六年級(jí)同步 整數(shù)和整除教師版VIP

1、整數(shù)和整除內(nèi)容分析整數(shù)和整除是六年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第一節(jié)內(nèi)容，主要對(duì)整數(shù)的分類和整除的概念進(jìn)行講解，重點(diǎn)是整除的概念理解，難點(diǎn)是整除條件的歸納總結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)一方面為我們后期學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)提供依據(jù)，另一方面也為后面學(xué)習(xí)有理數(shù)奠定基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：整數(shù)的意義和分類知識(shí)精講1、整數(shù)的意義和分類（1）自然數(shù)：零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)；（2）整數(shù)：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)例題解析【例1】 判斷題（若是正確的，請(qǐng)說明理由；若是錯(cuò)誤的，請(qǐng)把它改正確）（1） 最小的自然數(shù)是1 ；（2） 最小的整數(shù)是0；（3） 非負(fù)整數(shù)是自然數(shù)；（4） 有最大的正整數(shù)，但沒有最小的負(fù)整數(shù)；（5） 有最小的正整

2、數(shù)，但沒有最大的負(fù)整數(shù)【答案】（1）×；（2）×；（3）；（4）×；（5）×【答案】【例2】 把下列各數(shù)放入相應(yīng)的圈內(nèi)：15，1，0.2，0，63，0.7，13，0.2323， 整數(shù)自然數(shù)正整數(shù)負(fù)整數(shù)【例3】 （1）試說說正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零、自然數(shù)、整數(shù)之間的關(guān)系；（2）試比較正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零的大??；（3）試比較負(fù)整數(shù)、自然數(shù)的大小【難度】【答案】（1）整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)；自然數(shù)包括正整數(shù)和零； （2）正整數(shù)大于0，負(fù)整數(shù)小于0，正整數(shù)大于負(fù)整數(shù)； （3）自然數(shù)大于負(fù)整數(shù)；【解析】略；【例4】 五個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，已知中間數(shù)是，那么其余四個(gè)數(shù)分別

3、是_、_、_、_若這五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是20，試求這五個(gè)數(shù)【答案】 這五個(gè)數(shù)是：2、3、4、5、6【例5】 有三個(gè)自然數(shù)，其和是13，將它們分別填入下式的三個(gè)括號(hào)中，滿足等式要求：，試求這三個(gè)自然數(shù)【難度】【答案】3，10，0【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，； 則 解得： 這三個(gè)數(shù)是3，10，0【總結(jié)】本題主要是對(duì)題目中條件的理解，同一個(gè)數(shù)可以用不同的形式去表示模塊二：整除的意義知識(shí)精講1、整除的意義整數(shù)除以整數(shù)，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說能被整除；或者說能整除例題解析【例6】 老師問：“當(dāng)時(shí)，時(shí)，能被整除嗎？”一個(gè)同學(xué)回答：“因?yàn)樯淌牵钦麛?shù)，所以能被整除”你認(rèn)為對(duì)嗎？【例7】 下列各

4、組數(shù)中，如果第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除，請(qǐng)?jiān)谙旅娴模?）內(nèi)打“”，不能整除的打“×”18和9（ ）15和30（ ）04和4（ ）14和6（ ）17和35（ ）9和05（ ）【答案】橫向：×××××師生總結(jié)1、 整除的條件是什么？2、 “a能整除b”與“a能被b整除”的區(qū)別是什么？【例8】 已知下列除法算式：57÷7=81；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5（1）表示能除盡的算式有哪幾個(gè)？（2）哪些算式中可以說被除數(shù)能被除數(shù)整除？【難

5、度】【答案】（1）21÷7=3；22÷0.2=110； 22÷5=4.4； 0÷3=0；2÷4=0.5 （2）21÷7=3； 0÷3=0【解析】除盡只要求余數(shù)為零即可，整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；【總結(jié)】本題主要考查整除和除盡的區(qū)別【例9】 把表示下列算式的序號(hào)填入適當(dāng)?shù)目崭駜?nèi)（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷01；（4）18÷3；（5）04÷2；（6）39÷03；（7）27÷9；（8）16÷4除數(shù)能整除被除數(shù)的：_；

6、能夠除盡的：_【難度】【答案】除數(shù)能整除被除數(shù)的：（1）（4）（7）（8）； 能夠除盡的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【解析】除盡只要求余數(shù)為零即可，整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；【總結(jié)】本題主要考查整除和除盡的區(qū)別師生總結(jié)1、 整除與除盡有什么相同點(diǎn)？2、除與除盡有什么不同點(diǎn)？ 【例10】 若兩個(gè)整數(shù)a、b ()都能被整數(shù) c 整除，它們的和、差、積也能被 c 整除嗎？為什么？【難度】【答案】能，原因略；【解析】設(shè)，（是整數(shù)，且）； 則：； ； ； 它們的和、差、積也能被 c 整除 【總結(jié)】本題主要是對(duì)整除的概念的考查及運(yùn)用【例11】 一個(gè)兩位數(shù)，能被5整除

7、，其個(gè)位數(shù)字減十位數(shù)字的差是正整數(shù)中最小的偶數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)【答案】35【例12】 15支鉛筆分給幾個(gè)學(xué)生，每人發(fā)的一樣多且不止1支，并且正好分完，可以分給幾個(gè)人？每人幾支？有幾種分法？【答案】?jī)煞N分法：（1）3個(gè)人，每人5支；（2）5個(gè)人，每人3支【例13】 2015年的教師節(jié)是星期四，老師們可以好好慶祝一下自己的節(jié)日了，同學(xué)們，明年呢？我們能否不查日歷，就能知道2016年的教師節(jié)是星期幾呢？【難度】【答案】星期六【解析】2016是閏年，故2016年的二月有29天，2015年的教師節(jié)與2016年的教師節(jié) 間隔366天，則：， 2016年的教師節(jié)是星期四后面兩天，是星期六【例14】 學(xué)校有10

8、個(gè)興趣小組，各組的人數(shù)如下表：組別12345678910人數(shù)31168101247138一天下午，學(xué)校同時(shí)舉辦語文寫作和英語聽力兩個(gè)講座，已知有9個(gè)小組去聽講座，其中聽英語講座的人數(shù)是聽語文講座人數(shù)的6倍，還剩下一個(gè)小組在教室里討論問題，這一組是第幾組？【難度】【答案】第6組【解析】設(shè)聽語文講座的人數(shù)為，那么聽英語講座的人數(shù)為， 則在教室里的一組人數(shù)為人； 由已知得：，且為整數(shù) 解得：因?yàn)閤為整數(shù)，所以x的取值為10或者11 當(dāng)時(shí)，第6組； 當(dāng)時(shí)，（舍）； 留在教師的是第6組【總結(jié)】本題主要考查如何利用整除解決實(shí)際問題模塊三：因數(shù)和倍數(shù)的意義知識(shí)精講1、因數(shù)和倍數(shù)的意義整數(shù)能被整數(shù)整除，就叫做

9、的倍數(shù)，就叫做的因數(shù)（也稱為約數(shù)）例題解析【例15】 有一個(gè)算式，則可以說_能被_整除，也可以說_能整除_，還可以說_和_是_的因數(shù)，_是_和_的倍數(shù)【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；【例16】 分別寫出12、19和36的因數(shù)，再分別寫出這三個(gè)數(shù)的倍數(shù)（倍數(shù)只需從小到大依次寫3個(gè)）【難度】【答案】12的因數(shù)：1，2，3，4，6，12；倍數(shù)是：12，24，36 19的因數(shù)：1，19；倍數(shù)是：19，38，57 36的因數(shù)：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍數(shù)是：36，72，108【例17】 在圈內(nèi)填寫滿足條件的數(shù)： 18的因數(shù)27的因數(shù) 既是18

10、的因數(shù)又是27的因數(shù)【難度】【答案】18的因數(shù)：1，2，3，6，9，18； 27的因數(shù)：1，3，9，27； 既是18的因數(shù)又是27的因數(shù)：1，3，9【例18】 下列各數(shù)中是否含有相同的因數(shù)，若含有請(qǐng)指出（1）6和9；（2）27和51 【難度】【答案】（1）含有相同的因數(shù)：1和3；（2）含有相同的因數(shù)：1和3【例19】 從小到大依次寫出10個(gè)2的倍數(shù)：_；從小到大依次寫出10個(gè)3的倍數(shù)：_；其中_既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 3，6，9，12，15，18，21，24，27，30； 6，12，18，24，30；【例20】 已知：，則和相同的

11、因數(shù)有哪些？【答案】1，3，5，15【例21】 一個(gè)正整數(shù)只有2個(gè)因數(shù)而且這個(gè)數(shù)比10小，這個(gè)數(shù)可以是多少？【答案】2，3，5，7【例22】 兩個(gè)2位數(shù)的積是216，這兩個(gè)數(shù)的和是多少？【答案】30【解析】， 這兩個(gè)數(shù)是12和18，和是30【總結(jié)】本題主要是對(duì)因數(shù)的概念的綜合運(yùn)用【例23】 1到100之間，因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)的自然數(shù)有哪些？【難度】【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100【解析】因數(shù)是奇數(shù)的數(shù)是平方數(shù)，1100之間的平方數(shù)是1，4，9，16，25，36，49， 64，81，100；【總結(jié)】當(dāng)一個(gè)正整數(shù)是平方數(shù)時(shí)，它的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)【例24】 李明去兒童樂園玩

12、，兒童樂園是1路車和13路車的始發(fā)站，1路車每5分鐘發(fā)車一次，13路車每6分鐘發(fā)車一次現(xiàn)在這兩路車同時(shí)發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又同時(shí)發(fā)車？【答案】15分鐘【例25】 用16塊面積是1平方厘米的正方形，可以拼成多少種形狀不同的長(zhǎng)方形？它的長(zhǎng)和寬分別是多少厘米？【答案】三種：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4師生總結(jié)1、求一個(gè)整數(shù)的因數(shù)的方法有哪些？2、求一個(gè)整數(shù)的倍數(shù)的方法有哪些？3、一個(gè)正整數(shù)的最小的因數(shù)和最大的因數(shù)是什么？4、一個(gè)正整數(shù)最小的倍數(shù)是什么？【例26】 一筐蘋果，2個(gè)一拿或3個(gè)一拿或4個(gè)一拿或5個(gè)一拿都正好拿完沒有余數(shù)，問這筐蘋果最少有多少個(gè)？ 【難度】【答案】60【

13、解析】通過枚舉法會(huì)發(fā)現(xiàn)2、3、4、5的最小的倍數(shù)是60， 所以至少再經(jīng)過30分鐘又同時(shí)發(fā)車【例27】 小明有一本共126張紙的記事本，他依次將每張紙的正反兩面編頁碼，即由第1頁一直編到252頁如果從這本記事本中撕下31張紙，并將它們的頁碼相加，和是否可能等于2010？【答案】不能【解析】31張紙的所有頁碼中，共31個(gè)奇數(shù)和31個(gè)偶數(shù)相加，答案是奇數(shù)，不可能是2010 另：拓展來看， 每一張紙的頁碼和：1+2=3， 3+4=7， 5+6=11， 共同點(diǎn)：加上1后都是4的倍數(shù)， 整體考慮，32頁紙的頁碼和+31應(yīng)是4的倍數(shù)，但2010+31不能被4整除， 所以是不可能的【總結(jié)】奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶

14、數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)【例28】 我們知道，每個(gè)正整數(shù)都有因數(shù)，對(duì)于一個(gè)正整數(shù)，我們把小于的正的因數(shù)叫做的真因數(shù)如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)把一個(gè)正整數(shù)的所有真因數(shù)的和除以，所得的商叫做的“完美指標(biāo)”如10的“完美指標(biāo)”是一個(gè)正整數(shù)的“完美指標(biāo)”越接近1，我們就說這個(gè)數(shù)越“完美”如8的“完美指標(biāo)”是，10的“完美指標(biāo)”是，因?yàn)楸雀咏?，所以我們說8比10完美根據(jù)上述材料，回答下面問題：（1）5的“完美指標(biāo)”是_；（2）6的“完美指標(biāo)”是_；（3）9的“完美指標(biāo)”是_（4）試找出比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)【難度】【答案】 （4）28；【解析】（1）5

15、的“完美指標(biāo)”：； （2）6的“完美指標(biāo)”是： （3）9的“完美指標(biāo)”是：； （4）素?cái)?shù)的“完美指標(biāo)”為，不夠完美； 合數(shù)的真因數(shù)較小，完美指標(biāo)也會(huì)比較小，不夠完美； 所以驗(yàn)證24和28的完美指標(biāo)： 24的“完美指標(biāo)”是：； 28的“完美指標(biāo)”是； 28是比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)【總結(jié)】本題主要是考查學(xué)生的理解能力，通過對(duì)題目中新的概念的理解，利用概念去解決新的問題模塊四：能被2、5整除的數(shù)知識(shí)精講1、能被2整除的數(shù)能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0，2，4，6，8的整數(shù)；能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)2、能被5整除的數(shù)能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0或

16、5的整數(shù)3、能同時(shí)被2、5整除的數(shù)能同時(shí)被2和5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0的整數(shù)例題解析【例29】 已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇數(shù)？哪些是偶數(shù)？【難度】【答案】奇數(shù)：11，15，19，123，787； 偶數(shù)：32，56，312，566【例30】 已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的數(shù)有_【難度】【答案】25，70，105，370【例31】 在圈內(nèi)寫出滿足條件的數(shù)：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760 能被2整除的數(shù)能被5整除的數(shù)能同時(shí)被2和5整除的數(shù)【難度】【答案】

17、能被2整除的數(shù)：12，40，80，94，210，354，760； 能被5整除的數(shù)：25，40，75，80，105，210，465，760； 能同時(shí)被2和5整除的數(shù)：40， 80，210，760【例32】 三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)的和是54，則其中最小的一個(gè)是_【難度】【答案】16【例33】 請(qǐng)判斷下列算式的結(jié)果是偶數(shù)還是奇數(shù)，偶數(shù)則打“”，奇數(shù)則打“×”（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）【答案】橫向： ×× × 【例34】 的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？請(qǐng)說明理由【答案】奇數(shù)師生總結(jié)1、 奇數(shù)偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有哪些？【例35】 用0、1、2、3這四個(gè)數(shù)字排

18、成一個(gè)四位數(shù)，要使這個(gè)數(shù)有因數(shù)2，有幾種不同的排法？要使這個(gè)數(shù)能被5整除，有幾種不同的排法？【難度】【答案】有因數(shù)2： 10種；有因數(shù)5： 6種【解析】有因數(shù)2，則個(gè)位數(shù)字是2或0，則有1230，1320，2130，2310，3120，3210，1032， 1302，3012，3102，共10種； 有因數(shù)5，則個(gè)位數(shù)字是0，則有1230，1320，2130，2310，3120，3210，共6種；【總結(jié)】本題主要考查如何利用能同時(shí)被2和5整除的數(shù)的特征來進(jìn)行數(shù)字的排列組合【例36】 下面的乘式的積中，末尾有多少個(gè)0？【難度】【答案】7個(gè)【解析】每一個(gè)因數(shù)中所含的因數(shù)是5和2的個(gè)數(shù)，決定結(jié)果中0的

19、個(gè)數(shù)； 將130中的數(shù)分解素因數(shù)，有7個(gè)5和多于7個(gè)2，結(jié)果中有7個(gè)0【總結(jié)】本題是一道比較綜合的題目，主要考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】 先把下列各數(shù)放入正確的圈內(nèi)，然后把這些數(shù)按照從小到大的順序排列，并說明其中最小的正整數(shù)，最小的自然數(shù)，最大的負(fù)整數(shù)分別是哪個(gè)？1，2，0.3，15，0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732，8，10整數(shù)自然數(shù)正整數(shù)負(fù)整數(shù)【難度】【答案】整數(shù)：1，2，15，0，1，8，10； 自然數(shù)：2，15，0，1，10； 正整數(shù)：2，15，1，10； 負(fù)整數(shù)：1，8； 從小到大排序?yàn)椋?，1，0.7，0.3，0，0.3，1，2，3.83，4

20、.732732， 10，15； 其中最小的正整數(shù)是1，最小的自然數(shù)是0，最大的負(fù)整數(shù)是1【習(xí)題2】 一個(gè)三位數(shù)，能被2整除時(shí)，中最大填_；能被5整除時(shí)，中最小填_【答案】8，0【習(xí)題3】 判斷題：(1) 若，則一定能整除（ ）(2) 整數(shù)的最大因數(shù)正好等于整數(shù)的最小倍數(shù)，則一定大于 （ ）(3) 因?yàn)?，所以是的倍?shù)（ ）(4) 因?yàn)檎麛?shù)7421中包含了數(shù)字2，所以7421一定能被2整除（）【難度】【答案】× × × × 【習(xí)題4】 已知，那么的全部因數(shù)的個(gè)數(shù)是(）A10個(gè)B12個(gè)C14個(gè)D16個(gè)【難度】【答案】D【解析】本身和1：2個(gè)；任意一個(gè)數(shù)：4個(gè)；

21、任意兩數(shù)乘積：6個(gè)； 任意三個(gè)數(shù)乘積：4個(gè)；2+4+6+4=16個(gè) 【總結(jié)】本題主要考查如何去根據(jù)乘積的形式去求一個(gè)正整數(shù)的所有因數(shù)【習(xí)題5】 一個(gè)正整數(shù)既是48的因數(shù)，又是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)可以是多少？【難度】【答案】3，6，12，24，48【解析】48的因數(shù)有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48， 其中是3的倍數(shù)的是3，6，12，24，48【總結(jié)】本題主要考查因數(shù)和倍數(shù)的概念【習(xí)題6】 如果表示的全部因數(shù)的和，如，則_【難度】【答案】7【解析】（18）=1+2+3+6+9+18=39，（21）=1+3+7+21=32， （18）（21）=7【總結(jié)】本題主要考查學(xué)生的理解能力，通過對(duì)

22、的理解完成相關(guān)的計(jì)算【習(xí)題7】 用0、2、5、8這四個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中，能被2整除的數(shù)有多少個(gè)？【難度】【答案】10個(gè)【解析】能被2整除的數(shù)個(gè)位數(shù)字是0，2，4，6，8，所以有2580，2850，5280，5820，8250， 8520，5082，5802，8052，8502，共10個(gè)【總結(jié)】本題主要考查如何利用能被2整除的數(shù)的特征來進(jìn)行數(shù)字的排列組合【習(xí)題8】 先把一個(gè)數(shù)的末位非零的數(shù)字割去，并在上位加上所割去數(shù)的4倍，然后再將和數(shù)的末位數(shù)割去，并在上位加上所割去數(shù)的4倍，這樣繼續(xù)下去，直到能夠很容易看出和數(shù)是不是13的倍數(shù)為止若是13的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)就是13的倍數(shù)試判斷下列各數(shù)，哪些是1

23、3的倍數(shù)？（寫出具體過程）（1）9062；（2）12805；（3）158506【難度】【答案】（2）12805是13的倍數(shù)【解析】（1）9062： 906+8=914， 91+16=107， 10+28=38，不是13的倍數(shù)； （2）12805： 1280+20=1300，是13的倍數(shù)，故12805是13的倍數(shù)； （3）158506： 15850+24=15874， 1587+16=1603， 160+12=172， 17+8=25， 不是13的倍數(shù)；【總結(jié)】本題主要考查對(duì)13的倍數(shù)的概念的理解及運(yùn)用課后作業(yè)【作業(yè)1】 是否存在最小的的正整數(shù)，負(fù)整數(shù)，自然數(shù)；是否存在最大的正整數(shù)，負(fù)整數(shù)，自然

24、數(shù)？如果有，請(qǐng)寫出是哪個(gè)數(shù)【難度】【答案】最小的正整數(shù)是1，最小的負(fù)整數(shù)不存在，最小的自然數(shù)是0，不存在最大的正整數(shù)，最大的負(fù)整數(shù)是1，不存在最大的自然數(shù)【作業(yè)2】 78的因數(shù)有哪些？把其中的奇數(shù)和偶數(shù)分別填入相應(yīng)的圈內(nèi)奇數(shù)偶數(shù)【難度】【答案】奇數(shù)有1，3，13，39，偶數(shù)有2，6，26，78【作業(yè)3】 求26以內(nèi)能被5整除的所有數(shù)的和【難度】【答案】75【作業(yè)4】 在黑板上，先寫出三個(gè)自然數(shù)1、3、5，然后任意擦去其中的一個(gè)，換成所剩兩個(gè)數(shù)的和照這樣進(jìn)行100次后，黑板上留下的三個(gè)數(shù)中有幾個(gè)奇數(shù)？它們的乘積是奇數(shù)還是偶數(shù)？【難度】【答案】三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)奇數(shù)，乘積為偶數(shù)【解析】第一次擦除，變?yōu)槠嫫媾迹?第二次分為兩種情