隨機(jī)利率的三因子模型及其參數(shù)估計(jì)

1、隨機(jī)利率的三因子模型及其參數(shù)估計(jì)                             作者：侯麗英劉振忠董繼學(xué)內(nèi)容摘要：本文在分析利率期限結(jié)構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，將影響短期利率行為特征的均值回復(fù)、隨機(jī)波動和跳躍因素同時考慮到利率期限結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建中，建立了三因子模型。并且對模型參數(shù)進(jìn)行了有效矩估計(jì)，比較幾個同類模型，結(jié)果

2、表明三因子模型對我國國債回購利率具有較好的擬合能力。 關(guān)鍵詞：隨機(jī)利率 三因子模型 有效矩估計(jì) 隨機(jī)利率模型概述 利率作為金融市場上最重要的價格變量之一，一直是金融學(xué)研究的重點(diǎn)，特別是短期利率，它直接影響著資產(chǎn)定價、金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)、保值和風(fēng)險管理、套利以及投機(jī)等金融活動。因此，學(xué)者們提出了許多利率期限結(jié)構(gòu)模型來刻畫利率的隨機(jī)行為，例如，Merton(1973)、Vasicek(1977)、Cox(1985)、CKLS(1992)模型等，這些模型假設(shè)利率的動態(tài)變化都遵循擴(kuò)散過程，即瞬時利率可用下列隨機(jī)微分方程的一般形式來表達(dá)： 其中，m(rt)為漂移項(xiàng)，表示利率變化的瞬時期望；s(rt)為擴(kuò)散項(xiàng)；

3、s2(rt)為利率變化的瞬時方差；dWt為布朗運(yùn)動的微分增量。當(dāng)漂移項(xiàng)或波動率函數(shù)選擇不同形式時，就能得到已有的各個著名隨機(jī)利率模型，它們都屬于單因子利率參數(shù)模型。 但金融市場自身的復(fù)雜性決定了僅僅用單因子模型來描述是不完全的，國內(nèi)外大部分的實(shí)證研究表明，瞬時利率變動的總體方差絕大部分來自于兩到三個因素的貢獻(xiàn)，并且三個主要因素基本上能解釋短期利率曲線80%以上的動態(tài)特征。因此本文將影響短期利率行為特征的均值回復(fù)、隨機(jī)波動和跳躍因素同時考慮到利率期限結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建中，建立了三因子模型；并利用上海證交所國債回購利率數(shù)據(jù)，對模型參數(shù)進(jìn)行了有效矩估計(jì)，比較已有的同類模型，說明該模型具有較好的擬合能力。

4、 三因子模型的建立 在已有的期限結(jié)構(gòu)模型中，CKLS模型對短期利率的動態(tài)行為特點(diǎn)的研究具有推動作用，現(xiàn)今幾乎所有與期限結(jié)構(gòu)相關(guān)的實(shí)證大都基于CKLS 模型或與其有關(guān)，其具體形式為： drt=(+rt)dt+rtdWt（1） 式中，(+rt)dt為漂移項(xiàng)，為短期利率的長期均值水平。rtdWt為擴(kuò)散項(xiàng)，為短期利率標(biāo)準(zhǔn)差；表示利率波動性對利率水平敏感程度的參數(shù)，越大，短期利率方差對利率水平效應(yīng)越敏感；dWt為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。對（1）中的四個參數(shù)、作適當(dāng)?shù)南拗?，就可得到現(xiàn)有文獻(xiàn)中幾乎所有的單因素利率模型，這些模型總體上漂移項(xiàng)是線性的。 Ait-Sahalia（1996）使用非參數(shù)方法估計(jì)短期利率的邊際密

5、度函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)利率過程的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)都呈現(xiàn)出非線性特征，即倒數(shù)形式；而AG模型則假定漂移項(xiàng)是瞬時利率rt的二次函數(shù)。綜合以上結(jié)果，本文假定瞬時利率服從以下隨機(jī)微分方程： 其中，、為常數(shù)。 利率的水平因素并不能完全描述利率的隨機(jī)行為，波動項(xiàng)也表現(xiàn)出明顯的隨機(jī)特征，所以在波動項(xiàng)增加一個不確定因素，就能夠更好地描述利率隨機(jī)行為，于是基于（2）的連續(xù)時間隨機(jī)波動模型為： 其中dW1t、dW2t為不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)維納過程，k為波動率因素的均值回復(fù)速度，a為波動率因素的長期平均，為波動率因素的標(biāo)準(zhǔn)差。 更進(jìn)一步，無論是CKLS模型還是非線性的隨機(jī)波動模型，它們都是建立在隨機(jī)貼現(xiàn)因子及其狀態(tài)變量的影響因子服從

6、布朗運(yùn)動的條件之上的。布朗運(yùn)動的樣本路徑是連續(xù)的，這意味著用布朗運(yùn)動描述的變量的變化過程是連續(xù)且密集發(fā)生的，不會有跳躍或不連續(xù)的情況。 但從金融市場發(fā)展的歷史來看，利率、股價等變量的連續(xù)性經(jīng)常會被一些不可預(yù)測的隨機(jī)事件所破壞，帶來因子的突然跳躍，例如金融危機(jī)、股市崩盤等。為了在模型中充分反映這些突發(fā)事件的影響，本文把價格過程分解成連續(xù)和跳躍兩部分，連續(xù)部分用布朗運(yùn)動來描述，跳躍過程用泊松過程來描述，并且假定跳躍過程與連續(xù)過程是相互獨(dú)立的，具體模型為： 其中，()是產(chǎn)生跳躍的泊松過程，kt表示t時刻隨機(jī)跳躍的大小，它是一個隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布N(j，j2)，稱之為三因子模型。 有效矩估計(jì) 有效

7、矩估計(jì)（EMM）方法是由Gallant and Tauchen提出來的，是一種路徑模擬方法。該方法對隨機(jī)變量的條件分布密度函數(shù)不作假定，這對利率模型的實(shí)證研究是非常理想的，因?yàn)楹芏噙B續(xù)時間利率模型的條件密度函數(shù)無法通過解析的形式表達(dá)出來。EMM方法估計(jì)的具體步驟為： 第一步，選擇一個輔助模型并得到該模型參數(shù)的極大似然估計(jì)值，所選的輔助模型應(yīng)能夠捕捉到樣本數(shù)據(jù)的主要結(jié)構(gòu)特征，并且是一種簡約形式。 第二步，由極大似然估計(jì)參數(shù)產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù)，以輔助模型刻度向量為矩條件進(jìn)行模擬矩估計(jì)，即通過最小化二次型求得結(jié)構(gòu)模型參數(shù)。 （一）輔助模型選擇 為了便于估計(jì)，使用連續(xù)模型的近似歐拉離散形式，設(shè)從t到t+1所用時間為1，因此（4）的離散形式為： 其中t，ut為不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)維納過程，參數(shù)向量。輔助模型的選擇首先必須能捕捉到時間序列的主要特征，并能夠應(yīng)用最大似然方法對模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。本文把觀測數(shù)據(jù)映射成下列輔助模型：   其中ht=Et2，參數(shù)向量為=(m0，m1，m2，m3，b0，b1，b2，j，j，)。設(shè)轉(zhuǎn)移密度為，且Yt-1=(yt-1，K，y1)，用極大似然法估計(jì)輔助模型的參數(shù)向量，則估計(jì)量滿足下列一階條件：  （二）權(quán)重矩陣的確定 對樣本輔助模型的刻度向量計(jì)算非對稱協(xié)方差的一致性估計(jì)量，若輔助模