分析力學(xué)習(xí)題VIP

1、第15章 虛位移原理解題的一般步驟及應(yīng)注意的問題解題的一般步驟（）根據(jù)題意，分清所分析的問題是屬于哪一類問題求平衡條件；求約束反力；求桁架內(nèi)力。（2）分析約束的性質(zhì), 畫主動力的受力圖.系統(tǒng)以外的物體對它的作用力；非理想約束的約束反力；因解除約束而“轉(zhuǎn)化”為主動力的約束反力或內(nèi)力。（3）確定系統(tǒng)的自由度，應(yīng)包括因解除約束而增加的自由度。選擇合適的坐標(biāo)做廣義坐標(biāo)。（4）給出系統(tǒng)的虛位移，采用如下方法計(jì)算主動力作用點(diǎn)的虛位移與廣義坐標(biāo)虛位移間的關(guān)系：幾何法：運(yùn)用運(yùn)動學(xué)中分析速度的方法，進(jìn)行計(jì)算。分析法：先選一靜坐標(biāo)系，用廣義坐標(biāo)寫出主動力（力矩）作用點(diǎn)的坐標(biāo)分析表達(dá)式，然后再對廣義坐標(biāo)取變分，進(jìn)行

2、計(jì)算。（5）建立虛功方程，計(jì)算各主動力在給定虛位移中的虛功，建立虛功方程，確定平衡條件，求出待求的參量。2.應(yīng)注意的問題1應(yīng)用虛位移原理，一般都是以整個系統(tǒng)為研究對象，不宜選取分離體。2計(jì)算彈性力在虛位移中的虛功時(shí)， 彈性力的大小與虛位移的大小無關(guān)。3在計(jì)算轉(zhuǎn)動剛體（或平面運(yùn)動剛體）上的主動力的虛功時(shí)，如果把主動力的虛功轉(zhuǎn)化為主動力對轉(zhuǎn)動軸（或瞬時(shí)轉(zhuǎn)動軸）之力矩的虛功，可能簡便些。三、典型例題分析例1 圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu), 在曲柄OA上作用一力偶矩為M的力偶, 欲使機(jī)構(gòu)在圖示位置保持平衡, 試求加于滑塊B上的水平力P應(yīng)為多大? 已知OA=a, AB=b, 在圖示位置AB與水平線的夾角a=30&#

3、186;BPdrBdrAayOjAy解: 這是屬于求主動力的平衡條件的問題。作用于系統(tǒng)和主動力有和。系統(tǒng)受完整約束，有一個自由度，當(dāng)機(jī)構(gòu)有虛位移時(shí)，作定軸轉(zhuǎn)動，曲柄作平面運(yùn)動，滑塊作平動。令桿的虛位移為j，則點(diǎn)虛位移為drA, B點(diǎn)虛位移為drB, AB桿的虛位移為繞瞬心C的微小轉(zhuǎn)角y, 機(jī)構(gòu)的虛位移如圖。根據(jù)虛位移原理得：drBj（）代入（）式得：15-1 圖示曲柄式壓縮機(jī)的銷釘B上作用有水平力F，此力位于平面ABC內(nèi)。作用線平分。設(shè)AB = BC，各處摩擦及桿重不計(jì)，求對物體的壓縮力。解：令B有虛位移，而C有鉛直向上的虛位移，如圖（a）。將及向BC方向投影，為簡單起見，以表示的絕對值，以表

4、示，則有即（1）由虛位移原理得（2）將式（1）代入（2）得15-3 挖土機(jī)挖掘部分示意如圖。支臂DEF不動，A、B、D、E、F為鉸鏈，液壓油缸AD伸縮時(shí)可通過連桿AB使挖斗BFC繞F轉(zhuǎn)動，EA = FB = a。當(dāng)時(shí)桿，此時(shí)油缸推力為F。不計(jì)構(gòu)件重量，求此時(shí)挖斗可克服的最大阻力矩M。解：由虛功原理： （1）式中（2） A、B的虛位移向AB投影（3）式（2），（3）代入（1）得15-5 在圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄OC繞O軸擺動時(shí)，滑塊A沿曲柄滑動，從而帶動桿AB在鉛直導(dǎo)槽K內(nèi)移動。已知：OC = a，OK = l，在點(diǎn)C處垂直于曲柄作用一力F1；而在點(diǎn)B沿BA作用一力F2。求機(jī)構(gòu)平衡時(shí)F2與F1的關(guān)系

5、。解：用解析法解，選取為廣義坐標(biāo)，則滑塊A的約束方程 （1）由虛位稱原理（2）把式（1）代入（2）得因，于是有 故15-7 圖示滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動桿CD在鉛直滑道上滑動，已知時(shí)彈簧為原長，彈簧剛性系數(shù)為5 kN/m。求在任意位置平衡時(shí)，應(yīng)加多大的力偶矩M？ 解：解除彈簧約束，代之以彈性力F及。 已知時(shí)彈簧原長為0.3 m，在任意角時(shí)，彈簧，此時(shí)彈簧的縮短量為。故彈性力取x軸沿AB桿，設(shè)D點(diǎn)沿桿的坐標(biāo)為xD，而選取為廣義坐標(biāo)，則滑塊D的約束方程為，另外有xB = 常量，由虛位移原理把F及的表達(dá)式代入上式得 把k = 5000 N/m代入求得 15-9 在圖示機(jī)構(gòu)中，曲柄AB和連桿B

6、C為均質(zhì)桿，具有相同的長度和重量W1?；瑝KC的重量為W2，可沿傾角為的導(dǎo)軌AD滑動。設(shè)約束都是理想的，求系統(tǒng)在鉛垂面內(nèi)的平衡位置。解：取為廣義坐標(biāo)，另作坐標(biāo)系A(chǔ)xy，設(shè)AB = BC = l因 對坐標(biāo)的變分： 由虛位移原理即因，故有即故15-11 圖示均質(zhì)桿AB長為2l，一端靠在光滑的鉛直墻壁上，另一端放在固定光滑曲面DE上。欲使細(xì)桿能靜止在鉛直平面的任意位置，問曲面的曲線DE的形式應(yīng)是怎樣的？解：作坐標(biāo)系Dxy，由于桿AB只受主動力W作用，根據(jù)虛位移原理 ，故yC = 常量 桿在鉛直位置時(shí)yC0 = l ， yC = l 桿在任意位置時(shí)yC = yA + lcos， 即 消去得DE曲線方程

7、由方程知，DE曲線為中心在（0，l）長短半軸分別為2l和l的橢圓的一部分。如坐標(biāo)系Dxy向上平移l距離，則DE曲線方程與書中答案一致。15-13 半徑為R的滾子放在粗糙水平面上，連桿AB的兩端分別與輪緣上的A點(diǎn)和滑塊B鉸接?，F(xiàn)在滾子上施加矩為M的力偶，在滑塊上施加力F，使系統(tǒng)于圖示位置處平衡。設(shè)力F為已知，忽略滾動摩阻和各構(gòu)件的重量，不計(jì)滑塊和各鉸鏈處的摩擦，試求力偶矩M以及滾子與地面間的摩擦力Fs。解：作功力M，F(xiàn)，虛功方程為：，向AB投影： M = 2RF ，F(xiàn)s = F15-15 試用虛位移原理求圖示桁架中桿3的內(nèi)力。解：將BD桿解除代之以力F及。令C點(diǎn)有虛位移，則B點(diǎn)必有虛位移D點(diǎn)必有

8、虛位移，如圖（a）。由虛位移原理即 （1）由圖（a）可見，ACD框的轉(zhuǎn)軸在A點(diǎn)，CB桿的瞬心在E點(diǎn)故及所以 （2）由式（1）、（2）得（拉力） 例15-4 在水平面內(nèi)運(yùn)動的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖15-4所示。均質(zhì)系桿OA的質(zhì)量為m1，它可繞端點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，另一端裝有質(zhì)量為m2，半徑為r的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半為R的固定大齒輪純滾動。當(dāng)系桿受力偶M的作用時(shí)，試求系桿的角加速度。圖15-4【解】 機(jī)構(gòu)具有一個自由度，選系桿的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。設(shè)系桿對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO，小齒輪對其質(zhì)心A的轉(zhuǎn)動慣量為JA，小齒輪的絕對角速度為，則A點(diǎn)的速度為小齒輪的角速度系統(tǒng)的動能等于系桿的動能和小齒輪的動

9、能之和，即與廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力將上兩式代入拉氏方程例題2 三鉸拱如圖所示,求支座B的約束反力。PCmaaa BA解: (1)求支座B的鉛垂反力, 解除支座B的鉛垂約束,代之約束反力YB ,如圖所示, 該系統(tǒng)有一個自由度: AC繞A定軸轉(zhuǎn)動, BC做平面運(yùn)動, 瞬心為A, 畫虛位移圖如圖。利用虛位移圖，drC =(AC)dq1 =(AC)dq2 dq1 = dq2 = dq 利用虛位移圖計(jì)算虛功 dW(m) = mdq1 dW(P) = aPdq2由虛位移原理，m dq+ aPdq -2aYBdq = 0 PCdrCmYBadq1BdrBdq2A(2)求支座B的水平反力, 解除支座B的水平約束

10、, 代之約束反力XB ,如圖所示, 該系統(tǒng)有一個自由度: AC繞A定軸轉(zhuǎn)動, BC做平面運(yùn)動, 瞬心為I, 畫虛位移圖如圖。利用虛位移圖得:drC = (AC) dq1 = (IC) dq2dq2dq2CPmdrCdq1drBXBBAdq1 = dq2 = dq 利用虛位移圖計(jì)算虛功 dW(m) = m dq1 dW(P) = aPdq2dW(XB) = 2aXBdq2 由虛位移原理得: m dq1+ aPdq2+2aXBdq2=0例題3 組合梁結(jié)構(gòu)受荷載如圖示，P1=10kN, q=1.6kN/m, P2=15kN, M=40kNm,求固定端支座A的約束反力。60º24P2P1CM

11、2q22D22AB解: (1)求固定端支座A的反力偶, 解除固定端約束,代之反力偶MA 和固定鉸支座A, 如圖所示, 作用在系統(tǒng)上的主動力有MA、M、P1、P2以及均布荷載的合力Q。該系統(tǒng)有一個自由度: AC繞A定軸轉(zhuǎn)動, BC做平面運(yùn)動, 瞬心為I, 畫虛位移圖如圖。利用虛位移圖得: dq2 = dq1=1.25dq1 drB=(AB)dq1 =(BI)dq2 dq3= dq2=0.5dq1 drC=(IC)dq2=(CD)dq3 P2IdrBdq2dq1Q24P1CMDABdrCdq2dq3MAdW(MA) = MAdq1 dW(M) = Mdq3dW(P1) = -2P1dq1利用虛位移

12、圖計(jì)算虛功dW(P2) = -P2´dq2+P2´dq2dW(Q) =-Q´1dq1由虛位移原理得: MAdq1+ Mdq3-2P1dq1+(-P2dq2+ P2´dq2)-Qdq1=0 MA=7.685kN·m(2)求固定端支座A的水平反力, 解除固定端約束,代之以水平反力XA 和滑塊A, 該滑塊固結(jié)于A端， 只能水平方向自由滑動，如圖所示, 作用在系統(tǒng)上的主動力有XA、M、P1、P2以及均布荷載的合力Q。該系統(tǒng)有一個自由度: AB做平動, CD做定軸轉(zhuǎn)動，BC做平面運(yùn)動，瞬心為I。畫虛位移圖如圖。由虛位移圖得：drA=dBI=8，XA BP

13、2IdrBdq1QP1CMDAdrCdq2dq1drA由虛位移原理得:解得：XA=17.547kN (3)求固定端支座A的鉛直方向的反力YA, 解除固定端約束,代之以鉛直反力YA 和滑塊A, 該滑塊固結(jié)于A端， 只能鉛直方向自由滑動，如圖所示, 作用在系統(tǒng)上的主動力有YA、M、P1、P2以及均布荷載的合力Q。該系統(tǒng)有一個自由度: AB做平動, BC做平面運(yùn)動， 瞬心在C點(diǎn)。CD不動。畫虛位移圖如圖。由虛位移原理得:AYABP2drBQP1CMDdrAYA= 16.495kNKNkK例4 求圖示桁架1、桿的內(nèi)力。1260°60°BAPP 解：(1) 求1桿的內(nèi)力S1，解除1桿

14、，用內(nèi)力S1和S¢1代替（假設(shè)為拉力），如圖所示, 作用在系統(tǒng)上的主動力有P、P、S1和S¢1。該系統(tǒng)有一個自由度: ADEFG做定軸轉(zhuǎn)動, BFH做平面運(yùn)動， 瞬心在B點(diǎn)。畫虛位移圖如圖。利用虛位移圖得:drF =2adq1 = adq22dq1 = dq2利用虛位移圖計(jì)算虛功S¢1S160°60°dq1drFABPPdq2dW(S1) = - 0.87aS1dq1dW(P) = - aPdq1dW(P) = -2aPdq1 dW(S2) = - 0.87aS2dq2由虛位移原理得:0.87aSdq1 - aPdq1 - 2aPdq1 - 0.87aSdq2 = 0S1 = 1.15P (2) 求2桿的內(nèi)力S2，解除2桿，用內(nèi)力S2和S¢2代替（假設(shè)為拉力），如圖所示, 作用在系統(tǒng)上的主動力有P、P、S2和S¢2。該系統(tǒng)有一個自由度: ADEG做定軸轉(zhuǎn)動, BFH做平面運(yùn)動，瞬心在B點(diǎn)（因?yàn)锽點(diǎn)的速度沿水平方向， EF做平面運(yùn)動，F(xiàn)點(diǎn)的速度等于隨E點(diǎn)平動的速度和繞E點(diǎn)轉(zhuǎn)動的速度，而這兩