徑為0.8m，有一質(zhì)量為1.0kg的物體自A點從靜止開始下滑到B點，然后沿水平面前進(jìn)4.0m，到達(dá)C點停止。g取10m/s2，求：（1）物體到達(dá)B點時的速率。（2）在物體沿水平面運(yùn)動的過程中摩擦力做的功。（3）物體與水平面間的動摩擦因數(shù). 【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）物體在AB過程中，只有重力做功，由動能定理：解得：（2）在水平面上，只有摩擦力做功，由

9、動能定理：解得：（3）由做功公式：【變式2】如圖所示，一質(zhì)量為2 kg的鉛球從離地面2 m高處自由下落，陷入沙坑2 cm深處，求沙子對鉛球的平均阻力【思路點撥】多過程問題要注意各個過程中的受力情況的變化。【解析】解法一：鉛球的運(yùn)動分為自由下落和陷入沙坑減速運(yùn)動兩個過程，根據(jù)動能定理，分段列式設(shè)鉛球自由下落到沙面時的速度為v，則設(shè)鉛球在沙中受到的平均阻力為F，則代入數(shù)據(jù)解得F2020 N 解法二：全程列式：全過程中重力做功mg(H+h)，進(jìn)入沙中阻力做功-Fh，全程來看動能變化為零，則由 得 解得【變式3】質(zhì)量為m=1.5kg的物塊（可視為質(zhì)點）在水平恒力F作用下，從水平面上A點由靜止開始運(yùn)動，

10、運(yùn)動一段距離后撤去該力，物塊繼續(xù)滑行t=2.0s停止在B點。已知A、B兩點間的距離為S=5.0m，物塊與水平面間的摩擦因數(shù)=0.2，求恒力F。（）【思路點撥】本題用運(yùn)動學(xué)和動能定理求解?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)撤去力F前物塊位移為S1，撤去F時物塊的速度為。物塊所受的摩擦力，由運(yùn)動學(xué)公式可得：即S1=1m對整個過程用動能定理：【總結(jié)升華】本題可以有多種解法，運(yùn)用動能定理較為簡單。例3、如圖所示，斜面傾角為，滑塊質(zhì)量為，滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)，從距擋板為的位置以的速度沿斜面向上滑行。設(shè)重力沿斜面的分力大于滑動摩擦力，且每次與擋板碰撞前后的速度大小保持不變，斜面足夠長。求滑塊從開始運(yùn)動到最后停止滑行的

11、總路程。【思路點撥】由于重力沿斜面的分力大于滑動摩擦力，物體雖經(jīng)多次往復(fù)運(yùn)動，最終將停止在擋板處。整個過程中只有重力與摩擦力對物體做功。【解析】摩擦力一直做負(fù)功，其絕對值等于摩擦力與路程的乘積，由動能定理得解得【總結(jié)升華】動能定理只涉及初、末狀態(tài)而不涉及過程中的每一個細(xì)節(jié)，因此對于做往復(fù)運(yùn)動的物體運(yùn)用動能定理解題往往比較簡便，本題也可用牛頓運(yùn)動定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式一步步求解，但十分繁瑣。舉一反三【變式1】如圖所示質(zhì)量為的物體置于光滑水平面，一根繩子跨過定滑輪一端固定在物體上，另一端在力作用下，以恒定速率豎直向下運(yùn)動，物體由靜止開始運(yùn)動到繩與水平方向夾角的過程中，繩中張力對物體做的功為_。v0F【

12、解析】當(dāng)繩與水平方向夾角時，物體的速度為v0vv0F選物體為研究對象，研究物體由靜止開始到繩與水平方向夾角為的過程，根據(jù)動能定理可知，繩中張力對物體做的功等于物體動能的增加。即【變式2】在水平恒力作用下，物體沿光滑曲面從高為的A處運(yùn)動到高為的B處，若在A處的速度為，B處速度為，則AB的水平距離為多大？【思路點撥】用牛頓定律遇到困難，使用動能定理?！窘馕觥緼到B過程中，物體受水平恒力F，支持力N和重力mg的作用。三個力做功分別為、0和，所以動能定理寫為：解得：【總結(jié)升華】從此例可以看出，以我們現(xiàn)在的知識水平，牛頓定律無能為力的問題，動能定理可以很方便地解決，其關(guān)鍵就在于動能定理不計運(yùn)動過程中瞬時

13、細(xì)節(jié)。類型三、動能定理解多體問題例4、如圖所示，用細(xì)繩連接的A、B兩物體質(zhì)量相等， A位于傾角為30°的斜面上，細(xì)繩跨過定滑輪后使A、B均保持靜止，然后釋放，設(shè)A與斜面間的滑動摩擦力為A受重力的0.3倍，不計滑輪質(zhì)量和摩擦，求B下降1m時的速度多大?！窘馕觥拷夥ㄒ唬簩使用動能定理：對B使用動能定理：得：解法二：將A、B看成一整體。（因二者速度、加速度大小均一樣），此時拉力T為內(nèi)力，求外力做功時不計，則動能定理寫為： 二式聯(lián)立解得：【總結(jié)升華】上述兩種解法結(jié)論是一致的，而方法二中研究對象的選擇使解題過程簡化，因而在使用動能定理時要適當(dāng)選取研究對象。舉一反三【變式】一輛汽車通過圖中的細(xì)

14、繩提起井中質(zhì)量為m的物體。開始時，車在A點，繩子已經(jīng)拉緊且是豎直的，左側(cè)繩長為H。提升時，車加速向左運(yùn)動，沿水平方向從A經(jīng)過B駛向C。設(shè)A到B的距離也為H，車過B點時的速度為v。求在車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功。（設(shè)繩和滑輪的質(zhì)量及摩擦不計，滑輪尺寸不計）mQABCHH【解析】本題中汽車和重物構(gòu)成連接體，但解題通常取重物為研究對象，根據(jù)動能定理列方程： （1） （2）由于左邊繩端和車有相同的水平速度v，v可分解成沿繩子方向的兩個分速度，mQABCHHvxv （3）將（3）式和（2）式代入（1）式可得：例5、總質(zhì)量為的列車，沿水平直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)車廂質(zhì)量為，中途脫節(jié)，司

15、機(jī)發(fā)覺時，機(jī)車已行駛的距離，于是立即關(guān)閉發(fā)動機(jī)除去牽引力，設(shè)運(yùn)動的阻力與質(zhì)量成正比，機(jī)車的牽引力是恒定的，當(dāng)列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少?【思路點撥】車頭和脫節(jié)的車廂運(yùn)動情景不同，應(yīng)畫好運(yùn)動示意圖?！窘馕觥拷夥ㄒ唬合犬嫵霾輬D如圖所示，在圖中標(biāo)明各部分的位移對車頭，在脫節(jié)前后的整個過程中運(yùn)用動能定理有： 對末節(jié)車廂，應(yīng)用動能定理有 由位移關(guān)系知： 由于列車脫節(jié)前做勻速運(yùn)動 故 由聯(lián)立得：解法二：設(shè)列車勻速行駛時速度為，則脫節(jié)后，尾部車廂做勻減速運(yùn)動至停止，運(yùn)動過程中初速度為，末速度為零，設(shè)加速度大小為，運(yùn)動位移為對車頭部分的運(yùn)動，作如圖所示分析圖設(shè)在A處脫節(jié)，運(yùn)動至B點時才發(fā)覺，后立即

16、關(guān)閉發(fā)動機(jī)，則AB段上為勻加速運(yùn)動，達(dá)B點時速度有最大值，從B點開始，頭部車廂做勻減速運(yùn)動至D點剛好停止考查BD過程，其中必有一點車速為，設(shè)為C點，則CD過程做初速度為、加速度大小為、末速度為零的運(yùn)動，此段位移與尾部車廂的位移相同由此可知，當(dāng)兩部分都停止運(yùn)動后，兩車的間距大小等于AC的大小 根據(jù)以上分析，取車頭部分為研究對象，取AC過程來分析，依動能定理有：聯(lián)立解得，故兩車都停止后相隔的間距為：解法三：補(bǔ)償法 若脫節(jié)后立即關(guān)閉發(fā)動機(jī)，則車頭、車尾車廂應(yīng)前進(jìn)相同的距離而停在一起現(xiàn)在之所以停下后拉開一段距離，是因為牽引力在的距離上多做了功，因而車頭車廂動能多了一些，使其克服阻力多走一段距離可見，在

17、距離上做的功應(yīng)等于阻力在距離上做的功，即，又，故【總結(jié)升華】用牛頓第二定律解此題后再與應(yīng)用動能定理的解法相比較，動能定理解法的簡便之處是顯而易見的動能定理不需要涉及列車脫節(jié)前后運(yùn)動情況的細(xì)節(jié)，只要根據(jù)始末兩個狀態(tài)給出方程即可從該題還可以看出，動能定理不僅適用于運(yùn)動狀態(tài)不變的過程，也適用于其中包含幾個不同的運(yùn)動狀態(tài)的全過程，不過應(yīng)當(dāng)注意分析各個不同過程的受力情況和做功情況，將全過程所有力做的功的代數(shù)和代入方程可見，運(yùn)用動能定理時要靈活選取過程，過程的選取對解題難易程度有很大影響類型四、動能定理與圓周、平拋運(yùn)動的結(jié)合例6、質(zhì)量為的物體由圓弧軌道頂端從靜止開始釋放，如圖所示， A為軌道最低點，A與圓

18、心O在同一豎直線上，已知圓弧軌道半徑為R，運(yùn)動到A點時，物體對軌道的壓力大小為，求此過程中物體克服摩擦力做的功。 【答案】【解析】A點是圓周的最低點，仍然在圓周上，需要向心力，所以小球在A點的合力提供向心加速度，由牛頓第二定律：解得：在圓弧軌道下滑過程中，由動能定理得：所以：舉一反三【變式1】如圖，一半徑為R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高；質(zhì)量為m的質(zhì)點自軌道端點P靜止開始滑下，滑到最低點Q時，對軌道的正壓力為2mg，重力加速度大小為g。質(zhì)點自P滑到Q的過程中，克服摩擦力所做的功為（ ） A B C D【答案】C【解析】當(dāng)質(zhì)點由P點滑到Q點時，對軌道的正壓力為FN=2mg，由牛頓第二定

19、律得。對質(zhì)點自P滑到Q點應(yīng)用動能定理得：，得：，因此，A、B、D錯，C正確?！究偨Y(jié)升華】典型的曲線運(yùn)動，是非勻速圓周最低點問題與動能定理的綜合?！咀兪?】如圖所示，一個光滑的水平軌道與半圓軌道相連接，其中半圓軌道在豎直平面內(nèi)，半徑為R，質(zhì)量為m的小球以某速度從A點無摩擦地滾上半圓軌道，小球通過軌道的最高點B后恰好做平拋運(yùn)動，且正好落在水平地面上的C點，已知AC=AB=2R,求:（1）小球在A點時的速度大?。?）小球在B點時半圓軌道對它的彈力【答案】；0 【解析】（1）先研究小球從B點平拋到C點過程：豎直方向：水平方向：聯(lián)立解得：從A到B過程，由動能定理：解得：（2）小球在軌道最高點時，假設(shè)除重

20、力外，還受到軌道的彈力N，由牛頓第二定律得：解得：【變式3】如圖，讓質(zhì)量m5kg的擺球由圖中所示位置A從靜止開始下擺。擺至最低點B點時恰好繩被拉斷。設(shè)擺線長1.6m，懸點O與地面的距離OC4m，若空氣阻力不計，繩被拉斷瞬間小球的機(jī)械能無損失。（g10m/s2）求：（1）繩子所能承受的最大拉力T（2）擺球落地的速率v【答案】；【解析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，AB兩點高度差，擺球從A到B過程由動能定理得：解得：在最低點B，小球受力如圖，由牛頓第二定律：解得，所以，繩子能承受的最大拉力為（2）繩子斷裂后，小球做平拋運(yùn)動，由動能定理：解得【總結(jié)升華】分清楚物體運(yùn)動的各個過程，表示出全過程中各力所做的功和初、末態(tài)動能的變化是解題的關(guān)鍵 例7、如圖所示，用一塊長L1=1.0 m的木板在墻和桌面間架設(shè)斜面，桌子高H=0.8 m，長L2=1.5 m。斜面與水平桌面的傾角可在060°間調(diào)節(jié)后固定。將質(zhì)量m=0.2 kg的小物塊從斜面頂端靜止釋放，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)1=0.05，物