奧數(shù)行程問題大全

1、奧數(shù)行程問題一、 多人行程的要點及解題技巧行程問題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個模塊，在小升初考試和各大奧數(shù)杯賽中都能見到行程問題的身影。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程等等。每一類問題都有自己的特點，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關(guān)系”：這三個量是：路程(s)、速度(v)、時間(t)三個關(guān)系：1.簡單行程：路程=速度時間2.相遇問題：路程和=速度和時間3.追擊問題：路程差=速度差時間牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關(guān)系，就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。如“多人行程問題”，實際最常見的是“三人行程

2、”例：有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？分析：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）3=228（米）第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228（38-36）=114（分鐘）第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起

3、走完了全程所以花圃周長為（40+38）114=8892（米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰?？傊?，行程問題是重點，也是難點，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個量”之間的“三個關(guān)系”，解決行程問題并非難事！二、奧數(shù)行程：追及問題的要點及解題技巧1、多人相遇追及問題的概念及公式多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞這一條基本關(guān)系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐

4、步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解2、多次相遇追及問題的解題思路所有行程問題都是圍繞這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解多次相遇與全程的關(guān)系1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個全程；第2次相遇，共走3個全程；第3次相遇，共走5個全程；，；第N次相遇，共走2N-1個全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2.同地同向出發(fā)： 第1次相遇，共走2個全程； 第2次相遇，共走4個全程； 第3次相遇，共走6個全程； ，； 第N次相遇，共走2N個全程； 3、多

5、人多次相遇追及的解題關(guān)鍵 多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程 多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差三、奧數(shù)行程：二次相遇的要點及解題技巧1、概念：兩個運動物體作相向運動或在環(huán)形跑道上作背向運動，隨著時間的發(fā)展，必然面對面地相遇，這類問題叫做相遇問題。2、特點：它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相遇問題。3、類型：相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。4、三者的基本關(guān)系及公式：它們的基本關(guān)系式如下：總路程=（甲速+乙速）相遇時間相遇時間=總路程（甲速+乙速）另一個速度=甲乙速度和-已知的一個速度四、奧數(shù)行程：火車過橋的要點及解題技巧1、什么是

6、過橋問題？火車過橋問題是行程問題的一種，也有路程、速度與時間之間的數(shù)量關(guān)系，同時還涉及車長、橋長等問題。基本數(shù)量關(guān)系是火車速度時間=車長+橋長2、關(guān)于火車過橋問題的三種題型：（1）基本題型：這類問題需要注意兩點：火車車長記入總路程；重點是車尾：火車與人擦肩而過，即車尾離人而去。如：火車通過一條長1140米的橋梁用了50秒，火車穿過1980米的隧道用了80秒，求這列火車的速度和車長。（過橋問題）一列火車通過800米的橋需55秒，通過500米的隧道需40秒。問該列車與另一列長384、每秒鐘行18米的列車迎面錯車需要多少秒鐘？（火車相遇）（2）錯車或者超車：看哪輛車經(jīng)過，路程和或差就是哪輛車的車長如

7、：快、慢兩列火車相向而行，快車的車長是50米，慢車的車長是80米，快車的速度是慢車的2倍，如果坐在慢車的人見快車駛過窗口的時間是5秒，那么，坐在快車的人見慢車駛過窗口的時間是多少？（3）綜合題：用車長求出速度；雖然不知道總路程，但是可以求出某兩個時刻間兩人或車之間的路程關(guān)系如：鐵路旁有一條小路，一列長為110米的火車以每小時30千米的速度向南駛?cè)ィ?點時追上向南行走的一名軍人，15秒后離他而去，8點6分迎面遇到一個向北走的農(nóng)民，12秒后離開這個農(nóng)民。問軍人與農(nóng)民何時相遇？五、奧數(shù)行程：流水行船的要點及解題技巧 1、什么叫流水行船問題 船在水中航行時，除了自身的速度外，還受到水流的影響，在這種情

8、況下計算船只的航行速度、時間和行程，研究水流速度與船只自身速度的相互作用問題，叫作流水行船問題。 2、流水行船問題中有哪三個基本量？ 流水行船問題是行程問題中的一種，因此行程問題中的速度、時間、路程三個基本量之間的關(guān)系在這里也當(dāng)然適用 3、流水行船問題中的三個基本量之間有何關(guān)系？ 流水行船問題還有以下兩個基本公式： 順?biāo)俣?船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速.（2） 這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。 根據(jù)加減法互為逆運算的關(guān)系，由公式（l）可以得

9、到： 水速=順?biāo)俣?船速， 船速=順?biāo)俣?水速。 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。 另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到： 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2， 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2。六、奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的要點及解題技巧 1、什么是環(huán)形跑道問題？ 環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程

10、狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。 2、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用： 路程和=相遇時間速度和 路程差=追及時間速度差 3、解環(huán)形跑道問題的一般方法： 環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。 環(huán)線型同一出發(fā)點直徑兩端同向：路程差 nS nS+0.5S相對(反向)：路程和 nSnS-0.5S 七、奧數(shù)行程：鐘面行程問題的要點及解題技巧 1、什么是鐘面行程問題？ 鐘面行程問題是研究鐘面上的時針和分針關(guān)系的問題，常見的有兩種：研究時針、分針成一定角度的問題，包括重合、成一條直線、成直

11、角或成一定角度；研究有關(guān)時間誤差的問題 在鐘面上每針都沿順時針方向轉(zhuǎn)動，但因速度不同總是分針追趕時針，或是分針超越時針的局面，因此常見的鐘面問題往往轉(zhuǎn)化為追及問題來解 2、鐘面問題有哪幾種類型？ 第一類是追及問題（注意時針分針關(guān)系的時候往往有兩種情況）；第二類是相遇問題（時針分針永遠(yuǎn)不會是相遇的關(guān)系，但是當(dāng)時針分針與某一刻度夾角相等時，可以求出路程和）；第三種就是走不準(zhǔn)問題，這一類問題中最關(guān)鍵的一點：找到表與現(xiàn)實時間的比例關(guān)系。 3、鐘面問題有哪些關(guān)鍵問題？ 確定分針與時針的初始位置； 確定分針與時針的路程差； 4、解答鐘面問題有哪些基本方法？ 分格方法： 時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每

12、小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走112分格。 度數(shù)方法： 從角度觀點看，鐘面圓周一周是360，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6，時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60度，即1/2度。 八、奧數(shù)行程：走走停停的要點及解題技巧 1、行程問題里走走停停的題目應(yīng)該怎么做 1.畫出速度和路程的圖。 2.要學(xué)會讀圖。 3.每一個加速減速、勻速要分清楚，這有利于你的解題思路。 4.要注意每一個行程之間的聯(lián)系。 2、學(xué)好行程問題的要訣 行程問題可以說是難度最大的奧數(shù)專題。 類型多：行程分類細(xì)，變化多，工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個類型重點不

13、一，因此沒有一個關(guān)鍵點可以抓 題目難：理解題目、動態(tài)演繹推理靜態(tài)知識容易學(xué)，動態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力 跨度大：從三年級到六年級都要學(xué)行程四年的跨度，需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來加深理解、夯實基礎(chǔ) 那么想要學(xué)好行程問題，需要掌握哪些要訣呢？ 要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是學(xué)透基本公式 要訣二：無規(guī)律的題目有攻略，一畫（畫圖法）二抓（比例法、方程法） 競賽考試中的行程題涉及到很多中數(shù)學(xué)方法和思想（比如：假設(shè)法、比例、方程）等的熟練運用，而這些方法和思想，都是小學(xué)奧數(shù)中最為經(jīng)典并能考察孩子思維的專項。九、奧數(shù)行程：發(fā)車問題的要點及解題技巧1、發(fā)車問題的基本解題思路空間理解稍顯困難

14、，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個基本公式，一般問題都可以迎刃而解。在班車?yán)铩＜戳▎栴}。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。2、對“發(fā)車問題”的化歸與優(yōu)化“發(fā)車”是一個有趣的數(shù)學(xué)問題。解決“發(fā)車問題”需要一定的策略和技巧。本文重點解決這樣兩個問題：一是在探索過程中，如何揭示“發(fā)車問題”的實質(zhì)？二是在建模的過程中，如何選擇最簡明、最嚴(yán)謹(jǐn)和最易于學(xué)生理解并接受的方法或情景？為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車問題”進行一般化處理：某人以勻速行走在一條公交車線路上，線路的起點站和終

15、點站均每隔相等的時間發(fā)一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a分鐘駛過一輛公交車，而從迎面每隔b分鐘就有一輛公交車駛來。問：公交車站每隔多少時間發(fā)一輛車？（假如公交車的速度不變，而且中間站停車的時間也忽略不計。）（1）把“發(fā)車問題”化歸為“和差問題”因為車站每隔相等的時間發(fā)一次車，所以同向的、前后的兩輛公交車間的距離相等。這個相等的距離也是公交車在發(fā)車間隔時間內(nèi)行駛的路程。我們把這個相等的距離假設(shè)為“1”。根據(jù)“同向追及”，我們知道：公交車與行人a分鐘所走的路程差是1，即公交車比行人每分鐘多走1/a，1/a就是公交車與行人的速度差。根據(jù)“相向相遇”，我們知道：公交車與行人b分鐘所走的路程和是1，即公交車與行

16、人每分鐘一共走1/b，1/b就是公交車和行人的速度和。這樣，我們把“發(fā)車問題”化歸成了“和差問題”。根據(jù)“和差問題”的解法：大數(shù)=（和+差）2，小數(shù)=（和-差）2，可以很容易地求出公交車的速度是（1/a+1/b）2。又因為公交車在這個“間隔相等的時間”內(nèi)行駛的路程是1，所以再用“路程速度=時間”，我們可以求出問題的答案，即公交車站發(fā)車的間隔時間是1【（1/a+1/b）2】=2（1/a+1/b）。（2）把“發(fā)車問題”優(yōu)化為“往返問題”如果這個行人在起點站停留m分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā)n輛車，那么我們就可以求出車站發(fā)車的間隔時間是mn分鐘。但是，如果行人在這段時間內(nèi)做個“往返運動”也未嘗不可，那么他的

17、“往返”決不會影響答案的準(zhǔn)確性。因為從起點站走到終點站，行人用的時間不一定被a和b都整除，所以他見到的公交車輛數(shù)也不一定是整數(shù)。故此，我們不讓他從起點站走到終點站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢？或者說讓他走多長時間再立即返回呢？取a和b的公倍數(shù)（如果是具體的數(shù)據(jù)，最好取最小公倍數(shù)），我們這里取ab。假如剛剛有一輛公交車在起點站發(fā)出，我們讓行人從起點站開始行走，先走ab分鐘，然后馬上返回；這時恰好是從行人背后駛過第b輛車。當(dāng)行人再用ab分鐘回到起點站時，恰好又是從迎面駛來第a輛車。也就是說行人返回起點站時第（a+b）輛公交車正好從車站開出，即起點站2ab分鐘開出了（a+b）輛公交車。這樣，就

18、相當(dāng)于在2ab分鐘的時間內(nèi)，行人在起點站原地不動看見車站發(fā)出了（a+b）輛車。于是我們求出車站發(fā)車的間隔時間也是2ab（a+b）=2（1/a+1/b）。這樣的往返假設(shè)也許更符合“發(fā)車問題”的情景，更簡明、更嚴(yán)謹(jǐn)，也更易于學(xué)生理解和接受。如果用具體的時間代入，則會更加形象，更便于說明問題。十、奧數(shù)行程：電梯問題的要點及解題技巧1、自動扶梯的速度有哪兩條關(guān)系式？與流水行船問題類似的有自動扶梯上行走的問題，與行船問題類似的，自動扶梯的速度有以下兩條關(guān)系式：2、自動扶梯上的行走速度有哪兩種度量？與流水行船不同的是，自動扶梯上的行走速度有兩種度量，一種是單位時間運動了多少米，一種是單位時間走了多少級臺階，這兩種速度看似形同，實則不等，拿流水行程問題作比較，單位時間運動了多少米對應(yīng)的是流水行程問題中的船只順(逆)水速度，而單位時間走了多少級臺階對應(yīng)的是船只靜水速度，一般奧數(shù)題目涉及自動扶梯的問題中更多的只出現(xiàn)后一種速度，即單位時間走了多少級臺階，所以處理數(shù)量關(guān)系的時候要非常小心，理清了各種數(shù)量關(guān)系，自動扶梯上的行程問題會變得非常簡單3、電梯問題需要注意哪兩點問題？電梯問題其實是復(fù)雜行程問題中的一類。有兩點需要注意，一是“總行程電梯可見部分級數(shù)電梯