程序編制中的數(shù)學(xué)處理--非圓曲線節(jié)點(diǎn)的計(jì)算

1、程序編制中的數(shù)學(xué)處理非圓曲線節(jié)點(diǎn)的計(jì)算數(shù)控系統(tǒng)一般只有直線和圓弧插補(bǔ)功能，對(duì)于非圓曲線輪廓，只能用直線或圓弧去逼近它。節(jié)點(diǎn)就是逼近線段與非圓曲線的交點(diǎn)，也是個(gè)逼近線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)。一個(gè)已知曲線方程的節(jié)點(diǎn)數(shù)與逼近線段的形狀（直線還是圓?。?、曲線方程的特性以及允許的逼近誤差有關(guān)。節(jié)點(diǎn)計(jì)算，就是利用這三者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，求解出各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。一、等間距的直線逼近的節(jié)點(diǎn)計(jì)算已知非圓曲線方程 y=f（x）從曲線X軸的起點(diǎn)坐標(biāo)開始，以等間距x來(lái)劃分曲線起點(diǎn)到終點(diǎn)的區(qū)間，可得一系列X軸的坐標(biāo)點(diǎn)的值，設(shè)起點(diǎn)的X坐標(biāo)值為x0=a，則有：x1=a+x，x2=a+2x，x3=a+3x，. Xi=a+ix，.

2、將這些X坐標(biāo)值代入方程 y=f（x），則求得一系列Y坐標(biāo)值：yi=f（xi）（i=1，2，3，.）那么（xi，yi）（i=1，2，3）就是所求得的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值。相鄰兩點(diǎn)的直線段就是逼近線段。等間距法的關(guān)鍵是合理確定x，既要滿足允許誤差的要求，又要使節(jié)點(diǎn)盡可能少。通常采用試算和校驗(yàn)的方法確定x，方法步驟如下：1取x初值，一般取0.1。2計(jì)算（xi，yi）（i=1，2，3）。3誤差驗(yàn)算：設(shè)任一逼近直線MN，其方程為：ax+by+c=0，則與MN平行且距離為允的直線MN的方程為：求解聯(lián)立方程：若：    只有一個(gè)解，則逼近誤差等于允，x正好滿足誤差要求。

3、0;       沒有解，則逼近誤差小于允，x滿足誤差要求，可適當(dāng)增大其取值，返回2。        有兩個(gè)解，則逼近誤差大于允，x太大，應(yīng)減小其取值。返回2。    等間距法計(jì)算簡(jiǎn)單，但由于必須保證曲線曲率最大處的逼近誤差小于允許值，所以程序可能過多。二、等弦長(zhǎng)直線逼近的節(jié)點(diǎn)計(jì)算    使所有逼近線段的長(zhǎng)度相等。計(jì)算步驟如下：（1）確定允許的弦長(zhǎng)。 用等弦長(zhǎng)逼近，最大誤差max一定在曲線的曲率半

4、徑最小Rmin處，則為：（2）求Rmin。曲線任一點(diǎn)的曲率半徑為：        取dR/dx=0，即 根據(jù)求得，并由       式（2-3）求得x后， 將x值代入式（2-2）       求、得Rmin。（3）以曲線起點(diǎn)A為圓心，做半徑為的圓交曲線于B點(diǎn)，聯(lián)立求解：得節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xB、yB。（4）順序以B、C、.為圓心，重復(fù)步驟（3），即可求得其余各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值。三、等誤差直線逼近的節(jié)點(diǎn)計(jì)算 

5、60;  使所有逼近線段的誤差相等。計(jì)算步驟如下：（1）以起點(diǎn)A（xa，ya）為圓心，以允為半徑作圓，稱為允差圓，其方程為：記為：（2）作圓與曲線的公切線PT，求其斜率k。K=（yT-yP）/（xT-xP）為求yT、yP、xT、xP，求解聯(lián)立方程：（3）以A為起點(diǎn)，作平行于公切線PT的直線AB，交曲線于B點(diǎn)。AB的方程為：（4）求B點(diǎn)的坐標(biāo)值。聯(lián)立求解曲線方程和AB的方程：（5）按上述步驟順序求得C，D，各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。四、圓弧逼近的節(jié)點(diǎn)計(jì)算曲率圓法，是一種等誤差圓弧逼近法。計(jì)算步驟如下：（1）以曲線的起點(diǎn)（xn，yn）開始作曲率圓，其參數(shù)為：     圓心：半徑：（2）以點(diǎn)（n，n）為圓心，（Rn±允）為半徑作偏差圓，求偏差圓于曲線的交點(diǎn)（xn+1，yn+1）。解聯(lián)立方程：（3）求過（xn，yn）和（xn+1，yn+1）兩點(diǎn)，半徑為R