數(shù)學(xué)分支巡禮之八：微分幾何數(shù)學(xué)家故事

1、數(shù)學(xué)分支巡禮之八：微分幾何數(shù)學(xué)家故事數(shù)學(xué)分支巡禮之八微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線(xiàn)或曲面在它一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，換句話(huà)說(shuō)，微分幾何是研究一般的曲線(xiàn)和曲面在“小范圍”上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。微分幾何的產(chǎn)生微分幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展是和數(shù)學(xué)分析密切相連的。在這方面第一個(gè)做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。17年他首先引進(jìn)了平面曲線(xiàn)的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線(xiàn)弧長(zhǎng)這以幾何量作為曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開(kāi)始了曲線(xiàn)的內(nèi)在幾何的研究。十八世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日首先把微積分應(yīng)用到曲線(xiàn)和曲面的研究中去，并于18年出版了它的分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用一書(shū)，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學(xué)、物理學(xué)與工業(yè)的日益

2、增長(zhǎng)的要求是促進(jìn)微分幾何發(fā)展的因素。18年，高斯發(fā)表了關(guān)于曲面的一般研究的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ)。微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了150年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在幾何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴(lài)于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲面的長(zhǎng)度、兩條曲線(xiàn)的夾角、曲面上的一區(qū)域的面積、測(cè)地線(xiàn)、測(cè)地線(xiàn)曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)。1872年克萊因在德國(guó)埃爾朗根大學(xué)作就職演講時(shí)，闡述了埃爾朗根綱領(lǐng)，用變換群對(duì)已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類(lèi)。在埃爾朗根綱領(lǐng)發(fā)表后的半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)原理，

3、推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始于1878年阿爾方的學(xué)位論文，后來(lái)19年起經(jīng)以威爾辛斯基為代表的美國(guó)學(xué)派所發(fā)展，19年起又經(jīng)以富比尼為首的意大利學(xué)派所發(fā)展。隨后，由于黎曼幾何的發(fā)展和愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的建立，微分幾何在黎曼幾何學(xué)和廣義相對(duì)論中的得到了廣泛的應(yīng)用，逐漸在數(shù)學(xué)中成為獨(dú)具特色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科。微分幾何學(xué)的基本內(nèi)容微分幾何學(xué)以光滑曲線(xiàn)（曲面）作為研究對(duì)象，所以整個(gè)微分幾何學(xué)是由曲線(xiàn)的弧線(xiàn)長(zhǎng)、曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)等概念展開(kāi)的。既然微分幾何是研究一般曲線(xiàn)和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線(xiàn)在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線(xiàn)在一點(diǎn)的曲率等，就

4、是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線(xiàn)或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無(wú)數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測(cè)地線(xiàn)。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線(xiàn)是這個(gè)曲面的一條測(cè)地線(xiàn)，還要討論測(cè)地線(xiàn)的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。在微分幾何中，為了討論任意曲線(xiàn)上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動(dòng)標(biāo)形的方法”。對(duì)任意曲線(xiàn)的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線(xiàn)“轉(zhuǎn)化”成初等曲線(xiàn)進(jìn)行研究。在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無(wú)限小的范圍內(nèi)略去高階無(wú)窮小，一些復(fù)雜的依賴(lài)關(guān)系可以變成線(xiàn)性的，不均勻的過(guò)程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。近代由于對(duì)高維空間的微分幾何和對(duì)曲線(xiàn)、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)部門(mén)和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問(wèn)題之