全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽

1、2010年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填入題干后的括號(hào)里，多選、不選、錯(cuò)選均不得分，每題5分，共50分）1 化簡(jiǎn)三角有理式的值為（ ） A. 1 B. C. D. 1+2 若，則是的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件3 集合P=，則集合為（）A. B. C. D. 4 設(shè),為兩個(gè)相互垂直的單位向量。已知=，=，=r+k.若PQR為等邊三角形，則k，r的取值為（ ） A B C D5 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，則CA1與C1B所成的角的大小是( )A6

2、0° B75° C90° D105° 6 設(shè)，分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且，則以下結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 7 若的二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（ ） A第8項(xiàng) B. 第9項(xiàng) C. 第8項(xiàng)和第9項(xiàng) D. 第11項(xiàng)8 設(shè)，則下述關(guān)系式正確的是（ ）。 A B. C. D. 9 下面為某一立體的三視圖，則該立體的體積為（ ）正視圖： 半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖： 半徑為1的圓以及高為1的矩形俯視圖： 半徑為1的圓A. B. C. D. 10. 設(shè)有算法如下：如果輸入A=144, B=39,則輸出的結(jié)果是（ ）A. 144 B. 3

3、C. 0 D. 12二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11. 滿足方程所有實(shí)數(shù)解為 。12. 函數(shù)的最小正周期為 . 13. 設(shè)P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為。當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程為 .14. 設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點(diǎn)D，使得AD把ABC分成兩個(gè)等腰三角形，試求ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為 。15. 設(shè)z是虛數(shù)，且，則z的實(shí)部取值范圍為 .16. 設(shè)。如果對(duì)任何，都有，則k的最小值為 .17. 設(shè)，。當(dāng)函數(shù)的零點(diǎn)多于1個(gè)時(shí)，在以其最小零點(diǎn)與最大零點(diǎn)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的最大值為 .三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，

4、共51分）18. 設(shè)數(shù)列，問(wèn)：（1）這個(gè)數(shù)列第2010項(xiàng)的值是多少；（2）在這個(gè)數(shù)列中，第2010個(gè)值為1的項(xiàng)的序號(hào)是多少.19. 設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各10個(gè)?，F(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個(gè)袋子中，要求每個(gè)袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個(gè)袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問(wèn)共有多少種放法。20. 已知橢圓，以（0，1）為直角頂點(diǎn)，邊AB、BC與橢圓交于兩點(diǎn)B、C。若ABC面積的最大值為，求的值。四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21. 設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)。記。證明：。22. （1）設(shè)，平面上的點(diǎn)如其坐標(biāo)都是整數(shù)，則稱之為格點(diǎn)。今有曲線過(guò)格點(diǎn)

5、（n，m），記對(duì)應(yīng)的曲線段上的格點(diǎn)數(shù)為N。證明：。(2) 進(jìn)而設(shè)a是一個(gè)正整數(shù)，證明：。（注表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）參考答案1、解答為 A。 。2、解答為 B。p成立，所以p 成立，推不出q一定成立。3、解答：D。 畫數(shù)軸，由絕對(duì)值的幾何意義可得，。4、解答C. ，即。5、解答：C。建立空間直角坐標(biāo)系，以所在的直線為軸，在平面上垂直于 的直線為軸，所在的直線為軸。則，。6、解答：A。7、解答：D. ，r=10，第11項(xiàng)最大。8、解答： D。函數(shù)為偶函數(shù)，在（0，）上，為減函數(shù)，而，所以。9、解答：C. 根據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個(gè)1/4的球的組合體。10、解答 B （1）A=144，B=39

6、，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。11、解答 變形得，解得。12、解答 。13、解答 設(shè)M的坐標(biāo)為，因?yàn)镻點(diǎn)在圓上，所以 所以P點(diǎn)軌跡為。14、解答 如圖，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。ACDB（1）ACDB（2）在（1）中，設(shè)最小的角為x，則2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45；在（2）中，設(shè)最小的角為x，則3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以2

7、2.5<x<3015、解答 設(shè)當(dāng)，無(wú)解；當(dāng)。16、解答 分子，所以k的最小值為。17、解答 因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，由對(duì)稱性以及圖象知道，在以其最小零點(diǎn)與最大零點(diǎn)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的最大值0或q。18、解（1）將數(shù)列分組：因?yàn)?+2+3+62=1953；1+2+3+63=2016，所以數(shù)列的第2010項(xiàng)屬于第63組倒數(shù)第7個(gè)數(shù)，即為。 - 10分（2）由以上分組可以知道，每個(gè)奇數(shù)組中出現(xiàn)一個(gè)1，所以第2010個(gè)1出現(xiàn)在第4019組，而第4019組中的1位于該組第2010位，所以第2010個(gè)值為1的項(xiàng)的序號(hào)為（1+2+3+4018）+2010=809428。 - 17分19、解：設(shè)甲袋中的紅

8、、黑、白三種顏色的球數(shù)為，則有，且 （*1）- 5分即有 。 （*2）于是有 。因此中必有一個(gè)取5。不妨設(shè)，代入（*1）式，得到。 -10分此時(shí)，y可取1，2，8，9（相應(yīng)地z取 9，8，2，1），共9種放法。同理可得y=5或者z=5時(shí)，也各有9種放法，但有時(shí)二種放法重復(fù)。因此可得共有9×32 = 25種放法。 -17分20、解： 不妨設(shè)的方程，則的方程為。由得： 由得： 從而有于是 。令，有 - 10分因?yàn)?時(shí)等號(hào)成立。因此當(dāng) - 14分令 - 17分21、證明 由 -5分 。 - 10分所以， =。 -20分因此，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)，D與C重合，或E與A重合，或F與B重合。 - 25分22、證明 （1）考慮區(qū)域且該區(qū)域上的格點(diǎn)為nm個(gè)。又該區(qū)域由區(qū)域E：以及區(qū)域