偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 2

1、一、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1.空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法平面設(shè)空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程為假定均可導(dǎo),不同時(shí)為零,曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)于及的點(diǎn)分別為和.割線(xiàn)的方程為當(dāng)沿著曲線(xiàn)趨于時(shí),割線(xiàn)的極限位置是在處的切線(xiàn).上式分母同除以得當(dāng)(即)時(shí),對(duì)上式取極限,即得曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程向量是切線(xiàn)的方向向量,稱(chēng)為切線(xiàn)向量.切線(xiàn)向量的方向余弦即為切線(xiàn)的方向余弦.通過(guò)點(diǎn)與切線(xiàn)垂直的平面稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)的法平面.它是通過(guò)點(diǎn),以切線(xiàn)向量為法向量的平面.因此,法平面方程為【例1】求螺旋線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)及法平面方程.解點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù).因?yàn)?所以切線(xiàn)向量,因此,曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為在點(diǎn)處的法平面方程為即【例2】求曲線(xiàn)上點(diǎn)處的切線(xiàn)和法平面方程.解把看作參數(shù),此時(shí)

2、曲線(xiàn)方程為在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為法平面方程為即2.曲面的切平面與法線(xiàn)設(shè)曲面的方程為是曲面上的一點(diǎn),假定函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零,設(shè)是曲面上過(guò)點(diǎn)的任意一條曲線(xiàn),的方程為,與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,則曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)向量為.因在上,故有此恒等式左端為復(fù)合函數(shù),在時(shí)的全導(dǎo)數(shù)為記,則,即與互相垂直.由于曲線(xiàn)是曲面上過(guò)的任意一條曲線(xiàn),所以在曲面上所有過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)都與同一向量垂直,故這些切線(xiàn)位于同一個(gè)平面上.這個(gè)平面稱(chēng)為曲面在處的切平面.向量是切平面的法向量,稱(chēng)為曲面在處的法向量.切平面方程為過(guò)點(diǎn)與切平面垂直的直線(xiàn),稱(chēng)為曲面在點(diǎn)處的法線(xiàn),其方程為若曲面方程由給出,則可令于是這時(shí)曲面在處的切平面方程為法線(xiàn)

3、方程為【例3】求橢球面在點(diǎn)處的切平面和法線(xiàn)方程.解設(shè)故在點(diǎn)處橢球面的切平面方程為即法線(xiàn)方程為【例4】求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面方程和法線(xiàn)方程.解由得切平面方程為即法線(xiàn)方程為二、多元函數(shù)極值1. 二元函數(shù)的極值【例5】曲面在點(diǎn)有極小值.【例6】曲面在點(diǎn)有極大值.與一元函數(shù)極值類(lèi)似,多元函數(shù)的極值也是相對(duì)某個(gè)鄰域而言的,是一個(gè)局部概念.定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)改鄰域內(nèi)任一點(diǎn)都有(或)則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)有極大值(或極小值).而稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的極大(或極小)值點(diǎn).極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)極值點(diǎn).2.極值的檢驗(yàn)法(1)一階偏檢驗(yàn)定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有極大值,且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在,則必有.證

4、明不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值,根據(jù)極值定義,對(duì)的某一鄰域內(nèi)的任一點(diǎn),有在點(diǎn)的鄰域內(nèi),也有,這表明一元函數(shù)在處取得極大值.因此,有同理可證與一元函數(shù)類(lèi)似,使一階偏導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).由定理1及例5、例6可以看出：二元函數(shù)的極值點(diǎn)必然是駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).(2)二階偏檢驗(yàn)定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)的一點(diǎn)處有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且.記,則(1)當(dāng)且時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處有極小值;當(dāng)且時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處有極大值;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)極值;(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處可能有極值,也可能無(wú)極值.綜上可得,具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其極值求法如下:(1)先求出偏導(dǎo)數(shù);(2)解方程組,求出定義域內(nèi)全部駐點(diǎn);(3)

5、求出駐點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)值:,確定的符號(hào),并判斷是否有極值,如果有,求出其極值.【例7】求函數(shù)的極值.解先求偏導(dǎo)數(shù)解方程組,求得駐點(diǎn)為.在駐點(diǎn)處,于是不是函數(shù)的極值點(diǎn).在駐點(diǎn)處,且,所以點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn),為函數(shù)的極小值.3.最大值與最小值如果函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),則函數(shù)在上一定取得最大值和最小值.如果函數(shù)的最大值或最小值在區(qū)域的內(nèi)部取得,則最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)必為駐點(diǎn).因此,求處駐點(diǎn)的函數(shù)值及邊界上函數(shù)的最大值和最小值,其中最大值便是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值,最小值便是函數(shù)在閉區(qū)域上的最小值.具體問(wèn)題中,常常通過(guò)分析可知函數(shù)的最大值或最小值存在,且在定義域內(nèi)部取得,又知在定義域內(nèi)只有唯一駐點(diǎn),于

6、是可以肯定駐點(diǎn)處的函數(shù)值便是函數(shù)的最大值或最小值.【例8】求函數(shù)在上的最大值.解在內(nèi)(),由解得駐點(diǎn)為.在的邊界上()故函數(shù)在處有最大值.【例9】要做一容積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵皮容器,問(wèn)如何設(shè)計(jì)最省材料?解所謂最省材料,即無(wú)蓋長(zhǎng)方體表面積最小.該容器的長(zhǎng)、寬、高分別為，表面積為，則有消去，得表面積函數(shù)其定義域?yàn)橛?，求得駐點(diǎn)為.由于為開(kāi)區(qū)域,且該問(wèn)題必有最小值存在,于是必為的最小值點(diǎn),此時(shí),即長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為,時(shí),容器所需鐵皮最少,其表面積為.【例10】某公司每周生產(chǎn)單位產(chǎn)品和單位產(chǎn)品,其成本為產(chǎn)品的單位售價(jià)分別為200元和300元.假設(shè)兩種產(chǎn)品均很暢銷(xiāo),試求使公司獲得最大利潤(rùn)的這兩種產(chǎn)品的生

7、產(chǎn)水平及相應(yīng)的最大利潤(rùn).解依題意,公司的收益函數(shù)為因此,公司的利潤(rùn)函數(shù)為令,得駐點(diǎn).利用二階偏檢法,求二階偏導(dǎo)數(shù)，顯然二階偏導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)的值為。由此可見(jiàn)，當(dāng)產(chǎn)品的周產(chǎn)量均為50個(gè)單位時(shí)，公司可獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)為（元）三、條件極值如果函數(shù)的自變量除了限制在定義域內(nèi)以外，再?zèng)]有其他限制，這種極值問(wèn)題稱(chēng)為無(wú)條件極值。但在實(shí)際問(wèn)題中，自變量經(jīng)常會(huì)受到某些條件的約束，這種對(duì)自變量有約束條件的極值問(wèn)題稱(chēng)為條件極值.條件極值問(wèn)題的解法有兩種,一是將條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值,如例9就是求在自變量滿(mǎn)足約束條件時(shí)的條件極值.當(dāng)我們從約束條件中解出代入中,得,就成了無(wú)條件極值,于是可以求解.但實(shí)際問(wèn)題中的許多

8、條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值時(shí),時(shí)很復(fù)雜甚至是不可能的.下面介紹條件極值的另外一種更一般的方法拉格朗日乘數(shù)法.設(shè)是函數(shù)在約束條件下的條件極值問(wèn)題的極值點(diǎn),如果函數(shù),在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(不妨設(shè)),則一元函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).由復(fù)合函數(shù)微分法,有由于是由所確定的,所以代入上式,消去,得即令,則有(*)稱(chēng)滿(mǎn)足方程組(*)的點(diǎn)為可能的極值點(diǎn).我們構(gòu)造一個(gè)函數(shù)則(*)等價(jià)于于是,用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問(wèn)題可歸納為以下步驟:(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù),稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù);(2)解方程組得點(diǎn),為可能極值點(diǎn)；(3)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì),在可能極值點(diǎn)處求極值.【例11】求平面上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.解設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)的距離為,則問(wèn)題歸結(jié)為求距離函數(shù)在約束條件之下的極小值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解方程組得代入,得由于最短距離是存在的,所以所以 小結(jié):學(xué)習(xí)了多元函數(shù)的