數(shù)學(xué)(理)人教A新設(shè)計大一輪講義+習(xí)題：第二章第8節(jié)函數(shù)與方程

1、第8節(jié)函數(shù)與方程最新考綱結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).I知識衍化體驗I藕!亶亶獨趣翔建分霎基砒藕知識梳理1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根？函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點？函數(shù)y=f(x)有零點.(3)零點存在性定理如果函數(shù)y=f(x)滿足：在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；ff(b)<0；則函數(shù)y=f(x)在(a,b)上存在零點，即存在cC(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)

2、=0的根.2.二次函數(shù)v=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系A(chǔ)=b24ac2>0A=0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象必11.與x軸的交點(xi,0),(x20)(xi_,0)無交點零點個數(shù)210微點提醒1 .若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.函數(shù)的零點不是一個“點”，而是方程f(x)=0的實根.J弓2 .由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間a,b上有零點不一定能推出f(a)f(b)<0,如圖所示，所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間a,b上有零點的充分不必要條件.基礎(chǔ)自測

3、疑誤解析1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打或"x”)(1)函數(shù)f(x)=lgx的零點是(1,0).()(2)圖象連續(xù)的函數(shù)y=f(x)(xCD)在區(qū)間(a,b)?D內(nèi)有零點，則f(a)f(b)<0.()二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)在b24ac<0時沒有零點.()解析(1)f(x)=lgx的零點是1,故錯.(2)f(a)f(b)<0是連續(xù)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點的充分不必要條件，故(2)錯.答案(1)X(2)X(3)，教材衍化2.(必修1P92A2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x12345f(x)一4-2147在下列區(qū)

4、間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解析由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x=2與x=3這兩個數(shù)字對應(yīng)的函數(shù)值的符號不同，即f(2)f<0,所以函數(shù)在(2,3)內(nèi)有零點.答案B3.(必修1P112T1改編)若函數(shù)f(x)唯一的零點同時在區(qū)間(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)內(nèi)，那么下列命題正確的是()A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)或(1,2)內(nèi)有零點C.函數(shù)f(x)在區(qū)間2,16)上無零點D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,16)內(nèi)無零點解析由題意可確定f(x)唯一的零點在區(qū)間(0,2)

5、內(nèi)，故在區(qū)間2,16)內(nèi)無零點.答案C考題體驗4 .(2018濟(jì)南月考)若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0°,1)B.(1,+00)C.(8,1D.1,+oo)解析因為函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點，所以方程x2+2x+a=0無實根，即A=44a<0,由此可得a>1.答案B5 .(2018全國出卷)函數(shù)f(x)=cos3x+6板0,nt的零點個數(shù)是.解析由題意知，cospx+6j=0,所以3x+6=2+kkCZ,所以x=：+罪kCZ,當(dāng)k=0時，x=9；當(dāng)k=1時，x=狹當(dāng)k=2時，x=?均滿足題意，所以999函數(shù)f(x)在0,

6、T的零點個數(shù)為3.答案36.(2019西安調(diào)研)方程2x+3x=k的解在1,2)內(nèi)，則k的取值范圍是.解析令函數(shù)f(x)=2x+3xk,則f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x+3x=k的解在(1,2)內(nèi)時，f(1)f<0,即(5k)(10k)<0,解得5<k<10.又當(dāng)f(1)=0時，k=5.則方程2x+3x=k的解在1,2)內(nèi)，k的取值范圍是5,10).答案5,10)I考點聚焦突破I富|噩噩|囂噩噩襄篡案鳴腿例求潑藕考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定【例1】(1)設(shè)f(x)=lnx+x-2,則函數(shù)f(x)零點所在的區(qū)間為()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,

7、4)x2、一3-1(2)設(shè)函數(shù)y=x與y=21的圖象的父點為(x0,yO),右xoC(n,n+1),nCN,則X0所在的區(qū)間是解析(1)因為y=ln乂與丫=x-2在(0,+°°)上都是增函數(shù),所以f(x)=lnx+x-2在(0,+00)上是增函數(shù),又f(1)=ln1+12=1<0,f(2)=ln2>0,根據(jù)零點存在性定理，可知函數(shù)f(x)=lnx+x2有唯一零點，且零點在區(qū)間(1,2)內(nèi).x_2(2)設(shè)f(x)=x3gj,則x0是函數(shù)f(x)的零點，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=x32的圖象如圖所示.1因為 f(1)=1 2J1<001f(2)=8-C)=7&

8、gt;0,所以 f(1)f(2)<0,所以 xoC(12).答案(1)B(2)(1,2)規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法:(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)v=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.【訓(xùn)練1若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A.(a,b)和(b,c)內(nèi)B.(a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+

9、oo)內(nèi)D.(a)和(c,+oo)(2)函數(shù)f(x)=lnxx2的零點所在的區(qū)間為()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析(1)-a<b<c,.f(a)=(ab)(ac)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函數(shù)零點存在性定理可知：在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點；因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi).(2)易知f(x)=lnx2在定義域(0,+8)上是增函數(shù)，又f(1)=2<0,f(2)=ln2x-2>0.根

10、據(jù)零點存在性定理，可知函數(shù)f(x)=lnx§有唯一零點，且在區(qū)間(1,2)內(nèi).x答案(1)A(2)B考點二確定函數(shù)零點的個數(shù)x?+x2,x00,【例2】(1)(一題多解)函數(shù)f(x)=一八的零點個數(shù)為()1+lnx,x>0A.3B.2C.1D.0x2+2,x0,1),(2019安慶二模)定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(x)=，2彳且2x,x1,0),F(x) = f(x)g(x)在(0, +oo)內(nèi)的零f(x+1)=f(x1),若g(x)=3log2x,則函數(shù)點有()A.3個B.2個C.1個D.0個x>0,1+ln x=0,解析(1)法x<0,由f(x)=0得12

11、+x2=0或'解得x=-2或x=e.因此函數(shù)f(x)共有2個零點.法二函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示,由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點.31I-2-4(2)由f(x+1)=f(x1),即f(x+2)=f(x),知y=f(x)的周期T=2.在同一坐標(biāo)系中作出丫=£僅)與丫=g(x)的圖象(如圖2).由于兩函數(shù)圖象有2個交點.所以函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在(0,+8)內(nèi)有2個零點.答案(1)B(2)B規(guī)律方法函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點，令f(x)=0,有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0

12、,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；(3)利用圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).【訓(xùn)練2】(1)函數(shù)f(x)=3x|lnx|-1的零點個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4(2019桂林調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=2x|+x23,則函數(shù)v=f(x)的零點個數(shù)是()A.4B.3C.2D.1解析(1)函數(shù)f(x)=3x|lnx|1的零點數(shù)的個數(shù)即函數(shù)g(x)=|lnx|與函數(shù)h(x)=x圖象的交點個數(shù).x1,作出函數(shù)g(x)=|lnx|和函數(shù)h(x)=gj的圖象，由圖象可知，兩函數(shù)圖象有兩個交點，故函數(shù)f(x)=3x|lnx|一1有2個零點.(2)易知f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0時

13、，f(x)=2x+x2-3,.x>0時，f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，且f(1)=0,；x=1是函數(shù)y=f(x)在(0,+8)上唯一零點.從而x=1是y=f(x)在(一8,0)內(nèi)的零點.故y=f(x)有兩個零點.答案(1)B(2)C考點三函數(shù)零點的應(yīng)用'ex+a,x<0,【例3】(1)已知函數(shù)f(x)=3(aCR),若函數(shù)f(x)在R上有兩個零3x1,x>0、-點，則a的取值范圍是()A.(OO,1)B.(OO,1)C.(-1,0)D.-1,0)ex,x<0,(2018全國I卷)已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個Jnx,x>

14、;0,零點，則a的取值范圍是()A.-1,0)B.0,+8)C.1,+00)D.1,+oo)解析當(dāng)x>0時，f(x)=3x1有一個零點x=；.3因此當(dāng)x00時，f(x)=ex+a=0只有一個實根，.a=ex(x00),則一10a<0.(2)函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個零點，即關(guān)于x的方程f(x)=xa有2個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=xa有2個交點.作出直線y=xa與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，一a<1,解得a>-1,故選C.答案(1)D(2)C規(guī)律方法1.已知函數(shù)的零點求參數(shù)，主要方法有：(1)直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參

15、數(shù)；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.2.已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.x4,x>A,【訓(xùn)練3】(2018浙江卷)已知入CR,函數(shù)f(x)=$2X4x+3,x<入當(dāng)人=2時，不等式f(x)<0的解集是.若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則入的取值范圍是.解析(1)若仁2,當(dāng)x2時，令x-4<0,得2<x<4;當(dāng)x<2時，令x2-4x+3<0,解得1<x<2.綜上可知，1<x<4,所以不等式f(x)&

16、lt;0的解集為(1,4).(2)令f(x)=0,當(dāng)x>入時，x=4,當(dāng)乂<入時，x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.因為函數(shù)f(x)恰有2個零點，結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，1虐3或A4.答案(1)(1,4)(2)(1,3U(4,+-)反思與感悟思維升華1 .轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.2 .判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法通過解方程來判斷.根據(jù)零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷.(3)將函數(shù)y=f(x)g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象公共點的個數(shù)來判斷.易錯防

17、范1 .函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)=0的實根.2 .函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.I分層限時訓(xùn)練分層訓(xùn)練.提升能力基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：35分鐘)一、選擇題2x-1,x<1,1 .已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)f(x)的零點為()、1+lOg2X,x>1,1 1_A./,0B.-2,0C.2D.0解析當(dāng)x01時，令f(x)=2X1=0,解得x=0;，,“i1當(dāng)x>1時，令f(x)=1+log2x=0,解得x=2，又因為x>1,所

18、以此時方程無解.綜上函數(shù)f(x)的零點只有0.答案Dx2x,x00,2.(2019岳陽二模)已知函數(shù)f(x)=$1x>0則函數(shù)丫=f(x)+3x的零點個數(shù)x'，是()A.0B.1C.2D.3解析函數(shù)y=f(x)+3x的零點個數(shù)就是y=f(x)與y=3x兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，如圖所示，由函數(shù)的圖象可知，零點個數(shù)為2.答案C3.函數(shù) f(x) = 2x2a x的一個零點在區(qū)間(12)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1 ， 3)B.(1,2)C.(0, 3)DQ2)解析因為函數(shù)f(x)=2x2a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)=2x2axx的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則

19、有ff(2)<0,所以(一a)(41a)<0,即a(a3)<0,所以0<a<3.答案C.114.函數(shù)f(x)=lnx+x-2的零點所在的區(qū)間是()2x1 /-A.e，1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)e解析易知f(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增且f(2)=，21<0,f(e)=+e-222e2>0./.f(2)f(e)<0,故f(x)的零點在區(qū)間(2,e)內(nèi).答案C5 .(2019湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(Ax)只有一個零點，則實數(shù)人的值是(3D. 一81

20、17A.4B.8c8解析令y=f(2x2+1)+f(Ax)=0,則f(2x2+1)=f(卜x)=f(x；),因為f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x2+1=x%只有一個實根，即2x2-x+1+人=0只有一個實根，則A=18(1+=0,解得甘-8.答案C6 .已知函數(shù)f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x1的零點依次為a,b,c,則()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c解析令函數(shù)f(x)=2x+x+1=0,可知x<0,即a<0；令g(x)=log2x+x+1=0,貝U0<x&

21、lt;1,即0<b<1；令h(x)=log2x1=0,可知x=2,即c=2.顯然a<b<c.答案A1,x<0,7 .已知函數(shù)f(x)=Sl則使方程x+f(x)=m有解的實數(shù)m的取值范圍是1X，x>0,x()A.(1,2)B.(°0,2C.(-oo,1)U(2,+3D.(0°,1U2,i)解析當(dāng)x00時，x+f(x)=m,即x+1=m,解彳3m<1；當(dāng)x>0時，x+f(x)=m,即x+J=m,解得m>2,即實數(shù)m的取值范圍是(一00,1u2,+oo).x答案Dln(x+1)(x>0),8.(2019北京燕博園聯(lián)考)已

22、知函數(shù)f(x)=x3_3x(x<0)若函數(shù)y=f(x)k有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A.(-2,2)B.(-2,1)C.(0,2)D.(1,3)解析當(dāng)x<0時，f(x)=x33x,則f'x)=3x23,令f'x)=0,，x=由(舍去正根)，故f(x)在(oo,1)上單調(diào)遞增，在(1,0)上單調(diào)遞減.又f(x)=ln(x+1)在(0,+°°)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)圖象如圖所示.f(x)極大值=f(1)=2,且f(0)=0,故當(dāng)kC(0,2)時,y=f(x)k有三個不同零點答案C、填空題9.函數(shù)f(x)=x2g)的零點個數(shù)為.1x1

23、x解析令f(x)=0,得x2=2).在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x3y=的圖象.如圖所示，由圖可知兩函數(shù)圖象有1個交點，故f(x)的零點只有一個.-2-J0L23答案110 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=2a與函數(shù)y=xa|1的圖象只有一個交點，則a的值為.解析函數(shù)y=|xa|1的圖象如圖所示，因為直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|11的圖象只有一個父點，故2a=1,解得a=2.1答案2|lgx|,x>0,211 .已知f(x)=12岡x<0則函數(shù)y=2f(x)23f(x)+1的零點個數(shù)是21解析由2f(x)23f(x)+1=0得f(x)=2或f(x)=1,作出函數(shù)y=f(x)

24、的圖象.，1，由圖象知y=2與y=f(x)的圖象有2個父點，y=1與y=f(x)的圖象有3個父點.因此函數(shù)y=2f(x)2-3f(x)+1的零點有5個.答案 512.(2018天津卷)已知a>0,函數(shù)f(x) =2+2ax+a,x<0,、一x2+2ax2a,x>0.若關(guān)于x的方程f(x)=ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是.解析當(dāng)x00時，由x2+2ax+a=ax,得a=x2ax；當(dāng)x>0時，由一x2+2ax2a=ax,彳#2a=x2+ax.x2ax,x<0,令曲=x2+ax,x>0.2a作出y=a(x00),y=2a(x>0),函數(shù)g(x)的圖象如圖所小，g(x)的取大值為一彳十a(chǎn)2a2a22"=了，由圖象可知，若f(x)=ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a<i<2a,解得4<a<8.答案(4,8)能力提升題組(建議用時：15分鐘)13.(2019永州市莫擬)已知函數(shù)f(x)=a+log2(x2+a)(a>0)的最小值為8,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(5,6)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)解析由于f(x)在0,+8)上是增函數(shù)，在(OO,0)上是