數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)13.4.課題學(xué)習(xí)《最短路徑》教學(xué)設(shè)計(jì).4.課題學(xué)習(xí)《最短路徑》教學(xué)設(shè)計(jì)(黃建忠)

1、13.4.課題學(xué)習(xí)最短路徑教學(xué)設(shè)計(jì)福建省南平市水東學(xué)校黃建忠指導(dǎo)老師：蔡木金邱琴一、教材分析1、地位作用：隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營中的問題，于是就出現(xiàn)了為省時(shí)、省財(cái)力、省物力而希望尋求最短路徑的數(shù)學(xué)問題。這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別。初中數(shù)學(xué)中路徑最短問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，并用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。2、目標(biāo)和目標(biāo)解析：(1)知識(shí)與技能：理解并掌握平面內(nèi)一條直線同側(cè)兩個(gè)點(diǎn)到直線上的某一點(diǎn)距離之和為最小值時(shí)點(diǎn)的位置的確定。(2)過程與方法：能利用軸對(duì)稱、平移解決實(shí)際問題中

2、路徑最短的問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用；感悟轉(zhuǎn)化思想。滲透數(shù)學(xué)建模的思想.(3)情感、態(tài)度價(jià)值觀：通過獨(dú)立思考，合作探究，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的基本能力，感受學(xué)習(xí)成功的快樂。體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性，體會(huì)人人都學(xué)有用的數(shù)學(xué).(4)目標(biāo)解析：達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能講實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問題，能利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最算路徑的過程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.3、學(xué)情分析：(1)認(rèn)知基礎(chǔ).在七年級(jí)已經(jīng)研究過“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“垂線段最短”等最短路徑問

3、題以及有關(guān)平移的基本知識(shí)，在本章的前面學(xué)生也初步掌握了作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)，所有這些內(nèi)容構(gòu)成了本節(jié)課的認(rèn)知基礎(chǔ).(2)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通過初中學(xué)段一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了圖形變換以及模型構(gòu)建的意識(shí)，獲得了初步的數(shù)學(xué)化之思維轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的主動(dòng)參與、合作交流的意識(shí)和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問題的能力.4、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題教學(xué)難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題突破難點(diǎn)的方法：利用軸對(duì)稱性質(zhì)，作任意已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)和已知點(diǎn)，得到一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短來解決.二、教學(xué)準(zhǔn)備：多媒

4、體課件、導(dǎo)學(xué)案三、教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)、展示學(xué)習(xí)目標(biāo)?學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.?學(xué)習(xí)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題.、創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)引入學(xué)生與老師一起朗讀目標(biāo)。1、前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)最短路徑的問題2、如下圖：作線段AB關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形“展示學(xué)習(xí)目標(biāo)”有利于學(xué)生明白本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)

5、目標(biāo)明確。學(xué)生思考教師展示問題，并觀察圖片，獲得感性認(rèn)識(shí).從生活中問題出發(fā)，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索欲望.觀察口答為學(xué)生提供參與 數(shù)學(xué)活動(dòng)的生活 情境，培養(yǎng)學(xué)生 的把生活問題轉(zhuǎn) 化為數(shù)學(xué)問題的 能力.同時(shí)對(duì)學(xué) 生進(jìn)行了愛國感 化三、自主探究合作交流建構(gòu)新知（1）活動(dòng)1：“將軍飲馬”問題師：唐朝詩人李欣的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題.如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),走到河邊飲馬后.一再到B點(diǎn)宿營.請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短?營地B山蛭A河薄師：相傳，早在古羅馬時(shí)代，亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天

6、，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到筆直的河邊L河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B地開會(huì)，應(yīng)該怎在走才能使路程最份軍營B疑軍營Al河流問1：觀察思考，抽象為數(shù)學(xué)問題？問2你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？將A,B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線.進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：如圖，點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B動(dòng)手畫直線動(dòng)手連線觀察口答獨(dú)立思考、合作交流、匯報(bào)交流成果，口述理由.經(jīng)歷觀察-畫圖-說理等活動(dòng)，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.達(dá)到軸對(duì)稱知識(shí)的

7、學(xué)以致用，注意問題解決方法的小結(jié)：抓對(duì)稱性來解決師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答，并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共：(1)從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A,B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn).設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相補(bǔ)充，如果學(xué)生有困難，教師可作如下提示：作法：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'(2)連接AB',與直線l相交于點(diǎn)

8、C,則點(diǎn)C即為所求.如圖所示：思考感悟“將軍飲馬”問題，把剛學(xué)過的方法經(jīng)驗(yàn)遷移過來及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，注重方法規(guī)律的提煉總結(jié).問3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？課件展示證明過程證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合)，連接AC,BC,B'C'.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：BC=B'C,BC=B'C'./.AC+BC=AC+B'C=ABAC'+BC'=AC'+B'C.在AAB'C中，AB'<AC+B'C,.AC+BC<AC+BC'.即AC+BC最短.強(qiáng)調(diào)：將最

9、短路徑問題抽象為“線段和最小問題”方法提煉：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”與老師一起看證明過程。學(xué)生獨(dú)立完成，集體訂正培養(yǎng)正確的解題格式，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。學(xué)以致用，及時(shí)鞏固和反饋。注意問題解決方法的小結(jié)：抓軸對(duì)稱來解決提煉思想方法：軸對(duì)稱，線段和最短觀察思考， 動(dòng)手畫圖， 用軸對(duì)稱 知識(shí)進(jìn)行 解決經(jīng)歷觀察-畫圖- 說理等活動(dòng)，感 受幾何的研究方 法，培養(yǎng)學(xué)生的 邏輯思考能力.各抒己見、 合作與交 流、流解題 思路。體會(huì)轉(zhuǎn)化思想， 體驗(yàn)軸對(duì)稱知識(shí) 的應(yīng)用?；顒?dòng)2:嘗試解決數(shù)學(xué)問題練習(xí):如圖，ABC中，A、B為兩定點(diǎn)，C是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，ABC的周長最短。三、自主探究合

10、作交流建構(gòu)新知（2）活動(dòng)4造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNBR短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）獨(dú)立完成, 交流經(jīng)驗(yàn)思維分析：1、如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是AM+MN+B那么怎樣確定什么情況下最短呢？交流體會(huì)動(dòng)手體驗(yàn)2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思維點(diǎn)撥：改變AM+MN+BN前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？動(dòng)手作圖什么圖形變換能幫助我們呢？（估計(jì)有以下方法）1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.教師：上述方法都能做到使AM+

11、MN+BN變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長那么怎樣確定橋的位置呢？問題解決：如圖，平移A到A',使AA'等于河寬，連接A'B交河岸于N作橋MN此時(shí)路徑AM+MN+NB短.師：（作圖過程和理由由課件演示說明）yAq/葭七/N方法提煉：將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問題”活動(dòng)4:嘗試解決數(shù)學(xué)問題學(xué)生獨(dú)立鞏固所學(xué)知識(shí)，如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長線段PQ在直線a思考解決增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知上平行移動(dòng)。問PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+PQ+QB長最短。問題識(shí)的能力，滲透B.A轉(zhuǎn)化思想.PQ獨(dú)立思考，合作交流.提煉方法，為課本例

12、題奠定基礎(chǔ)./Q“Efs/Ar四、反思小結(jié)布置作業(yè)自由發(fā)言，總結(jié)回顧學(xué)習(xí)內(nèi)(1)小結(jié)反思借鑒.容，幫助學(xué)生歸(1)本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？自我評(píng)價(jià).納反思所學(xué)知識(shí)(2)軸對(duì)稱在所研究問題中起什么作用？解決問題中，我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你還啟哪些收獲？及思想方法.(2)作業(yè)布置、課后延伸1、如圖1,等腰直角三角形ABC的邊長為2,學(xué)生獨(dú)立鞏固所學(xué)知識(shí)，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，思考解決并關(guān)注學(xué)生的個(gè)試在AC上確千點(diǎn)P,使PB+PE勺最小值。問題體差異.2.如圖2,E是邊長為4止方形ABCDJCD上的一點(diǎn)，且DE等于1,試在AC上確千點(diǎn)P,使PD+PE勺和最小。3.

13、如圖3,四邊形ABCDfr,/BAD=120,B=/D=90,在BCCD上分別找一點(diǎn)MN,使得4人乂川長最小.板書設(shè)計(jì)：13.4最短路徑問題兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.方法提煉：將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問題”13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題與學(xué)案（學(xué)生用）一、復(fù)習(xí)1、兩點(diǎn)的所有連線中，最短，2、如下圖：作線段AB關(guān)于直線L的軸對(duì)稱圖形二、探索新知（1問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直

14、的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方（用C點(diǎn)表示）飲馬可使他所走的路線全程最短？三、運(yùn)用新知（1練習(xí):如圖，ABC中，A、B為兩定點(diǎn)，C是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，ZXABC的周長最短。四、探索新知（2問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN,橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）五、運(yùn)用新知（2）如圖，AB是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長線段PQ在直線a上平行移動(dòng)。問PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+PQ+QB長最短。六、鞏固新知1、如圖，等腰直角三角形ABC的邊長為2,E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的

15、一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試在AC上確定一點(diǎn)P,使PB+PE勺最小值。2 .如圖，E是邊長為4正方形ABCD4CD上的一點(diǎn)，且DE等于1,試在AC上確定一點(diǎn)P,使PD+PE勺和最小3 .如圖2,四邊形ABCLfr,/BAD=120,B=/D=90,在BCCD上分別找一點(diǎn)MN,使得4人乂川長最小.點(diǎn)評(píng)：本課堂主要研究的是最短路徑問題中的兩點(diǎn)一線和兩點(diǎn)兩線問題。內(nèi)容首先從生活中的實(shí)際問題引入，將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題，從而引出解決本節(jié)課內(nèi)容的重要依據(jù)是“軸對(duì)稱的性質(zhì)”及“兩點(diǎn)之間，線段最短”。教學(xué)中教師通過探究1中將“將軍飲馬”這一古代問題抽象成數(shù)學(xué)中研究“兩點(diǎn)一線”中的兩點(diǎn)同側(cè)問題，從而使問題簡(jiǎn)化，再通過分析、引導(dǎo)，利用軸對(duì)稱知識(shí)找到所要的點(diǎn)，運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”及通過比較“任意一點(diǎn)”的情形，師生共同解決本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。探究