數(shù)值分析部分

1、數(shù)值分析講義20第1章數(shù)值分析中的誤差一、重點(diǎn)內(nèi)容誤差設(shè)精確值x*的近似值x,差e=xx*稱為近似值x的誤差(絕對(duì)誤差)。誤差限近似值x的誤差限e是誤差e的一個(gè)上界，即|e|=|xx*|<&。相對(duì)誤差er是誤差e與精確值x*的比值，。常用計(jì)算。相對(duì)誤差限是相對(duì)誤差的最大限度，常用計(jì)算相對(duì)誤差限。絕對(duì)誤差的運(yùn)算：£(x1±x2)=£(x1)+£(x2)s(x1x2)=|x1|e(x2)+|x2|e(x1)有效數(shù)字如果近似值x的誤差限£是它某一個(gè)數(shù)位的半個(gè)單位，我們就說x準(zhǔn)確到該位。從這一位起到前面第一個(gè)非0數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為x的

2、有效數(shù)字。關(guān)于有效數(shù)字：(1)設(shè)精確值x*的近似值x,x=±0.a1a2anx10ma1,a2,，an是09之中的自然數(shù)，且a1w0,|xx*|<e=0.5X10ml,1<l<n則x有l(wèi)位有效數(shù)字.(2)設(shè)近似值x=±0.a1a2anx10m有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限(3)設(shè)近似值x=±0.a1a2anx10m的相對(duì)誤差限不大于則它至少有n位有效數(shù)字。(4)要求精確到103,取該數(shù)的近似值應(yīng)保留4位小數(shù)。一個(gè)近似值的相對(duì)誤差是與準(zhǔn)確數(shù)字有關(guān)系的，準(zhǔn)確數(shù)字是從一個(gè)數(shù)的第一位有效數(shù)字一直數(shù)到它的絕對(duì)誤差的第一位有效數(shù)字的前一位，例如具有絕對(duì)誤差e

3、=0.0926的數(shù)x=20.7426只有三位準(zhǔn)確數(shù)字2,0,7。一般粗略地說，具有一位準(zhǔn)確數(shù)字，相對(duì)于其相對(duì)誤差為10%的量級(jí)；有二位準(zhǔn)確數(shù)字，相對(duì)于其相對(duì)誤差為1%的量級(jí)；有三位準(zhǔn)確數(shù)字，相對(duì)于其相對(duì)誤差為0.1%的量級(jí)。二、實(shí)例例1設(shè)x*=p=3.1415926-近似值x=3.14=0.314X101,即m=1,它的誤差是0.001526，有|x-x*|=0.001526-<0.5X101-3即l=3,故x=3.14有3位有效數(shù)字。x=3.14準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。又近似值x=3.1416,它的誤差是0.0000074,有|x-x*|=0.0000074-<0.5X1015即m

4、=1,l=5,x=3.1416有5位有效數(shù)字。而近似值x=3.1415,它的誤差是0.0000926有|x-x*|=0.0000926-<0.5X1014即m=1,l=4,x=3.1415有4位有效數(shù)字。這就是說某數(shù)有s位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位有效數(shù)字；若末位數(shù)字不是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位或s1位有效數(shù)字。例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限：2.0004-0.0020090009000.00解因?yàn)閤1=2.0004=0.20004X101,它的誤差限0.00005=0.5X1015,即m=1,l=5,故x1=2.0004有5位有效

5、數(shù)字。相對(duì)誤差限。x2=0.00200,誤差限0.000005,因?yàn)閙=-2,l=3,x2=0.00200有3位有效數(shù)字。相對(duì)誤差限er=0.000005/0.00200=0.25%。x3=9000,絕對(duì)誤差限為0.5,因?yàn)閙=4,l=4,x3=9000有4位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限er=0.5/9000=0.0056%。x4=9000.00,絕對(duì)誤差限0.005,因?yàn)閙=4,l=6,x4=9000.00有6位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為er=0.005/9000.00=0.000056%。由x3與x4可以看到小數(shù)點(diǎn)之后的0,不是可有可無的，它是有實(shí)際意義的。例3ln2=0.69314718，精確到10

6、-3的近似值是多少？解精確到10-3=0.001,即絕對(duì)誤差限是e=0.05%,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。ln2=0.693。三、練習(xí)題1 .設(shè)某數(shù)x*,它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對(duì)誤差是。2 .設(shè)某數(shù)x*,它的精確到10-4的近似值應(yīng)取小數(shù)點(diǎn)后位。3 .()的3位有效數(shù)字是0.236X102。(A)235.54X10-1(B)235.418(C)2354.82X10-2(D)0.0023549X1034 .設(shè)a*=2.718181828，取a=2.718,則有()，稱a有四位有效數(shù)字。(A)|aa*|W0.5X104(B)|a-a*|<0.5x101-4(C)|a-a*|&

7、lt;10-4(D)|a-a*|<0.00035.設(shè)某數(shù)x*,對(duì)其進(jìn)行四舍五入的近似值是()，則它有3位有效數(shù)字，絕對(duì)誤差限是0.5X10一4o(A)0.315(B)0.03150(C)0.0315(D)0.003156 .以下近似值中，保留四位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為0.25X103。(A)0.01234(B)T2.34(C)220(D)0.22007 .將下列各數(shù)舍入成三位有效數(shù)字，并確定近似值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。(1) 2.1514(2)-392.85(3)0.0039228 .已知各近似值的相對(duì)誤差，試確定其絕對(duì)誤差：(1) 13267er=0.1%(2)0.896er=10%9

8、 .已知各近似值及其絕對(duì)誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。(1) 0.3941e=0.25X10-2(2)293.481e=0.1(3)0.00381e=0.1X10-410.已知各近似值及其相對(duì)誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。(1)1.8921er=0.1X102(2)22.351er=0.15(3) 48361er=1%四、練習(xí)題答案1 .該數(shù)有效數(shù)字第四位的一半。2 .五3.(A)4.(B)5.(C)6.(D)7. (1)2.15,e=-0.14X10-2,er=0.65X103;(2)393,e=-0.15,er=0.38X103;(3)0.00392,e=0.2X105,er=0.51x10-

9、38. (1)e=0.13X102;(2)0.9X1019. (1)2;(2)3;(3)210. (1)3;(2)1;(3)2第15章線性方程組的數(shù)值解法一、重點(diǎn)內(nèi)容1 .高斯順序消去法解線性方程組AX=b,對(duì)增廣矩陣順序作初等行變換，使矩陣A化為上三角形矩陣，再回代，從而得到線性方程組的解。要求作初等行變換消元過程中，。注意：本章討論線性方程組的解的方法，不討論解的存在性。2 .高斯列主元消去法在高斯順序消去法中，每次消元之前，要確定主元，(k=1,2,3,，n1)把第r行作為主方程，做第k次消元。把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程組的解。3 .雅可比迭代法(簡單迭代法)解線性方程

10、組AX=b的雅可比迭代法公式為(k=。，1,2,)4 .高斯一一賽德爾迭代法解線性方程組AX=b的高斯一一賽德爾迭代法公式為(i=1,2,，n；k=0,1,2,)5 .解的收斂性定理【定理1】高斯消去法消元過程能進(jìn)行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0;AX=b能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為0?！径ɡ?】(迭代法基本定理)設(shè)線性方程組X=BX+f對(duì)于任意初始向量X(0)及任意f,對(duì)應(yīng)此方程組的迭代公式X(k+1)=B(k)X+f收斂的充分必要條件是，其中入i(i=1,2,，n)為迭代矩陣B的特征根。當(dāng)入i為復(fù)數(shù)時(shí)，|入i|表示入i的模?！径ɡ?】(迭代

11、法收斂的充分條件)設(shè)線性方程組AX=b,(1)若A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法收斂；(2)若A為對(duì)稱正定矩陣，則高斯一一賽德爾迭代法收斂。注：設(shè)矩陣A=aijn,若則稱矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。二、實(shí)例例1用順序消去法解線性方程組解順序消元于是有同解方程組回代得解x3=1,x2=1,x1=1,原線性方程組的解為X=(1,1,1)T。例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組解建立迭代格式(k=1,2,3,)第1次迭代，k=0X(0)=0,得到X(1)=(1,3,5)T第2次迭代，k=1X(2)=(5,3,3)T第3次迭代，k=2X(3)=

12、(1,1,1)T第4次迭代，k=3X(4)=(1,1,1)T例3填空選擇題：1 .用高斯列主元消去法解線性方程組作第1次消元后的第2,3個(gè)方程分別為。解選a21=2為主元，作行互換，第1個(gè)方程變?yōu)椋?x1+2x2+3x3=3,消元得到是應(yīng)填寫的內(nèi)容。2 .用選主元的方法解線性方程組AX=b,是為了()(A)提高計(jì)算速度(B)減少舍入誤差(C)減少相對(duì)誤差(D)方便計(jì)算答案：選擇(B)3 .用高斯一一賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中=(k=0,1,2,)答案：解答：高斯一一賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求x2的值時(shí)應(yīng)該用x1的新值。4 .當(dāng)a()時(shí)，線性方程組的迭代解一定收斂。(A

13、)>6(B)=6(C)<6(D)>6或V6答案：(D)解答：當(dāng)|a|>6時(shí)，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，由教材第10章定理6,迭代解一定收斂。三、練習(xí)題1 .用高斯列主元消去法解線性方程組2 .用高斯一一賽德爾迭代法求解線性方程組取初始值(4.67,7.62,9.05)T,求二次迭代值。3 .證明線性方程組的迭代解收斂。4 .用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進(jìn)行到底的充分必要條件是5 .用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為()(A)3(B)4(C)-4(D)9四、練習(xí)題答案1 .X=(4,1,2)T2 .(4.66619,7.61898,9

14、.04753)T3 .提示：系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。4 .線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0。5.(C)第2章函數(shù)插值與最小二乘擬合一、重點(diǎn)內(nèi)容1 .函數(shù)插值已知函數(shù)f(x)的n個(gè)函數(shù)值yk=f(xk),k=0,1,2,，n。構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式P(x),使得P(xk)=yk。P(x)就是插值多項(xiàng)式，f(x)就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點(diǎn)。誤差R(x)=f(x)P(x)。2 .拉格朗日多項(xiàng)式稱n次多項(xiàng)式Pn(x)=y0l0+y1l1+ynln=為拉格朗日插值多項(xiàng)式，其中基函數(shù)(i=0,1,2,，n)當(dāng)n=1時(shí)，線性插值P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)其中基函數(shù)。當(dāng)n=

15、2時(shí)，得到二次多項(xiàng)式，就是二次插值。拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為：，其中七C(a,b)注意：過n+1個(gè)互異點(diǎn)，所得的多項(xiàng)式應(yīng)該是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式。3 .均差與牛頓插值多項(xiàng)式函數(shù)值與自變量的差商就是均差，一階均差(或記作fx0,x1);二階均差(或記作fx0,x1,x2)均差有兩條常用性質(zhì)：(1)均差用函數(shù)值的線性組合表示；(2)均差與插值節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)。用均差為系數(shù)構(gòu)造多項(xiàng)式，就是牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(xx0)+fx0,x1,x2(xx0)(xx1)十+fx0,x1,x2,，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn-1)牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為:Rn(x)=f(x

16、)-Nn(x)=fx,x0,x1,x2,，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)4 .分段線性插值已知n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,，xn構(gòu)造一個(gè)分段一次的多項(xiàng)式P(x),且滿足：(1)P(x)在a,b上連續(xù)；(2)P(xk)=yk(k=0,1,2,，n);(3)P(x)在xk,xk+1上是線性函數(shù)。分段線性插值函數(shù)其中l(wèi)k(x)(k=0,1,2,，n)是分段線性插值基函數(shù)。(i=1,2,，n-1)5 .三次樣條插值函數(shù)(k=0,1,2,，n-1)(xkWxWxk+1)其中S2(xk)=mk(k=0,1,2,，n),hk=xk+1xk(k=0,1,2,，n1),m0,m1,，m

17、n滿足的方程組是(*)其中：，(k=1,2,，n-1)(1)當(dāng)已知S«x0)=yG,Sqxn)=yG時(shí)，(*)式中m0=1,ln=1,(2)當(dāng)已知S2(x0)=y20=m0,S2(xn)=y2n=mn時(shí)，(*)式化為6 .最小二乘法用j(x)擬合數(shù)據(jù)(xk,yk)(k=1,2,，n),使得誤差的平方和為最小，求j(x)的方法，稱為最小二乘法。(1)直線擬合若，a0,al滿足法方程組(2)二次多項(xiàng)式擬合若，a0,al,a2滿足法方程組二、實(shí)例例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk-2045yk5131試構(gòu)造拉格朗日多項(xiàng)式Pn(x),并計(jì)算P(1)。只給4對(duì)數(shù)據(jù)，求得的多項(xiàng)式不超過3次

18、解先構(gòu)造基函數(shù)所求三次多項(xiàng)式為P3(x)=P3(1)=例2已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表中第1,2歹U。計(jì)算它的各階均差。解依據(jù)均差計(jì)算公式，結(jié)果列表中。kxkf(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差00.400.4107510.550.578151.116000.65 0.696 751.168 000.280 000.80 0.888 111.275 73 0.358 93 0.197 330.90 1.201 521.384 100.433 48 0.213 00 0.031 34計(jì)算公式為一階均差(k=0,1,2,3)二階均差(k=0,1,2)三階均差(k=0,1)四階均差例3設(shè)x0

19、,x1,x2,，xn是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，lk(x)(k=0,1,2,，n)是拉格朗日插值基函數(shù)，證明：；(2)(m=0,1,2,，n)證明(1)Pn(x)=y0l0+ylll+ynln=當(dāng)f(x)三1時(shí)，1 =由于，故有(2)對(duì)于f(x)=xm,m=0,1,2,，n,對(duì)固定xm(0<m<n),作拉格朗日插值多項(xiàng)式，有當(dāng)n>m1時(shí)，f(n+1)(x)=0,Rn(x)=0,所以注意：對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，利用上結(jié)果，有可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例4已知函數(shù)e-x的下列數(shù)據(jù)，用

20、分段線性插值法求x=0.2的近似值。x0.100.150.250.30e-x0.9048370.8607080.7788010.740818解用分段線性插值，先求基函數(shù)。所求分段線性插值函數(shù)為所以，e-0.2=P(0.2)=-0.81907X0.2+0.983569=0.819755例5已知數(shù)據(jù)如表的第2,3歹U,試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。解計(jì)算列入表中。kxkykxkyk114142 24.5493 369184 4816325 58.52542.5S153155105.5n=5。a0,a1滿足的法方程組是解得a0=2.45,a1=1.25。所求擬合直線方程為y=2.45+1.25x例6選擇填空

21、題1 .設(shè)y=f(x),只要x0,x1,x2是互不相同的3個(gè)值，那么滿足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項(xiàng)式P(x)是(就唯一性回答問題)答案：唯一的解答：因?yàn)檫^3個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式是不超過2次的。設(shè)P(x)=a2x2+a1x+a0,其中a2,al,a0是待定數(shù)。P(xk)=yk,即這是關(guān)于a2,al,a0的線性方程組，它的解唯一，因?yàn)橄禂?shù)行列式所以，不超過2次的多項(xiàng)式是唯一的。2 .通過四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式P(x),只要滿足(),則P(x)是不超過一次多項(xiàng)式。(A)初始值y0=0(B)一階均差為0(C)二階均差為0(D)三階均差為0答案：(C)解答：因?yàn)槎A均差為

22、0,那么牛頓插值多項(xiàng)式為N(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)它是不超過一次的多項(xiàng)式。3 .拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是()，牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是()(A)(B) fx,x0,x1,x2,xn(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(C)(D) fx,x0,x1,x2,，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A),(D)o見教材有關(guān)公式。4.數(shù)據(jù)擬合的直線方程為y=a0+a1x,如果記那么系數(shù)a0,al滿足的方程組是()(A)(B)(C)(D)答案：(B)解答：因?yàn)榉ǚ匠探M為由第1個(gè)方程得到，將其代入第2個(gè)方程得到整理得故(B)正確。三、練習(xí)題1 .已知函數(shù)

23、y=f(x),過點(diǎn)(2,5),(5,9),那么f(x)的線性插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為。2 .過6個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)l4(x)=。3 .已知多項(xiàng)式P(x),過點(diǎn)(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3階均差為常數(shù)1,一階，二階均差均不為0,那么P(x)>()(A)二次多項(xiàng)式(B)不超過二次的多項(xiàng)式(C)三次多項(xiàng)式(D)四次多項(xiàng)式4 .已知y=f(x)的均差，。那么fx4,x2,x0=()(A)5(B)9(C)14(D)85 .求數(shù)據(jù)擬合的直線方程y=a0+a1x的系數(shù)a0,a1是使最小。6 .求過這三個(gè)點(diǎn)(0,1),(1,2),(

24、2,3)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。7 .構(gòu)造例2的函數(shù)f(x)的牛頓插值多項(xiàng)式，并求f(0.596)的近似值。8 .設(shè)l0(x)是以n+1個(gè)互異點(diǎn)x0,x1,x2,，xn為節(jié)點(diǎn)的格朗日插值基函數(shù)試證明:9 .已知插值條件如表所示，試求三次樣條插值函數(shù)。x123y2412y01-110 .已知數(shù)據(jù)對(duì)(7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),(12,6.4),(13,5.9)。試用次多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)。四、練習(xí)題答案1.2.3.C4.B5.6.x+17 .給定五對(duì)點(diǎn)，牛頓多項(xiàng)式是不超過4次的多項(xiàng)式。N4(x)=0.41075+1.11600(x0.40)+0.

25、28000(x0.40)(x0.55)+0.19733(x0.40)(x0.55)(x0.65)+0.03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)將x=0.596代入牛頓多項(xiàng)式N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596)=0.631928 .提示：求l0(x)的牛頓插值多項(xiàng)式。9 .10 .y=-0.145x2+3.324x-12.794第4章數(shù)值積分與微分一、重點(diǎn)內(nèi)容1 .m次代數(shù)精度求積公式對(duì)于任意不超過m次的代數(shù)多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立，而對(duì)某一個(gè)m+1次代數(shù)多項(xiàng)式不成立。2 .牛頓一一科茨求積公式：截?cái)嗾`差科茨系數(shù)：(k=0,1,2,，n),有兩條性質(zhì)。(2)牛頓

26、一一科茨求積公式的求積系數(shù)：Ak=(k=0,1,2,，n)(3)常見牛頓一一科茨求積公式梯形公式截?cái)嗾`差：R1f=復(fù)化梯形公式截?cái)嗾`差：，M2=拋物線公式復(fù)化拋物線公式截?cái)嗾`差：，科茨公式3 .高斯一一勒讓德求積公式節(jié)點(diǎn)為的零點(diǎn)(高斯點(diǎn))其余項(xiàng)：4 .微分公式(1)等距節(jié)點(diǎn)兩點(diǎn)求導(dǎo)公式：(k=0,1,2,，n-1)(2)等距節(jié)點(diǎn)三點(diǎn)求導(dǎo)公式：(k=1,2,，n-1)二、實(shí)例例1試確定求積公式的代數(shù)精度。依定義，對(duì)xk(k=0,1,2,3,)，找公式精確成立的k數(shù)彳1解當(dāng)f(x)取1,x,x2,計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。(1)取f(x)=1,有左邊=,右邊二(2)取f(x)=x，有左邊=,右邊二

27、(3)取f(x)=x2,有左邊=,右邊二(4)取f(x)=x3,有左邊=,右邊二(5)取f(x)=x4,有左邊=,右邊二當(dāng)kw3時(shí)求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)精度。例2試用梯形公式、拋物線公式和科茨公式計(jì)算定積分(計(jì)算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計(jì)算(2)用拋物線公式用科茨公式系數(shù)為如果要求精確到10-5,用復(fù)化拋物線公式，截?cái)嗾`差為，,N>2只需把0.5,14等分,分點(diǎn)為0.5,0.625,0.75,0.875,1例3用三點(diǎn)高斯一一勒讓德求積公式計(jì)算積分高斯型求積公式只能計(jì)算1,1上的定積分解做變量替換，查表得節(jié)點(diǎn)±0.7745966

28、69和0;系數(shù)分別為0.5555555556和0.8888888889注：該積分準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后七位是0.9460831,可見高斯型求積公式的精度是很高的。教材的第12章12.2節(jié)，用多種方法計(jì)算過該積分，它們的精度請(qǐng)讀者自行比較。例4用三點(diǎn)公式計(jì)算在x=1.0,1.1,1.2處的導(dǎo)數(shù)值。已知函數(shù)值f(1.0)=0.250000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206612解三點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式為k=1,2,3,，n-1本例取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,y0=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1。于是有計(jì)算例5選擇填空題1 .牛頓一

29、一科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn)是。解答：牛頓一一科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計(jì)其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。2.如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分,要求截?cái)嗾`差的絕對(duì)值不超過0.5X104,試問n>()(A)41(B)42(C)43(D)40答案：(A)解答；復(fù)化的梯形公式的截?cái)嗾`差中，故,n=40.8,取n>41o故選擇(A)。3.已知n=3時(shí)，科茨系數(shù)，那么=答案：1/8解答：由科茨系數(shù)的歸一性質(zhì),三、練習(xí)題1 .試確定求積公式的待定參數(shù)，使求積公式=A0f(0)+A1f(1)+A2f(2)的代數(shù)精度盡可能的高。2 .用復(fù)化拋物線公式計(jì)算

30、定積分。取n=4,保留4位有效數(shù)字。3 .試用四點(diǎn)(n=3)高斯一一勒讓德求積公式計(jì)算積分4 .已知條件見例4。用兩點(diǎn)求導(dǎo)公式計(jì)算f0.0),f(1.1)。5 .若用復(fù)化拋物線公式計(jì)算積分，要求截?cái)嗾`差的絕對(duì)值不超過0.5X104,試問n>()(A)1(B)2(C)4(D)36 .當(dāng)n=6時(shí)，=()代數(shù)精度的。7 .用三點(diǎn)高斯一一勒讓德求積公式計(jì)算積分四、練習(xí)題答案1. A0=A2=1/3,A1=4/32. 0.11093.3.1416244.0.23243;0.201455.(B)6.(D)7.5次第13章方程求根一、重點(diǎn)內(nèi)容1 .二分法：設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)有根，用二分有

31、根區(qū)間的方法，得到有根區(qū)間序列:x*=xn=(aO=a,b0=b),n=0,1,2,有誤差估計(jì)式：？x*-xn?<,n=0,1,2,二分區(qū)間次數(shù)：2 .簡單迭代法：若方程f(x)=0表成x=j(x),于是有迭代格式：xn=j(xn1)(n=1,2,)x*xn若存在0vlv1Jj(的|l，在鼠間a,b內(nèi)任一點(diǎn)為初始值進(jìn)行迭代，迭代數(shù)列收斂。3 .牛頓法：用切線與x軸的交點(diǎn)，逼近曲線f(x)與x軸的交點(diǎn)。迭代公式為(n=1,2,)選初始值x0滿足f(x0)f2(x0)>0,迭代解數(shù)列一定收斂。4 .弦截法：用兩點(diǎn)連線與x軸交點(diǎn)逼近曲線f(x)與x軸的交點(diǎn)。迭代公式為(n=1,2,)二、

32、實(shí)例例1證明方程1xsinx=0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過0.5X104的根要迭代多少次？證明令f(x)=1xsinx,f(0)=1>0,f(1)=-sin1<0f(x)=1xsinx=0在0,1內(nèi)有根。又f(x)=1cosx<0(x?0,1),故f(x)=0在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一實(shí)根。給定誤差限e=0.5X104,有只要取n=14。例2用迭代法求方程x54x2=0的最小正根。計(jì)算過程保留4位小數(shù)。分析容易判斷1,2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式(xe(1,2),此時(shí)迭代發(fā)散。建立迭代格式：，(xC(1,2),此時(shí)迭代收斂。解建立迭代格式(xC(1,2),

33、取初始值x0=1例3試建立計(jì)算的牛頓迭代格式，并求的近似值，要求迭代誤差不超過10-6。分析首先建立迭代格式。確定取幾位小數(shù)，求到兩個(gè)近似解之差的絕對(duì)值不超過10-6。解令，f(x)=x3a=0,求x的值。牛頓迭代格式為(k=0,1,)迭代誤差不超過10-6,計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后6位。當(dāng)x=7或8時(shí)，x3=343或512,，而，取x0=8,有|x1-x2|=0.038122|x2-x3|=0.000196于是，取例4用弦截法求方程x3x21=0在x=1.5附近的根。計(jì)算中保留4位小數(shù)點(diǎn)。分析先確定有根區(qū)間。再代公式。解設(shè)f(x)=x3x21,因?yàn)閒(1)=1<0,f(2)=3>0

34、,所以1,2為f(x)=0的有根區(qū)間。取x0=1,x1=2。迭代格式：，(n=1,2,)列表計(jì)算如下：nxnxn1f(xn)f(xn1)xn+1f(xn+1)123456789101121.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.465612222222221.465530.60940.2863-0.11770.0457-0.01740.00660.0024-0.00100.00030.00011333333333-0.00031.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.4655

35、1.46561.4656-0.60940.2863-0.11770.0457-0.01740.00660.0024-0.00100.00030.0001由于|x12x11|v0.0001，故x*=x12=1.4656例4選擇填空題1 .設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若滿足，則方程f(x)=0在區(qū)間a,b一定有實(shí)根。答案：f(a)f(b)<0解答：因?yàn)閒(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在c,使得f(c)=0,故f(x)=0一定有根。2 .用簡單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表成x=j(x),則f(x)=0的根是()(A)y=x

36、與y=j(x)的交點(diǎn)(B)y=x與y=j(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=j(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=j(x),滿足x=j(x)的x是方程的解，它正是y=x與y=j(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3.為求方程x3-x2-1=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是()(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中，,故迭代發(fā)散。在(B)中，,故迭代收斂。在(C)中，,故迭代收斂。在(D)中，類似證明，迭代收斂。4.牛頓切線法是用曲線f(x)上的與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)

37、=0的解；而弦截法是用曲線f(x)上的與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)=0的解。答案：點(diǎn)的切線；兩點(diǎn)的連線解答：見它們的公式推導(dǎo)。三、練習(xí)題1 .用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)的根xn,已知誤差限e,確定二分的次數(shù)n是使()(A)bawe(B)|f(x)|&e(C)|x*xn|<e(D)|x*xn|<ba2 .設(shè)方程f(x)=x4+2x=0,在區(qū)間1,2上滿足，所以f(x)=0在區(qū)間1,2內(nèi)有根。建立迭代公式x=42x=j(x),因?yàn)?，此迭代公式發(fā)散。3 .牛頓切線法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0滿足()，則解的迭代數(shù)列一定收斂。(A)<0(

38、B)>0(C)<0(D)>04 .設(shè)函數(shù)f(x)區(qū)間a,b內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)0,當(dāng)時(shí)，則用弦截法產(chǎn)生的解數(shù)列收斂到方程f(x)=0的根。5 .用二分法求方程x3-x-1=0在區(qū)間1.0,1.5內(nèi)的實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。6 .試用牛頓切線法導(dǎo)出下列各式的迭代格式：(1)不使用除法運(yùn)算；(2)不使用開方和除法運(yùn)算。四、練習(xí)題答案1. (C)2. f(1)<0,f(2)>0;>13. (B)4. f(X)w05. 1.326. (1)xn+1=2xncxn2,(2)xn+1=1.5xn0.5cxn3第8章常微分方程的數(shù)值解法一、重點(diǎn)內(nèi)容

39、1 .歐拉公式：(k=0,1,2,，n-1)局部截?cái)嗾`差是O(h2)。2 .改進(jìn)歐拉公式：或表示成：平均形式：局部截?cái)嗾`差是O(h3)。3 .四階龍格一一庫塔法公式：其中k1=f(xk,yk);k2=f(xk+0.5h,yk+0.5hk1);k3=f(xk+0.5h,yk+0.5hk2);k4=f(xk+h,yk+hk3),局部截?cái)嗾`差是O(h5)。二、實(shí)例例1用歐拉法解初值問題取步長h=0.2o計(jì)算過程保留4位小數(shù)。解h=0.2,f(x,y)=-yxy2。首先建立歐拉迭代格式=0.2yk(4xkyk)(k=0,1,2)當(dāng)k=0,x1=0.2時(shí)，已知x0=0,y0=1,有y(0.2)=y1=0

40、.2X1(4-0X1)=0.8當(dāng)k=1,x2=0.4時(shí),已知x1=0.2,y1=0.8,有y(0.4)=y2=0.2X0.8X(40.2X0.8)=0.6144當(dāng)k=2,x3=0.6時(shí)，已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0.6)-y3=0.2X0.6144X(4-0.4X0.6144)=0.4613例2用歐拉預(yù)報(bào)-校正公式求解初值問題取步長h=0.2,計(jì)算y(1.2),y(1.4)的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位。解步長h=0.2,此時(shí)f(x,y)=yy2sinx歐拉預(yù)報(bào)-校正公式為：有迭代格式:當(dāng)k=0,x0=1,y0=1時(shí)，x1=1.2,有=y0(0.80.2y0sinx0)=1X

41、(0.80.2x1sin1)=0.63171y(1.2)y1=1X(0.90.1X1Xsin1)0.1(0.63171+0.631712sin1.2)=0.71549當(dāng)k=1,x1=1.2,y1=0.71549時(shí),x2=1.4,有=y1(0.80.2y1sinx1)=0.71549X(0.80.2X0.71549sin1.2)=0.47697y(1.4)y2=0.71549X(0.9-0.1X0.71549Xsin1.2)0.1(0.47697+0.476972sin1.4)=0.52611例3寫出用四階龍格一一庫塔法求解初值問題的計(jì)算公式，取步長h=0.2計(jì)算y(0.4)的近似值。至少保留四位小數(shù)。解此處f(x,y)=8-3y四階龍格一一庫塔法公式為其中k1=f(xk,yk);k2=f(xk+0.5h,yk+0.5hk1);k3=f(xk+0.5h,yk+0.5hk2);k4=f(xk+h,yk+hk3)本例計(jì)算公式為：