用非線性反饋函數(shù)法研究蔡電子線路的混沌同步

1、第31卷第6期用非線性反饋函數(shù)法研究蔡電子線路的混沌同步3方天華(,),對(duì)著名的蔡(Chua)電子線路,。該方法具有同步時(shí)間短、適應(yīng)性較廣,。自從Pecora和Carroll1在1990年提出驅(qū)動(dòng)2響應(yīng)方法并首先在電子線路上實(shí)現(xiàn)了混沌同步以來(lái),國(guó)際上混沌同步的研究迅速發(fā)展。它不僅在通訊等領(lǐng)域有很大的應(yīng)用潛力,而且在醫(yī)學(xué)、生物及工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用發(fā)展前景。近年來(lái),混沌同步及其應(yīng)用已成為非線性科學(xué)中的1個(gè)重要研究課題和競(jìng)爭(zhēng)熱點(diǎn)2。迄今已經(jīng)提出了許多方法實(shí)現(xiàn)混沌同步2。但它們中的大多數(shù)是基于線性反饋原理。值得注意的是,近年來(lái)非線性控制法正在興起,特別是非線性反饋法,它不僅可以應(yīng)用于混沌控制,而

2、且還可以應(yīng)用于混沌同步,因此已成為人們關(guān)注的1個(gè)重要研究方向35。)函數(shù)方法6,7本文將應(yīng)用非線性控制的基本思想3,4及李雅普諾夫(對(duì)1個(gè)著名的有實(shí)用價(jià)值的蔡(Chua)電子線路8尋找一些非線性反饋函數(shù)以實(shí)現(xiàn)混沌同步,這將為混沌同步在實(shí)驗(yàn)上提供有用的實(shí)例和1個(gè)新的可能途徑。1混沌同步的基本原理現(xiàn)考慮2個(gè)n維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng):X=F(t、X)Y=F(t、Y)+G(X、Y) (1)(2)其中:X、Y為n維矢量,X、Y分別具有x1,x2,xn和y1,y2,yn;F為n維非線性函數(shù),F具有分量F1,F2,Fn;G為m維輸入控制函數(shù),G具有分量G1,G2,Gm,mn,這里,G為非線性反饋函數(shù)。顯然,當(dāng)G

3、=0時(shí),式(2)是式(1)的復(fù)制系統(tǒng)。但是,它們具有不同的初始條件。通常,稱式(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),式(2)為響應(yīng)系統(tǒng)。從通訊角度說(shuō),前者稱為發(fā)射機(jī)系統(tǒng),后者稱為3福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目收稿日期:1997206216收到修改稿日期:1997206223第6期方天華:用非線性反饋函數(shù)法研究蔡電子線路的混沌同步489接收機(jī)系統(tǒng)。通過(guò)選擇合適的G(X、Y),使得t時(shí),G(X、Y)0,Y(t)X(t),也就是說(shuō),使式(2)的解漸近地趨向式(1)的解,從而使系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)達(dá)到同步。這時(shí),可以表示為:當(dāng)tlimY(t)-X(t)=0(3)時(shí),G(X、Y)0。為了應(yīng)用李雅普諾夫函數(shù)方法討論混沌同步,

4、可將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯渴?1)與(2)的誤差動(dòng)力學(xué)方程:(4a)e=X-Y=F(t、X)-F(t、Y)-G(X、Y)即nei=1nim=Fi=1i(t,X)-Fi(t,Y)-n(X,ii=1(4b)倘若找到1個(gè)正定的李雅普諾夫函數(shù)Lnneiim(5)它對(duì)于時(shí)間t),即i=1iieFii=1ti(t,X)-Fi(t,Y)-eG(X,Y)0,miii=1n(6)其中,ei=0,(i=1,2,n)成立。因此,式(4)對(duì)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的6,則有l(wèi)imyi(t)-xi(t)=0,i=1,2,n或tlimY(t)-X(t)=0由式(3)知,式(2)與(1)已達(dá)到同步。對(duì)2個(gè)混沌系統(tǒng)同步的上述論證是直接應(yīng)用

5、李雅普諾夫關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般理論得出的,與He和Vaidya7用李雅普諾夫函數(shù)方法對(duì)混沌同步的論證以及Pecora和Carroll1,9,10的同步原理實(shí)質(zhì)上都是等價(jià)的。這就給出了發(fā)生同步的充分必要條件。本文正是基于上述原理,研究應(yīng)用非線性反饋函數(shù)法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的混沌同步。2用非線性反饋函數(shù)實(shí)現(xiàn)混沌同步現(xiàn)在考慮蔡電子線路的混沌同步。因?yàn)槟壳八诿孛芡ㄓ嵎矫嬖趪?guó)際上具有很大的競(jìng)爭(zhēng)性,以此典型系統(tǒng)來(lái)研究實(shí)現(xiàn)混沌同步,具有實(shí)際意義。這里關(guān)鍵兩步是:構(gòu)造1個(gè)合適的李雅普諾夫函數(shù);選擇一類適于實(shí)現(xiàn)混沌同步的非線性反饋函數(shù)。蔡電子線路方程為:x1=x3-x1-f(x1),x2=-x3,x3=x1-x3+x2(

6、a-b)( x1+1 - x1-1 )其中:f(x1)=bx1+2T對(duì)式(7)帶有反饋函數(shù)G(X、Y)=G1,G2,G3的響應(yīng)系統(tǒng)為y1=y3-(7)y1-f(y1)+G1,y2=-y3+G2,y3=y1-y3+y2+G3(8)(a-b)( y1+1 - y1-1 )其中:f(y1)=by1+2已知:當(dāng)參數(shù)=10100,=14187,a=-1127,b=-0165時(shí),其李雅普諾夫指數(shù)為490(01279,01000,-21359),該系統(tǒng)處于混沌態(tài)。原子能科學(xué)技術(shù)第31卷由式(6)得出L=-2)e1e3-(b+1)e2e3+(1+1-(-1)e2e3-G1e1-G2e2-G3e3(9)選擇如下

7、非線性反饋函數(shù):G1=0,G2=Ktg(x2-G3=Ktg(x3-y2)K(x2-y3)+y2)+(x2-y2)3,(10)y3)K(x3-(x3-y3)3其中:K為反饋系數(shù)。(10)代入式(9),有2 -22(1+)(b+1)L=-(b+1)e1-3-2222+K+1-e-4(b+1)4K當(dāng)K滿足下面條件+-K>0e22()-2e32-2-4(b+1)2>04K(11)時(shí),對(duì)任意e1、e2、e3,則有L0,把b值代入式(11),解得K>11173。因此,當(dāng)K>11173時(shí),L0,則在非線性反饋式(10)控制下,蔡電子線路式(8)與(7)達(dá)到混沌同步。數(shù)值算得響應(yīng)系統(tǒng)式

8、(8)的李雅普諾夫指數(shù)為(-010554,-010558,-1018886),完全滿足Pecora和Carroll同步原理9,10,同樣證明在非線性反饋函數(shù)式(10)控制下式(8)與(7)實(shí)現(xiàn)了混沌同步。數(shù)值計(jì)算再次驗(yàn)證了上述的解析結(jié)果是正確的。當(dāng)K=12時(shí),2個(gè)蔡電子線路達(dá)到混沌同步過(guò)程的轉(zhuǎn)變時(shí)間=90步,說(shuō)明非線性反饋函數(shù)法是很有效的。本文找到了幾種非線性反饋函數(shù)G的形式、K的范圍以及與K值對(duì)應(yīng)的值(表1),它們都可以實(shí)現(xiàn)蔡電子線路的混沌同步。表1適于蔡電子線路實(shí)現(xiàn)混沌同步的幾種非線性反饋函數(shù)(系統(tǒng)參數(shù):=10100,=14187,b=-0165)Table1Someofnonlinear

9、feedbackfunctionsforsynchronizationofchaosbetweentwoChuascircuitswithdifferentinitialconditions(systemparameters:=10100,=14187,b=-0165)序號(hào)12G1G2Ktg(x2-y2)G3Ktg(x3-y3)Ktg(x3-y3)KK>11173K>7164(步長(zhǎng)=0101)90(K=12)9900(K=8)00y1(x3-y3)-(-1)(x2-y2)-y1(x2-y2)+Ktg(x3-y3)30K1(x2-y2)+Ktg(x2-y2)K2(x2-y2)K>

10、;11173K1<14(K2-48109)K2>481092000(K=12)37900(K1=315,K2=50)4)(x3-y3)+(1+第6期方天華:用非線性反饋函數(shù)法研究蔡電子線路的混沌同步491表1中序號(hào)4為線性反饋函數(shù)的結(jié)果。比較表明,應(yīng)用非線性反饋函數(shù)法達(dá)到混沌同步的轉(zhuǎn)變時(shí)間更短,說(shuō)明非線性反饋函數(shù)法更為有效。從表1還可以看出:從非線性反饋函數(shù)形式看,可以采用一維反饋,也可以采用多維反饋,而以采用多變量反饋為宜。從反饋系數(shù)看,所有系數(shù)均可相同,也可不同。將此法應(yīng)用于Rossler系統(tǒng)、限于篇幅,將另行Lorenz系統(tǒng)等,也已成功實(shí)現(xiàn)了混沌同步。報(bào)道。3結(jié)論應(yīng)用非線性控

11、制法,結(jié)合李雅普諾夫函數(shù)方法,數(shù),實(shí)現(xiàn)了對(duì)有實(shí)用價(jià)值的蔡電子線路的混沌同步?？赡芡緩健：蚔aidya用李雅普諾夫函數(shù)方法的論證,以及rall。非線性反饋,適用性較廣,在某些非線性系統(tǒng)下是較簡(jiǎn)便、,非線性反饋函數(shù)更為有效,預(yù)期它將有良好的發(fā)展前景。、關(guān)遐令研究員和方錦清研究員等給予的幫助和指導(dǎo),表示衷心感謝。參考文獻(xiàn)2方錦清1非線性系統(tǒng)中混沌控制方法、同步原理及其應(yīng)用前景(一),(二)1物理學(xué)進(jìn)展,1996,16(1):1;16(2):13713AliMK,FangJQ.SynchronizationofChaosandHyperchaosUsingLinearandNonlinearFeedb

12、ackFunc2.PhysRevE,1997,55(5):1257.tions4成雁翔,王光瑞1用非線性反饋實(shí)現(xiàn)混沌的同步化1物理學(xué)報(bào),1995,44(9):138215FangJQ,AliMK.SynchronizingSpatiotemporalChaosintheCoupledMapLatticesUsingNonliearFeed2.NuclearScienceandTechniques.1997,8(3):129.backFunctions6秦元?jiǎng)?王慕秋,王聯(lián)1運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論及應(yīng)用1北京:科學(xué)出版社,198111711992,46(12):7387.8ChuaLO.ChuasCir

13、cuit:AnOverviewTenYearsLater.JournalofCircuits,SystemsandComputers,1994,4(2):117.9CarrollTL,PecoraLM.SynchronizingChao492原子能科學(xué)技術(shù)第31卷NONLINEARFEEDBACKFUNCTIONSFORSTUDYINGSYNCHRONIZATIONOFCHAOSINCHUASCIRCUITSFangTianhua.tages,andsimplicityforlowdimensionalchaoticsystemsKeySynchronizationofchaosNonlinearfeedbackfunctionalmethodChuascircuitWWER-440型213核電站選定的安全狀況SelectedSafetyAspectsofWWER-440Model213NuclearPowerPlants本書1996年由IAEA出版。IAEA及許多成員國(guó)承擔(dān)了若干項(xiàng)提高老式設(shè)計(jì)的核電站的安全研究,其中之一是WWER2440型反應(yīng)堆核電站。IAEA關(guān)于WWER2440型213核電站安全評(píng)價(jià)項(xiàng)目的主要目的,是在這一類型反應(yīng)堆選用的安全狀況研究中給予協(xié)調(diào)及全面的幫助。這一項(xiàng)目不僅增加了對(duì)前蘇聯(lián)設(shè)計(jì)的此