再論實數(shù)系完備性相關(guān)定理的證明

1、學(xué)生研究與討論 -關(guān)于實數(shù)系完備性相關(guān)定理等價性的研究實數(shù)系完備性相關(guān)定理的新證法郎風(fēng)華 （重慶郵電學(xué)院，重慶 400065）摘要：本文首先論證柯西收斂準(zhǔn)則，然后由此出發(fā)依次論證實數(shù)系的其它六個基本定理，并最終形成一個完美的論證“環(huán)”。同時文中指出并驗證有理數(shù)集不具有完備性。關(guān)鍵字：實數(shù)；完備性；柯西收斂準(zhǔn)則；區(qū)間套定理；致密性定理；有限覆蓋定理；聚點定理1 引言實數(shù)系的完備性是實數(shù)的一個重要特征，與之相關(guān)的七個基本定理（確界存在定理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、致密性定理、聚點定理、閉區(qū)間有限覆蓋定理以及柯西收斂準(zhǔn)則）是彼此等價的，它們從不同的角度刻劃了實數(shù)系的完備性或連續(xù)性，并且它們是論證其

2、它一些重要定理和規(guī)則的依據(jù)，如一致連續(xù)性定理等。因此在理論上具有重要價值。傳統(tǒng)的論證方法一般是假定某一定理成立（如假定確定存在定理），然后在此基礎(chǔ)論證其它的定理，這種論證本身具有不嚴(yán)謹(jǐn)性和不可靠性；還有論證方法是從Dedekind切割定理入手，然后論證確界存在定理，但這又帶來了一個問題如何證明戴德金特連續(xù)性公理（Dedekind切割定理，這個定理是戴德金特等人在用有理數(shù)構(gòu)造實數(shù)的工作出給出的證明，但定理的證明相當(dāng)繁瑣且難懂）。柯西收斂準(zhǔn)則給出了極限存在的充要條件，在理論上具有重要價值。筆者就從柯西收斂準(zhǔn)則的證明入手，避開了證明戴德金特連續(xù)性公理等實變函數(shù)的內(nèi)容，從而使問題得以巧妙的解決。本文的

3、論證流程如下圖所示：43876521確界存在定理單調(diào)有界定理Start區(qū)間套定理致密性定理聚點定理有限覆蓋定理柯西收斂準(zhǔn)則 圖1實數(shù)完備性論證流程圖 2 實數(shù)系完備性相關(guān)定理的論證2.1 柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列xnR收斂的充要條件是： 0，NN+, n,mN有|xnxm| 0，NN+, nN及pN+ 有|xn+pxn| 0，N,n,mN有若1，則|xma|-|xna|=(-1)|xna|，由三角不等式知|xma|-|xna|xnxm|，(-1)|xna|xna|，由極限的定義知數(shù)列xn收斂，且。若1，則|xna|-|xma|=(1-)|xna|，由三角不等式知|xna|-|xma|xn

4、xm|，(1-)|xna|xna|，由極限的定義知數(shù)列xn收斂，且。 若=1，則xn+xm=2a或者xn=xm.若xn+xm=2a，則|xnxm|2|xna|xna|,同理由極限定義知xn收斂。，其極限也為a；若xn=xm，|xnxm|0N時，其值已經(jīng)不再變化了，即達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。必要性：數(shù)列xn收斂，不妨設(shè)其極限值為a，即，則由數(shù)項極限收斂的定義知，0，N,n,mN時，有|xna|，|xma|，由三角不等式得，|xnxm|(xna)-(xm-a)|xna|+|xma|+=。綜上知，柯西收斂準(zhǔn)則成立?？挛魇諗繙?zhǔn)則表明實數(shù)列xn必存在實數(shù)極限，這一性質(zhì)集中體現(xiàn)了實現(xiàn)了實數(shù)系的完備性，但是有理數(shù)集并不

5、具有這種完備性：如是由有理數(shù)構(gòu)成的集合，但e，而e是無理數(shù)。從而說明Cauchy收斂準(zhǔn)則在有理數(shù)集中不成立。2.2柯西收斂準(zhǔn)則 確界存在定理上確界的定義：數(shù)集S的最小上界稱為數(shù)集S的上確界，記作=sups。上確界的等價定義1：需滿足(),x；(),使得。上確界的等價定義2：需滿足(),xn時有=()，由此可見數(shù)列是基本列，由柯西收斂準(zhǔn)則知實數(shù)列收斂，不妨設(shè)。下證M即是S的上確界：(),，都有x,而M是的極限且是單調(diào)減少的，xM，即M是S的一個上界；()對由條件(2)知0，故，使得，而M，。由條件(3)知中有S的點（至少），從而由上確界的等價定義2知，M是S的上確界。同理可證“有下界的非空實數(shù)子

6、集必有下確界”。確界定理反映了實數(shù)系連續(xù)性這一基本性質(zhì)，從幾何意義上講就是實數(shù)全體分布在數(shù)軸上并且沒有“空隙”，否則若有“空隙”，則“空隙”的左邊沒有上確界，而“空隙”的右連沒有下確界。而有理數(shù)集在數(shù)軸上是有“空隙”的，因此它不満足確界存在定理，也就是說：Q內(nèi)有上界的集合S未必在Q內(nèi)有它的上確界，如：Tx|xQ, 02，可以證明它在Q內(nèi)是沒有上確界。簡證如下：不妨設(shè)T在Q內(nèi)有上確界，記supT=(m,n并且m,n互質(zhì))，則有13，而是無理數(shù)，故只可能是以下二種情況：(1) 若12，記，從而有0t1, 令r= ，顯然有。及 0。從而說明，這與是T的上確界矛盾。(2) 若23，記，同樣有0tN時，

7、由的單增性知：，即，由極限的定義得：。若是單調(diào)下降的，可用上面類似的方法證明。單調(diào)有界定理是數(shù)列收斂的充分條件，即只有數(shù)列同時滿足有界和單調(diào)這兩個條件，才收斂，若只滿足其中一個條件，則不一定收斂。反之，若收斂，則必有界（收斂數(shù)列必有界），但不一定單調(diào)，如數(shù)列收斂而不單調(diào)。同樣單調(diào)有界定理在有理數(shù)域內(nèi)是不一定成立的。如是由有理數(shù)構(gòu)成的單增有界數(shù)列，但e，而e是無理數(shù)。2.4單調(diào)有界定理 區(qū)間套定理區(qū)間套定理：設(shè)，n=1,2, 是一列有界閉區(qū)間，滿足(),都有,即；() 。則使得，且是一切閉區(qū)間的惟一公共點：。滿足上述兩個條件的閉區(qū)間列稱為區(qū)間套。證明：由條件()知：數(shù)列是單調(diào)增加且有上界(實際上

8、，()都是的上界).同理也可知數(shù)列是單調(diào)減小且有下界(其實，(也都是的下界)。由上述的單調(diào)有界定理得，數(shù)列與都收斂，設(shè)，由條件()知=0+=，且有sup=inf，n=1,2, ，即屬于所有的閉區(qū)間。若也屬于所有的閉區(qū)間，則同樣可得：，n=1,2, ，當(dāng)時，由極限的夾逼性得，由此即說明了區(qū)間套的公共點是惟一的。 區(qū)間套定理由一個閉區(qū)間套來確定惟一的點，其核心思想是把整體的性質(zhì)收縮到局部（某點的領(lǐng)域）。當(dāng)把區(qū)間套定理中的無限閉區(qū)間序列換成開區(qū)間序列或者是無限閉區(qū)間的序列時，所有區(qū)間的公共點就不能保證一定存在，如數(shù)列就找不到滿足條件要求的。利用（是無理數(shù)）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，

9、和過剩近似值序列可以驗證有理數(shù)集不滿足閉區(qū)間套定理。2.5區(qū)間套定理 有限覆蓋定理有限覆蓋定理：任何閉區(qū)間的任何開覆蓋中都存在有限子覆蓋。有限覆蓋定理的另一種描述：設(shè)a,b是有界閉區(qū)間，是一族開區(qū)間，使得(這個開區(qū)間族一般稱為是a,b的一個開覆蓋)，則可從中選出有限個開區(qū)間，使得(這有限個開區(qū)間稱為原來開覆蓋的有限子覆蓋)。證明：令E，反設(shè)，即a,b不能被E中的有限個區(qū)間所覆蓋。現(xiàn)等分a,b為二個子區(qū)間和，則其中至少有一個子區(qū)間不能被E的任何子覆蓋所覆蓋。否則將導(dǎo)致a,b也能被E的有限個子區(qū)間所覆蓋而矛盾。若不能被E中的有限個子區(qū)間所覆蓋，則令=a, =,否則若不能被E中有限個子區(qū)間的覆蓋=，

10、=b。若兩個區(qū)間都不能被E中有限個區(qū)間所覆蓋，則可任選其中之一作為，于是得閉區(qū)間,按同樣的方法把區(qū)間二等分，把不能被E中有限個區(qū)間所覆蓋的那個區(qū)間記作,按上述步驟無限進(jìn)行下去，于是得一閉區(qū)間列,。并且滿足如下條件：(1) ；(2) ；(3)任一都不能被E中的有限個區(qū)間所覆蓋，由條件（1）（2）知，是滿足區(qū)間套定理的閉區(qū)間套，故由閉區(qū)間套定理知，存在惟一的，使得。E覆蓋，而，即。令=min。，由數(shù)列極限的定義知，使得n時，有 n時，有令 ，于是當(dāng)nN時，有，得，即E中有一個區(qū)間可覆蓋所有形如(nN)的區(qū)間。這與條件（3）矛盾，從而假設(shè)不成立，故得證。有限覆蓋定理又叫海涅波雷爾(Heine-Bor

11、el)定理。它把某點領(lǐng)域中的“局部”性質(zhì)擴(kuò)充到整個區(qū)間上，它的重要作用在于把有限轉(zhuǎn)化為無限，從而具有重大的理論價值。對閉區(qū)間成立的有限覆蓋在開區(qū)間和半開半閉區(qū)間中是不成立的，如開區(qū)間集合是開區(qū)間（0,1）的一個開覆蓋，但從中不能取出（0,1）的有限子覆蓋。由此可見，有限覆蓋定理反映了閉區(qū)間的一種特性：緊性，故有時稱有限覆蓋定理為緊性定理。下面舉例說明有限覆蓋定理在有理數(shù)集Q中不成立：把1,2中的所有有理數(shù)集合記作，下面構(gòu)造的一個開覆蓋，使其任何有限開覆蓋都不能蓋住。，存在有理數(shù)，使，這樣就得到了的一個開覆蓋，任取的一個有限開覆蓋，設(shè)為，由于這些開區(qū)間都不含，且其2n個端點都是有理數(shù)，故若設(shè)這2

12、n個有理數(shù)與最靠近的是q，則在q與之間的所有有理數(shù)都在上述n個開區(qū)間之外，從而說明了的任一有限開覆蓋都不能蓋住。2.6有限覆蓋定理 聚點定理定義：設(shè)點集SR， R，如果的任何鄰域中都含有S中異于的點,則稱為點集S的聚點點是點集S的聚點的三個等價定義：（）在的任何鄰域內(nèi)含有S中的無窮多個點；（）在的任何空心鄰域內(nèi)至少含有S中的一個點；（）存在兩兩不相同的點列xn，且。聚點定理：有界無窮點集至少有一個聚點。證明：不妨設(shè)有界無窮點集S,若S有聚點，則必含于內(nèi)?，F(xiàn)反設(shè)內(nèi)的每一點都不是S的聚點，則使得(表示x的鄰域)為有限點集。記,則H為的一個開覆蓋。由有限覆蓋定理知，存在H中的有限個開區(qū)間，使得，由于

13、()為有限集，S為有限點集，與假設(shè)矛盾，故在內(nèi)至少有S的一個聚點。 同樣可以利用（是無理數(shù)）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，來驗證聚點定理在有理數(shù)集Q內(nèi)不成立。2.7聚點定理 致密性定理定義：設(shè)xn一個數(shù)列，而是一列嚴(yán)格單調(diào)增加的自然數(shù)，則也形成一個數(shù)列，稱為數(shù)列xn的子列，記作。致密性定理：任何有界數(shù)列必有收斂的子序列。證明：不妨設(shè)xn是有界數(shù)列，(1)若 ，且在xn中出現(xiàn)無限次，則由這些項構(gòu)成的數(shù)列就是xn的一個收斂子列，其極限就是；(2)若任何一個數(shù)在xn中至多出次有限次，于是xn中無窮多個互不相同的項。從而由這無窮多個互不相同的子項構(gòu)成了子集就是有界無窮點集，由聚點定理知必

14、存在聚點，由聚點的定義知，其任意鄰域內(nèi)都含有無窮多項，現(xiàn)考察它的鄰域，首先在中取一項，記作，又因為在中含xn中的無窮多項，故可在其中下標(biāo)大于的一項，記作，當(dāng)取定之后中，同樣由于在中仍含有xn的無窮多項，故可取下標(biāo)大于的一項，記作，從而得，從而由極限的定義得，為的收斂子序列。 綜上知，致密性定理成立。 致密性定理又叫做波爾查諾維爾斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理，它同有限覆蓋定理一樣，都反映了閉區(qū)間的緊性，因此它也稱做是緊性定理。同樣可以用（是無理數(shù)）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，來驗證致密性定理在有理數(shù)集Q內(nèi)不成立。2.8致密性定理 柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則

15、（充分性部分）：若實數(shù)列滿足：，有則收斂。證明：，有，其中是有界的，由致密性定理知，必存在收斂的子列，不妨設(shè)。(由子列的定義知)，有,即，當(dāng)時，有,由極限夾逼定理知，從而數(shù)列是收斂的?？挛魇諗繙?zhǔn)則（必要性部分）：若實數(shù)列收斂，則滿足：時，有成立。證明：設(shè)xn收斂于，按照收斂的定義，0，N,n,mN時，有|xn|，|xm|，于是|xnxm|(xn)-(xm-)|xn|+|xm|+=。參 考 文 獻(xiàn)1 Botsko MW. A unified trestment of various theorems in elementary analysis, AmerJ. Math, Monthly, 19

16、87(94):450-452.2 Polga G.Szego G. Problems and Theorems in AnalysisM. Spring-Verlag-Berlin,1972.1.3 崔寶同. 數(shù)學(xué)分析的理論與方法M. 北京：科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,1990,94-107.4 胡雁軍，李育生,鄧聚成等.數(shù)學(xué)分析中的證題方法與難題選解M.河南大學(xué)出版社,1987.8,153-160.5 汪林.數(shù)學(xué)分析問題研究與評注M.北京：科學(xué)出版社,1995,38-42.6 葛顯良. 應(yīng)用泛函分析M. 浙江大學(xué)出版社,2002.6,11-14.A Novel Proof for Solving t

17、he Problem about Correlative Theorems of Completability of Real Number Series LANG Feng-hua TIAN You-xian Xian Ji-qing(Chongqing University of Posts & Communications,Chongqing 400065,China)Abstract: In this paper, We present a novel proof scheme for proving Cauchy convergence theorem, then prove the

18、 other correlative theorems based on Cauchy Convergence theorem,and form a ideal proof loop. This paper also point and validate that the rational number dont have a completability.Key Words: Real number; Completability; Cauchy Convergence Rule; Interval Sequence Theorem; Bolzano-Weierstrass Theorem;