第三講 二維隨機(jī)變量及其分布

1、第三講 多維隨機(jī)變量及其分布考試要求1. 理解多維隨機(jī)變量的概念，理解多維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì)，理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度.會(huì)求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.2. 理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件. 3. 掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義 . 4. 會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布，會(huì)求多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布.一、 各種分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性1. 各種分布(1) 一般二維隨機(jī)變量 F (x, y)=P X £ x, Y &#

2、163; y , xÎ (¥, +¥), yÎ (¥, +¥)的性質(zhì)F (x, y)為聯(lián)合分布函數(shù) 1) 0 F (x, y) 1 , "xÎ (¥, +¥), yÎ (¥, +¥); 2) F(¥, y ) = F(x, ¥) =0, F(+¥,+¥) =1;3) F (x, y)關(guān)于x, y 均為單調(diào)不減函數(shù)；4) F (x, y)關(guān)于x, y 均分別右連續(xù). (2) 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布、邊緣分布、條件分布聯(lián)

3、合概率分布律 PX = xi , Y = yj = pi j , i, j =1, 2 ,××× , pi j ³ 0, .邊緣分布律 pi · = PX = xi =, i =1, 2 ,××× , p · j = P Y = yj =, j =1, 2 ,××× , 條件分布律 PX = xi |Y = yj =, P Y = yj | X = xi =. (3) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度、邊緣密度和條件密度f(x, y)為聯(lián)合概率密度 1° f(x,

4、y) 0, 2° .設(shè)( X, Y) f(x, y) 則分布函數(shù): ;邊緣概率密度: , .條件概率密度: , . (4) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性和相關(guān)性X和Y相互獨(dú)立 Û F (x, y)= FX (x) F Y (y);Û pi j = pi · ´ p · j (離散型)Û f (x, y)= f X (x) f Y (y) (連續(xù)型)【注】1° X與Y獨(dú)立, f (x), g (x) 為連續(xù)函數(shù) Þ f (X)與g (X)也獨(dú)立. 2° 若X1, ××××

5、;, Xm, Y1, ××××, Yn相互獨(dú)立, f , g分別為m 元與 n元連續(xù)函數(shù) Þ f (X1, ××××, Xm)與g (Y1, ××××, Yn)也獨(dú)立.3° 常數(shù)與任何隨機(jī)變量獨(dú)立. 3. 常見的二維分布(1) 二維均勻分布 (X, Y ) U (D), D為一平面區(qū)域. 聯(lián)合概率密度為 (2) 二維正態(tài)分布 (X, Y ) N (1 , 2, s12 ,s22, r ), ¥ <1, 2 < +¥, s1&

6、gt;0, s2 > 0, | r | <1. 聯(lián)合概率密度為性質(zhì):( a ) X N (1, s12 ), Y N (2, s22 )( b ) X與Y相互獨(dú)立 Û rX Y =0 , 即 X與Y不相關(guān).( c ) C1X+C2Y N (C1 1+ C2 2, C12 s12 + C22s22 +2C1C2 r s1 s2 ).( d ) X關(guān)于Y=y的條件分布為正態(tài)分布: 【 例1 】 設(shè)A，B為事件，且P(A), P(B|A), P(A|B) 令 X, Y(1) 試求(X, Y)的聯(lián)合分布律；（2）計(jì)算Cov( X, Y )；(3) 計(jì)算 .【 例2 】設(shè)隨機(jī)變量X

7、與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X, Y)聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值, 試將其余數(shù)值填入表中的空白處. Y X【 例3 】設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布, 且X的概率分布為 記.(I) 求(U, V)的概率分布;(II) 求(U, V)的協(xié)方差Cov(U, V).【詳解】(I) 易知U, V 的可能取值均為: 1, 2. 且,故(U, V)的概率分布為: VU1 212 0 (II) ,而 , .故 .【 例4】 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間(0, 1)上服從均勻分布, 在的條件下,隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布, 求() 隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度; () 的概率密度; () 概率

8、. 二、 二維(或兩個(gè))隨機(jī)變量函數(shù)的分布1 分布的可加性(1) 若XB(m, p), YB(n, p), 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y B (m+n, p).(2) 若XP(1), YP(2), 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y P (1+2).(3) 若XN(), YP(), 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y N ().一般地，若XiN(), i=1, 2, , n, 且X1，X2，Xn相互獨(dú)立，則Y=C1X1+C2X2+CnXn+C仍服從正態(tài)分布，且此正態(tài)分布為 其中C1，Cn為不全為零的常數(shù).2. 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布. 【 例5 】 設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 且 則 【 例6】 設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 其密度函數(shù)分別為: 求Z2XY 的概率密度.【 例7】設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【詳解】(I) .(II) 方法一： 先求Z