分式求值的技巧點撥與拓展訓(xùn)練verygood

1、分式求值的技巧點撥在分式運算中，常遇到求值問題，這類問題題型多樣，技巧性強，若根據(jù)題目中分式的結(jié)構(gòu)特點，采用適當(dāng)方法，則可巧妙獲解。一、巧用配方法求值例1 已知求的值。解：由，由此得說明：在求解有關(guān)分式中兩數(shù)（或兩式）的平方和問題時，可考慮用完全平方公式進行解答。二、巧用因式分解法求值例2 先化簡，再求值：。其中，。解：原式=，說明：因式分解法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，解決很多數(shù)學(xué)問題都要用到它，尤其是在分式化簡和分式的四則運算中運用較多。因此，希望同學(xué)們對因式分解的各種方法熟練掌握。三、巧用整體代入法求值例3 已知，求的值。解：由變形得，代入所求式得：原式說明：在解答給定條件下求分式的值這類問題

2、時，需要把待求值的分式進行恒等變形，轉(zhuǎn)化成能用已知條件表示的形式，再代入計算，或先把條件進行化簡再采用上述方法求值。四、巧設(shè)參數(shù)（輔助未知數(shù)）求值例4 已知實數(shù)x、y滿足x:y=1:2，則_。解：設(shè)，則，故原式說明：在解答有關(guān)含有比例式的題目時，設(shè)參數(shù)（輔助未知數(shù)）求解是一種常用的方法。五、巧用方程（或方程組）求值例5 已知，a、b、c均不為0，求的值。解：解方程組，得原式=說明：將已知的等式看成方程（或方程組），先用其中的一個字母表示出其他的兩個字母，并代入所求的分式進行運算是本題求解的關(guān)鍵。六、巧用變形方法求值例6 已知，且，則=_。解：由已知條件可得，代入所求式，得：原式說明：當(dāng)題目中所

3、提供的式子有等于0的條件出現(xiàn)時，通過把所求分式進行變形，使之出現(xiàn)相應(yīng)的式子是解答此類問題的關(guān)鍵。七、挖掘隱含條件，巧妙求值例7 若，則=_。解：，但考慮到分式的分母不為0，故x=3所以，原式說明：根據(jù)題目特點，挖掘題中的隱含條件，整體考慮解決方案是解決本類題目的關(guān)鍵。八、巧用特值法求值例8 已知，則=_。解：此題可直接令x=4，y=5，z=6，代入得：原式說明：根據(jù)題目特點，給相關(guān)的字母賦予特定的數(shù)值，可簡化求解過程。九、利用倒數(shù)法求值例9 已知，求的值。解：原式原式=說明：在進行某些分式求值時，有時會出現(xiàn)條件或所求分式不易化簡變形的問題，但如果把該式的分子、分母顛倒后，變形就會容易了，此類問

4、題通常采用倒數(shù)法來解決。在解題時要注意靈活掌握。分式求值的變形方法在給定的條件下求分式的值，大多數(shù)條件下難以直接代入求值，它必須根據(jù)題目本身的特點，將已知條件或所求分式適當(dāng)變形，然后巧妙求解.常用的變形方法大致有以下幾種：1、 應(yīng)用分式的基本性質(zhì)例1 如果，則的值是多少?解：由，將待求分式的分子、分母同時除以，得原式=.2、倒數(shù)法例2 如果，則的值是多少?解：將待求分式取倒數(shù)，得原式=.3、平方法例3 已知，則的值是多少？解：兩邊同時平方，得4、設(shè)參數(shù)法例4 已知，求分式的值.解：設(shè)，則.原式=例5 已知求的值.解：設(shè)，則，原式=5、整體代換法例6 已知求的值.解：將已知變形，得即原式=6、消

5、元代換法例7 已知則 .解：原式=7、拆項法例8 若求的值.解：原式= 原式=0.8、配方法例9 若求的值.解：由得.原式=.分式求值問題亮相中考分式的考點中，求值問題是一個重要考點之一。它們在中考中以不同的形式，展現(xiàn)了分式的特色，受到同學(xué)們的青睞。現(xiàn)將這些題型歸納如下，僅供學(xué)習(xí)時參考。1、分式的值為0作條件，求符合題意的字母的值例1、若分式的值為0，則x的值為（ ）A. 1B. -1C. ±1D.2 （ 2008年宜賓市）分析：分式的值為0的條件是：分式的分子等于0，但是，分式的分母不能是0，這兩個條件缺一不可。所以，x-2=0，且x2-10，所以，x=2，當(dāng)x=2時，x2-1=

6、22-1=30，因此，符合題意的x的值是2.解：選D。點評：根據(jù)分子是0，求得字母的值后，只需把這個值代入分母中，驗證分母的值是否為0，就可以下結(jié)論。使分母為0的值，一定要舍去，使分母不為0 的數(shù)，就是所求。2、以分式方程的解為條件，求符合題意的字母的值例2、方程的解是 （08威海市）分析：這類問題詳細的解答過程，實際上就是解這個分式方程。因為，3-2x=-（2x-3），所以，原方程變形為：-=4，所以，=4，即x-5=8x-12，解得：x=1，當(dāng)x=1時，2x-3=2-3=-10，所以，x=1是原方程的解。解：方程的解是x=1.點評：解分式方程時，一定不要忘了驗根。檢驗的方法有兩種，一種是代

7、入分式中各個分母中逐一驗證，使每一分母都不是0的值，是原方程的根，否則不是；一種是代入最簡公分母中檢驗，使最簡公分母不是0的值，是原方程的根，否則不是；3、以分式方程無解為條件，求符合題意的字母的值例3、當(dāng) 時，關(guān)于的分式方程無解。（2008襄樊市）分析：分式方程無解，也可以說成是，根是原方程的增根。而產(chǎn)生增根的原因，就是未知數(shù)取了使分式的分母為0的值。把這條思路倒過來，就可以求字母的值了。具體的步驟就是：1、找出分式方程的各個分式的分母；2、令各個分母都等于0，求得未知數(shù)的值，逐一不要漏落；3、去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程；4、把2中求得的未知數(shù)的值逐一代入整式方程，分別求得待定字母的值

8、。所以，該題就可以這樣求解：因為，分式的分母是x-3，所以，x-3=0，解得，x=3，方程兩邊都乘以x-3，得：2x+m=（-1）×(x -3)，把x=3代入整式方程，得 ：2×3+m=（-1）×(3 -3)，解得：m=-6.解：當(dāng)m=-6時，關(guān)于的分式方程無解。點評：在將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程的過程中，同學(xué)們只轉(zhuǎn)化，不要作過多的化簡，否則，就會浪費時間，你仔細體會體會，是否有道理。4、以分式方程為條件，求分式的值例4、已知，則代數(shù)式的值為 （2008年蕪湖市）分析：在這個分式方程中，有兩個未知數(shù)，但是卻只有一個方程，所以，我們想一一求得x、y的值，后代入求值的思

9、路看來是行不通了。還有其他的辦法嗎？有，肯定有。這就是用一個代數(shù)式表示另一個整體代數(shù)式，達到分式中，只有一個代數(shù)式的整體表示，后通過約分的方法求得值。具體思路如下：因為，=3，所以，x0，y0，xy0，所以，=3，即y-x=3xy，所以，x-y=-3xy，所以，=4.解：原式的值是4.點評：在解答這類問題時，用整體的思想是解題的關(guān)鍵。5、以整式方程為條件，求分式的值例5、若，則的值等于（ ）（2008蘇州）ABCD或分析：解答該類問題的最佳思路是，用常數(shù)項表示含字母的代數(shù)式這個整體。常使問題的求解，顯得那么輕松。解：因為，x2-x-2=0，所以，x2-x=2，（x2-x） 2= 22=4，所以

10、，=，所以，選擇A。點評：這是整體思想在分式問題中的具體應(yīng)用。6、化簡求值例6、請先將下式化簡,再選擇一個你喜歡又使原式有意義的數(shù)代入求值.（2008年宜賓市）分析：這是以前化簡求值題的變形題。但是，它又賦予問題一種新形式，給同學(xué)們一種耳目一新的感覺，特別是讓同學(xué)們自主選擇數(shù)值求值，更是體現(xiàn)了新課程學(xué)生主體的理念。同時，也給同學(xué)們的選擇設(shè)下了一個“陷阱”，這就是你所取的數(shù)，必須要使原來的分式有意義，這一點，同學(xué)們往往會被“勝利”沖昏頭腦，而錯選數(shù)值。在這里你絕對不能選數(shù)字1.解：原式=當(dāng)a=2時，原式=2-1=1.點評：因為，所取的數(shù)值不同，所以，最后的答案也是不一樣的。7、無關(guān)求值例7、在解

11、題目：“當(dāng)時，求代數(shù)式的值”時，聰聰認(rèn)為只要任取一個使原式有意義的值代入都有相同結(jié)果你認(rèn)為他說的有理嗎？請說明理由（2008年巴中市）分析：化簡后的結(jié)果是某一個固定的常數(shù)，就與x的取值無關(guān)。解：聰聰說的有理 所以，只要使原式有意義，無論取何值，原式的值都相同，為常數(shù)1點評：先認(rèn)真進行化簡，是解題的關(guān)鍵。8、糾錯求值例8、有一道題：“先化簡再求值：，其中”，小明做題時把“”錯抄成了“”，但他的計算結(jié)果也是正確，請你通過計算解釋這是怎么回事？（2008年桂林市）分析：嚴(yán)格遵循先化簡后求值的思想進行解題。問題就會顯得輕松。解：因為，=×（x-1）（x +1）=(x-1)2+2x =x2+1，因為，不論是，還是，都有x2=2008，所以，小明雖然把數(shù)值抄錯，但他的計算結(jié)果也是正確。點評：巧設(shè)懸念，激好奇，打破砂鍋，問到底。這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的優(yōu)秀品質(zhì)。分式拓展題1、 已知：2、 已知：3、 已知：4、 已知：5、 已知：，.6、 已知：的值.7、 已知：的值.8、 已知：、，求