數(shù)分選講講稿第4講

1、備 注3學(xué)時講授內(nèi)容第三十四講§6.4隱函數(shù)存在定理對方程F(x,y)=0而言，隱函數(shù)存在定理是：F(x,y)滿足1F(X0,y0)=0,Fy(X0,y0)#0；20F(x,y)及Fy'(x,y)在(,y°)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則方程F(x,y)=0在(x0,y。)的鄰域里確定了唯一的隱函數(shù).具體來說，即36>0,>0,及函數(shù)y=y(x),滿足：i) y0=y(x°)；ii) F(x,y(x)三0,y(x)y0<6,xwU(%產(chǎn))其中U(x0,n)=x|x-x01<”;注：定理的條件 只是充分條件， 而不是要條件.iii)滿足條件i)、

2、ii)的函數(shù)y(x)是唯一的；iv)y=y(x)在U(比,“)內(nèi)連續(xù).若附加條件：Fx(x,y)在(x0,y0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，則y(x)存在，且y(x)=dy=.dxFy(x,y)例1給定方程x2+y+sin(xy)=0(A)1)說明在點(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)，此方程確定唯一的、連續(xù)的函數(shù)y=y(x),使得y(0)=0；2)討論函數(shù)y(x)在x=0附近的可微性；3)討論函數(shù)y(x)在x=0附近的升降性(單調(diào)性)；4)在點(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)，此方程是否確定唯一的單值函數(shù)x=x(y),使得x(0)=0?為什么?解1)F(x,y)=x2ysin(xy)10F(0,0)=0,Fy(x,y)

3、=1+xcos(xy),Fy(0,0)=1;20顯然F(x,y)及Fy(x,y)在(0,0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，由隱函數(shù)存在定理，F(xiàn)(x,y)=0在點(0,0)的某鄰域內(nèi)存在唯一隱函數(shù)y=y(x),連續(xù)，y(0)=0.2)Fx(x,y)=2x+ycos(xy)也在(0,0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，所以函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且Fx(x,y)2xycos(xy)y(x)二-二(B)Fy(x,y)1xcos(xy)3)為討論y(x)在x=0附近的升降性，考慮y'(x)的符號,由(B)得出，當(dāng)(x,y)充分接近(0,0)時，y'(x)的符號取決于分子(2x+ycos(xy)的符號.'/y

4、(0)=0,由(B)知y'(0)=0,二y(x)=o(x)(當(dāng)xt0時)于是ycos(xy)<|y|=o(x)二y(x)的符號與2x的符號相同.x>0時，y'(x)<0,y(x)L,x<0時，y'(x)>0,y(x)L.可見，y(x)在x=0處取(嚴格)極大.4)(用隱函數(shù)存在定理不能判定在(0,0)的鄰域內(nèi)是否存在唯一的單值函數(shù)x=x(y),使得x(0)=0,F；(0,0)=0)由3)知，y(x)在x=0處取(嚴格)極大，故在(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)，當(dāng)y<0時，至少有二個x與y對應(yīng).而當(dāng)y>0時,無x與y對應(yīng)，使得F(x,

5、y)=0.所以不能確定x=x(y),使得x(0)=0.§6.5方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)的計算偏導(dǎo)數(shù)是兩個特1)利用定義殊方向的方向?qū)Ш瘮?shù)y=f(x)(xWn)在點P=(xi,x2,|,xn)處沿單位向數(shù)Jtll量l=(ll2/lhln)萬向的萬向?qū)?shù)定義為色=limf(P+tl")-f(P)=df(P+J)|(A)日pttdtJ2)利用偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)的關(guān)系若f(x)在點P=(xi,x2,|,xn)處可微，則f在P點沿任意(B)方向:=(C0S0(i,C0S0(2,HI,C0San)的方向?qū)?shù)存在，且=f>1(P)C0S11fx2(P)COS二2IIIfxn(P)C

6、OS二n3)利用梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系若f(x)在點P=(xi,x2,|,xn)處可微，則f在P點沿任意p = grad f (P)L(coS-：i1,coS .：2,cos.：n)梯度方向是函數(shù) 變化最劇烈的方 向，或個方向?qū)?數(shù)的最大值就是 梯度的模方向l=(C0S0(i,C0SC(2,IU,C0San)的方向?qū)?shù)存在，且=gradf(P)cos9I4其中日表示gradf(P)與l的夾角.例1設(shè)xy2.2.2,xy-0f(x,y)=Jx+yC2.20,x+y=0試證：f(x,y)在(0,0)點沿任意方向的方向?qū)?shù)存在，但在(0,0)處不可微.證取任意方向l=(cosa,sina)貝Uf(Pt

7、l)=f(0tcos二,0tsin：)=f(tcos：,tsin二)tcos：sin:,t=0=tcos：sin二0,t=0于是df(tcosa,tsina).:l(0,0)dtt=0二(tcossin二)tt30二cos:sin:可見在(0,0)處沿任意方向的方向?qū)?shù)存在.不可微性是課本上的例題.例2證明:2x yf (x, y) = x4 y20,x2 y2 = 0x2 y2=0在(0,0)處沿任意方向；= (cosc(,sin 口)的方向?qū)?shù)為2cos :.f (0,0), sin 二二0二、一=4 sin«cl0, sin « =0證 f (P tl) = f (0

8、 t cos-i,0 tsin 1)二f (tcos： ,tsin 二),22,2._ t cos - tsin-tcos - sin -一，44.2.2-，24. 2t cos -> t sin t cos Q： - sin -.df(P tl)dtt :02.，,24, 2、,24cos 二 sin ： (t cos 工" sin 二)-t cos 二 sin 二 2tcos ;oo 2t cos 二 sin ;2. 32df(P+tl) cos £ sin a cos a 一 =4= (sin " 0)dtt=0sin4a sina書 Pi00 Ex5

9、若sino(=0,f(tcosct,0)=0,小(P=0.dt總之，有2.cos;甘(0,0),sin工”0Lsince.,10,sin=0222例3求f(x,y,z)=x222+y2+z2在橢球面與+當(dāng)+4=1上abc的點P(%,y0,Z0)處的外法線方向的導(dǎo)數(shù).外法線方向解法向量n=1222L,粵,學(xué)；.a2b2c2單位法向量3=工：=4粵，粵,2z0|n|n|.abc其中|n|=2居+g+z卻.abc因此，三=gradf(P)Ln0=(2x0,2y0,2z0)_l-2,-y2,-f/ 222血+血+亙=12.221,1abe ,cnPlaRbRcl:f一=fx(x,y)cos.，,fy(

10、x,y)sin:.:l可見只要找出cosasina,使得所證結(jié)果.由已知條件f x, (x)三 0(x, y):兩邊關(guān)于x求導(dǎo)fxr(x, y) + fy(x, y)邛'(x)三0(x, y) -從而t-f(黑cos：fy±Jl +tan2£ 士J fx2 + f；fysin 二=tan ：cos.(=-V fx2 - fy2所以fxf2 f2 i f2 f 'x yx yfy=0.f一二fx(x,y)cos二"fy(x,y)sin二.:l設(shè)ll,l2為L2中的兩個線性無關(guān)的單位向量.函數(shù)對一元函數(shù)若 f (x) = 0,x I則 f (x) =

11、C,x If(x,y)在l_2中可微.方向?qū)?shù)里三0,i=1,2.試證：f(x,y)三常數(shù).、十、，、",、ff一.一證t己ll一(all,&2),l2(a21,a22)，因為T-0,i1,2li二fx&1fya12=fxa21fya22線性無關(guān)，二a11a12,0a21a22上述方程組只有零解：fx'=fy'=0.記P（x,y）w|_2,P（x。，y。）w2,由微分中值定理f(x,y)=f(xo,y°)fxxoXx-xo),yoi(y-y0)(x-x0)注：本結(jié)論可推三 f (x。，y0)0 : 1 ：二 1廣到L n中.fy%Xx-xO)

12、,yoXy-y0)(y-%)故f（x,y）三常數(shù).、梯度的計算梯度的計算（以13為例），主要使用如下公式:'、f(x, y,z) =gradf (x, y, z)=甘甘甘)甘 一,一,=i+j (£x cy cz J ex cy:x:y其中為Hamilton算符，i,j,k分別表示x,y,z軸上的單位向注：梯度是向量，因此其運算，要遵從向量的運算法則.例6設(shè)u=f(x,y),x=rcose,y=rsin8,求證:、二UF1二UFVu=r0+備.斤0r汨0TT其中r°,e°分別是徑向與圓周方向的單位向量.（如圖）J.x二y（r°方向的分量）JIOx

13、y 1J、口u在r°方向的投影：VuLr。j、工曰mu在用方向的投影：VuJSo（外方向的分量）按向量的分解原理：rt-'、u=0uL）r。u_。）為r0=lcosi,sin二，:cos一,sin一='-sin,cos"22Eu；:u'u二一，一x.y所以一：u.Fuu|_r0=cos-sin1.:u才：:yu|_'0=-(-sin1)-cos.:xi：i從而、u =，。例7設(shè)有方程1 jur .F2,2a u b u2z =1c2 u證明:(gradu 2 =2Ajgradu1；uu:一(rsm)rcos1r卜：xy其中A=(x,y,z).

14、證這是一個兼有梯度計算與隱函數(shù)求導(dǎo)的題目.(2)式變形為Ux2u：Uz2=2(xUxyuyzuz)問題轉(zhuǎn)化為由方程(1)證明式(3).(1)式將u定義方程(1)滿足隱函數(shù)存在定理的條件，因此為x,y,z的函數(shù).將(1)式對x求導(dǎo)(c2 +u )2xa2u-x2Uxy2ux-z2ux(a2+u)2xa2 u2x2a u2yb2 uux由輪換對稱已2x22a u2 a_ 2222 uc22 z2uUy (5)2z-2 c u222xyz + +222222 u i ib - u i c u1uz(6)(4),(5),(6)平方后相加,約去兩端的公因子，得2xL(a2+u j2221z22222+u )(b +u )(c +u )聯(lián)立(7)、(8),解得u；2+u：+uZ2=2(xuX + yu； +zu；).22(4)xx+(5