構(gòu)造函數(shù)與方程思想解決問題

1、構(gòu)造函數(shù)與方程思想解決問題函數(shù)與方程是中學數(shù)學的一個重要概念，它滲透在數(shù)學的各部分內(nèi)容中，一直為高考 熱點、重點內(nèi)容，函數(shù)思想使常量數(shù)學進入變量數(shù)學，使得靜態(tài)問題動態(tài)化，高中數(shù)學中的 初等函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何等問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程思想解決。一、函數(shù)與方程思想剖析1 1、 函數(shù)的思想：就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系來建立函 數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)對其研究，使問題得以解決，這種思想方法在于揭示問題的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，重在對問題的變量的動態(tài)研究，從變量的運動變化、 聯(lián)系和發(fā)展角度拓寬解題思路。函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是

2、：單調(diào)性、奇偶性、 周期性、最大值和最小值、圖象變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函 數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特征。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件， 構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應用函數(shù)思想的關(guān)鍵。2 2、 方程思想：由于新課標增加了函數(shù)的零點，函數(shù)零點就是方程的根，所以與函數(shù)有必然聯(lián)系的是方程， 方程思想是研究問題中的等量關(guān)系，動中求靜，通過建立等量關(guān)系，用方程的觀點和方法解決問題。二者是緊密聯(lián)系、相輔相成的關(guān)系，在一定條件下，它們可以互相轉(zhuǎn)化。運用方程解決問題主要有兩個方面：一是從分析問題的結(jié)構(gòu)入手，找主要矛盾，抓住某一個關(guān)鍵變量， 將等式看成關(guān)于

3、這個主變量的方程，然后具體研究這個方程； 二是將函數(shù)、三角、不等式、解析幾何等問題轉(zhuǎn)化為方程問題解決，從而達到優(yōu)化解題過程的目的。3 3、 函數(shù)與方程 是兩個有著密切聯(lián)系的概念，它們之間相互滲透，很多方程問題需要用函數(shù)的知識和方法來解決， 很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法來支援，函數(shù)與方程之間的辨證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。二、函數(shù)方程思想的具體應用1 1、構(gòu)造函數(shù)利用圖象求解的有力的工具。在其它方法不奏效的情況下，首先想到利用函數(shù)的圖象解決。2 2、構(gòu)造函數(shù)利用零點分布例 2 2、關(guān)于 x x 的方程9x(4 a)3x4 0有兩個實數(shù)解，求實數(shù) a a 的取值范圍。例 1 1、設(shè) a a、b

4、 b、c c 均為正數(shù)，且 2 2alog1a,（-）b21log1b（ - ）clog2c,則（22C.C.c aA.A.a b cB.B.c b a分析：由于所給的式子是非常規(guī)等式，以根據(jù)函數(shù)思想，構(gòu)造出恰當?shù)暮瘮?shù)，禾 U U 用函數(shù)的圖象求解即可。解析：解決本題可以利用數(shù)形結(jié)合法求解，bD.D.b如果利用常見的比較大小的方法難以解決,如圖分別畫出函c但是可1數(shù)y （-）x、y 2x、y log2x、y2log!x的圖象，圖2象之間的交點分別是 a a、b b、c c,由圖象易知擇 A A。點評：解決本題需要函數(shù)的思想，把 a a、b b、c c 對應的值看成相 應函數(shù)的交點的值，而函數(shù)的

5、圖象容易畫出，由交點的情況容 易知道 a a、b b、c c 的大小關(guān)系。函數(shù)的圖象確實是解決函數(shù)問題a b c，所以選解：令 t t =3x，則問題等價于方程t2(4 a)t 40在(0,)上有兩個實根。點所在區(qū)間，由于 f f (1 1 )= 1 1 202010 ,所以在(1,2)。點評：由于函數(shù) y y = f f (x x)的零點就是方程 f f (x x)= 0 0 的根，所以在研究方程的有關(guān)問 題，如：比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等時，都可以將方程問題 轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助函數(shù)的零點，結(jié)合函數(shù)的圖象加以解決3 3、構(gòu)造函數(shù)利用性質(zhì)例 4 4、已知33251點

6、評：曰. W量天系。4 4、構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題(4 a)21624 a令 f f( (t t)=t2(4 a)t 4，則有02f (0)40解得 aa 8.8.點評：解決本題注意問題的等價轉(zhuǎn)化，把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點分布解決，應該注意轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(0 0,+)上有兩個實數(shù)根。本題常常因為轉(zhuǎn)化不等價產(chǎn)生錯誤。3 3 :設(shè)函數(shù)2的圖象的交點為(滄，y0)，則x0所在的區(qū)間是解:(0,1)B B -(11)C C-(2,3)D D -(3,4)根據(jù)函數(shù)與方程關(guān)系，兩函數(shù)圖象交點即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x) x3(g)x2的零的值。解。分析：兩方程常數(shù)項不同，因此,不能將看作一個方程的根而直接用韋

7、達定理求解:1)32(1) 2f(x)所以1)3x32(1)2x1)32(1)0變形,得(1)32(1)20，構(gòu)造函數(shù)2，則 f f( (x x)在 R R，所以=2.2.f(1)f(1解決本題通過構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用單調(diào)性找等量關(guān)系，有時利用奇偶性找等解：令 t t =3x，則問題等價于方程t2(4 a)t 40在(0,)上有兩個實根。例 5 5、為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的t a116（a為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題:（IIII）由題意得：當空氣中每

8、立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時應該滿足第二個函數(shù)的1解析式，即（丄）七0.10.25，解得t 0.6，所以至少需要經(jīng)過 0.60.6 小時學生才能夠進入教16室。點評：新課標加大了對應用問題的考查，通過近幾年考題觀察，函數(shù)的應用問題也正悄然變化，即情景文字與圖形的結(jié)合考查，本題涉及一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等知識，理解題意、看 懂圖表、圖象是求解本題的關(guān)鍵。圖象信息題是由圖象給出數(shù)據(jù)信息，探求多個變量之間的關(guān)系，再綜合應用有關(guān)函數(shù)知識加以分析，以達到解決實際問題的題型。采用分段函數(shù)進行函數(shù)建模，解決關(guān)鍵是對自變量 x x 的取值進行合理分段。不同分段上的函數(shù)式選擇不同的函數(shù)模型進行合理表達，滲

9、透了分類討論數(shù)學思想方法。5 5、變函數(shù)為方程，求解值域ax b例 6 6、已知函數(shù)y2（x R,且 a 0）的值域為1 1, 4 4，求常數(shù) a a, b.b.x 1ax b解：因為函數(shù)y2（x R,且 a 0）的值域為1 1, 4 4,所以對于任意x 1ax b2x 1,4必有x R使y2成立，所以關(guān)于 x x 的方程y（x 1） ax b有實根,X1b即方程yx2ax(yb)0，若 y y= 0 0,則xR;a若y 0,則2a4(yb)y 0，即4y24by2a0,而1 y 4.所以方程4y24by2a 0的兩根為一 1 1, 4 4,由根與系數(shù)關(guān)系，得 b b= 3 3,a216,故a

10、 4,b3.點 評 ： 本 例 在 于 構(gòu) 造 出 關(guān) 于x x 的 一 元 二 次 方 程 后 ， 借 助 判 別 式 解 決 問 題 ， 它 是 方 程 思（I I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（IIII）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過 _小時后，學生才能回到教室.解析：（I I）由圖象易知函數(shù)應該是分段函數(shù)，當0 t 0.1時，設(shè)解析式為 y y= kxkx,由于圖象經(jīng)過（0.10.1, 1 1）代入函數(shù)的解析式得： y y= 10 x10 x ；當0.1t時

11、，函數(shù)為類指數(shù)型，且圖象也經(jīng)過（ 0.10.1, 1 1 ）代1t a入y中，得 a a= 0.10.116所以函數(shù)的關(guān)系式為:10 xy(討10 t 0.1t 0.1函數(shù)關(guān)系式為y4想的一個體現(xiàn)。用判別式解題，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個適當?shù)囊辉畏匠?，讓需要研究的量處于方程系?shù)位置上。4例 7 7、對于函數(shù) y y= f f (x x) (xD)，若同時滿足下列條件：f f (x x)在 D D 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；存在區(qū)間a,b D,使 f f( (x x)在a,b上的值域為a,b，那么 y y= f f( (x x)叫閉函數(shù),若 y y= k k +.x 2是閉函數(shù)，求實數(shù) k k 的取值范圍。解：

12、由題意知存在a,b)，使的 y y = k k +x 2在a, b上的值域為a,b,因為 y y= k k+x2在2,)上是增函數(shù)，所以abk. ak. b2,所以 a a、b b 是方程 y y = k k2+一x 2的兩個相異的實根 ，由x x=k k +x 2x 2x kx 2x k(xk)2x2(2kx k1)x k220，即方程2x (2k1)xk22 0在k,)上有兩 個 相異的實根。設(shè)g g ( x x )=(2k 1)24(k22)0222k 19x2(2k1)x k220，則有k，解得-k 2o24g(k) k2(2k 1)k k22 0點評：上面的例題用方程的觀點把函數(shù)與方

13、程緊密聯(lián)系起來，應用方程的知識使得問題得以解決。本例題意新穎解決這類問題的關(guān)鍵是：一是熟讀題目，搞清告訴的新概念、新運算、新函數(shù)；二是把掩蓋在新概念下的知識挖掘出來，轉(zhuǎn)化為已有的知識來解決。6 6、變直線與曲線的相交為方程直線與圓錐曲線位置關(guān)系是高考中反復考查的熱點內(nèi)容，主要考查直線與圓錐曲線公共點個數(shù)問題，相交時的弦長問題、弦中點或相關(guān)點軌跡問題，直線的傾角斜率問題，三角形面積問題，對稱問題，存在性問題。在這類題目中常常涉及到方程的思想。X2例 8 8如圖，直線y kxb與橢圓一4面積為S.(I I)求在k 0,0b 1的條件下，y21交于A,S的最大值;(II(II )當AB2,S1時，求

14、直線AB的方程.解(I):設(shè)點A的坐標為(x1,b)，點B的坐標為(x2,b),2由b21，解得x1;22 1 b2，所以1 ._S b|x!X2| 2b, 1 b2b21 b21 2當且僅當b2 2時，S取到最大值1.2故直線AB的方程是點評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.由于直線與曲線的交點問題是由它們組成的方程組的解的問題，從而使幾何問題代數(shù)化， 再從方程組的解分析中去認識交點問題，進而解決諸如交點坐標、弦長、中點等有關(guān)問題。三、兩種思想的總結(jié)構(gòu)造函數(shù)或方程并不是一眼就能看出來的，需要敏銳的洞察力，深層挖掘其內(nèi)在聯(lián)系， 構(gòu)造函數(shù)與方程可以歸納為：（1 1）觀察題目類型和結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出所求問題的函數(shù)或方程模型；（2 2 ）利用有關(guān)函數(shù)或方程的定理、性質(zhì)等，得出相應的結(jié)論；（3 3 ）將函數(shù)或