利用放縮法證明數(shù)列型不等式VIP

1、 利用放縮法證明數(shù)列型不等式處理數(shù)列型不等式最重要要的方法為放縮法。放縮法的本質(zhì)是基于最初等的四則運(yùn)算，利用不等式的傳遞性，其優(yōu)點(diǎn)是能迅速地化繁為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到事半功倍的效果；其難點(diǎn)是變形靈活，技巧性強(qiáng)，放縮尺度很難把握。對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，在面對(duì)這類(lèi)考題時(shí)，往往無(wú)從下筆本文以數(shù)列型不等式壓軸題的證明為例，探究放縮法在其中的應(yīng)用，希望能拋磚引玉，給在黑暗是摸索的娃帶來(lái)一盞明燈。一、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應(yīng)用1、裂項(xiàng)放縮法：放縮法與裂項(xiàng)求和的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造裂項(xiàng)求和，用于解決和式問(wèn)題。裂項(xiàng)放縮法主要有兩種類(lèi)型：（1）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，在求和時(shí)消去中間

2、的項(xiàng)。例1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，。設(shè)，證明：。證明：易得， =點(diǎn)評(píng)： 此題的關(guān)鍵是將裂項(xiàng)成，然后再求和，即可達(dá)到目標(biāo)。（2）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成項(xiàng)之和，然后再結(jié)合其余條件進(jìn)行二次放縮。例2 已知數(shù)列和滿(mǎn)足，數(shù)列的前和為，； （I）求證：； （II）求證：當(dāng)時(shí)，。證明：（I） （II）由（I）可知遞增，從而，又，即當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：此題（II）充分利用（I）的結(jié)論，遞增，將裂成的和，從而找到了解題的突破口。2、迭乘放縮法：放縮法與迭乘法的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造迭乘形式，相乘時(shí)消去中間項(xiàng)。用于解決積式問(wèn)題。例3 已知數(shù)列的首項(xiàng)為點(diǎn)在直線(xiàn)上。若證明對(duì)任意的 ，不等式恒成立證明： ，所以，即。點(diǎn)評(píng)：此題是證明

3、積式大于根式，由于左邊沒(méi)有根式，右邊是三次根式，立方后比較更容易處理?？梢钥闯墒侨齻€(gè)假分式的乘積，保持其中一項(xiàng)不變，另兩項(xiàng)假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)加1，加2，則積變小，而通項(xiàng)式為的數(shù)列在迭乘時(shí)剛好相消，從而達(dá)到目標(biāo)。3、迭代放縮法：通過(guò)放縮法構(gòu)造遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，從而求解。例4 已知數(shù)列滿(mǎn)足，證明：。 證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。當(dāng)時(shí)，易知 點(diǎn)評(píng)：此題將目標(biāo)式進(jìn)行放縮得到遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，找到解題途徑。4、等比公式放縮法：先放縮構(gòu)造成等比數(shù)列，再求和，最后二次放縮實(shí)現(xiàn)目標(biāo)轉(zhuǎn)化。例5已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿(mǎn)足記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（I）數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（II）求證： 略解：（I） ，。證明

4、：（II）反思：右邊是，感覺(jué)是個(gè)的和，而中間剛好是項(xiàng)，所以利用；左邊是不能用同樣的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，想到，試著考慮將縮小成是等比數(shù)列），從而找到了此題的突破口。二、放縮法的注意問(wèn)題以及解題策略1、明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結(jié)論，是小于某項(xiàng)，則放大，是大于某個(gè)項(xiàng)，則縮小。2、放縮的項(xiàng)數(shù)：有時(shí)從第一項(xiàng)開(kāi)始，有時(shí)從第三項(xiàng)，有時(shí)第三項(xiàng)，等等，即不一定是對(duì)全部項(xiàng)進(jìn)行放縮。3、放縮法的常見(jiàn)技巧及常見(jiàn)的放縮式：（1）根式的放縮：；（2）在分式中放大或縮小分子或分母：；真分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變大；，；假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變小，如；（3）應(yīng)用基本不等式放縮：；（4）舍掉（或加進(jìn)）

5、一些項(xiàng)，如：。4、把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過(guò)當(dāng)，是應(yīng)用放縮法證明中最關(guān)鍵、最難把握的問(wèn)題。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點(diǎn)，只有這樣，才能使問(wèn)題迎刃而解。再看例2，若構(gòu)造函數(shù)，則前后不等號(hào)不一致，不能確定的單調(diào)性，此時(shí)放縮過(guò)當(dāng)，此題不適宜用單調(diào)函數(shù)放縮法。若要證明，則，所以，從而遞增，所以成立，此時(shí)用單調(diào)函數(shù)放縮法可行。同樣的題干，稍有調(diào)整，我們所用的方法便有不同。5、放縮法的策略以及精度的控制例 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足。（I）數(shù)列是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論； （II）求和；（III）求證：。簡(jiǎn)解：（1）（2）；（3）證法一：當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)，= 綜上所述，。證法二：。點(diǎn)評(píng)：兩種證法的不同在于策略的選擇不同。方法一是將放大成，需從第二項(xiàng)起，要分類(lèi)討論；而方法二是將放大成。明顯比大很多，比更接近。從中可