數(shù)學建模席位分配

1、席位分配問題某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設20個席位，問三系各UR.。o，有多少個席位？1問題的提出0.利按慣例分配席位方案,即按人數(shù)比例分配原則*if1m = q Nm表示某單位的席位數(shù)P表示某單位的人數(shù)N表示總人數(shù)q表示總席位數(shù)20個席位的分配結果系別人數(shù)jr9所占比例CO分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)*20=1010乙6060/200(30/100)20=66丙4040/200(20/100)*20=44現(xiàn)丙系有6名學生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%-20

2、=10310乙6363/200=31.5%/*A31.5%*20=6.36丙3434/200=17.0%170%-20=3.44的象1丙系雖少了6人，但席位仍為4個。（不公平！）為了在表決提案時可能出現(xiàn)10：I。的平局，再設一個席位。rB、，。rbz.j.夕w。，v*21個席位的分配結果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%21=10.81511乙6363/200=31.5%31.5%21=6.6157丙3434/200=17.0%170%-21=3.5703的Q總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）僚例分配方接：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名

3、額按慣例分給小數(shù)部分較大者Q存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案?2建模分析目標：建立公平的分配方案Q反映公平分配的數(shù)量指標可用每席位代表的人數(shù)來衡量o系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地,單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不

4、公平程度用以下標準來判斷。1)包匹稱為“絕對不公平”標隹。%n2oI-此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標準。a則A吃虧，或?qū)是不公平的。九2定義“相對不公平”若里則稱對A的相對不公 平值；%n2的心）=/例*上=班-1P2/n2P2nl同理，可定義對B的相對不公平值為:對B的相對不公 平值；若乙,.i4A/23建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為九”九2，用相對不公平值討論當席位增加1個時，應該給A還是B方。不失一般性，若,有下面三種情形。1情形1Pl Pl勺+1 n2說明即使給A單位增加1席，仍對A不公平，所增這一席必須給A單位。Pi / Pi 情形2 力 7 勺，X* .VWA說

5、明當對A不公平時，給A單位增加1席，對B又不公平。:F計算對B的相對不公平值W+1,%)=P2g一區(qū)/(%+1)=28+D_101/(%+DPi%情形3生上幾 1n2 +1說明當對A不公平時，給B單位增加1席,對A不公平。計算對A的相對不公平值以(%,% + 1)=P1/1-Pz/g+1)=Pig+1)p2/(n2+l)p2n1若7(%+1,2)%(4,2+1)，則這一席位給A單位，否則給B單位。京+1,%)=式+D1心(/，%+1)=+1)-1P1%，2%2(1+D。1(12+DPin22%*這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。4推廣有m方分配席位的情況設4方人數(shù)為Pt,已占有個席位，i=1,

6、2,5m當總席位增加1席時,計算；20-i=1,2,加a+1)則1席應分給Q值最大的一方。從%=1開始，即每方至少應得到以1席,它排除在外。）（如果有一方1席也分不到,*3*一。D*A則把)3, 63, 34,有21 個2=i = 1,2,3%(q +1)1032Qi = 1768.21 2(2 +1)63202= = 1984.5, 玄 1(1 +1)342&= 5783 1(1 +1)5舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)1席位，如何分配？按Q值方法:2=1,2=1，=1103*0=5304.5,11(1+1)63?。-=19845342。3=57831(1+1)1032a=1768.22(2+1)632。2=661.52(2+1)Qi=02=3421(1+1)=5781032=888.43(3+1)632：=661.52(2+1)342=5781(1+1)甲12234%乙11222.丙11111匚甲：11,乙：6,丙：4練習學校共1000學生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學生要組織一個10人委員會，試用慣例分配方法,cTHondt方法和Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結果。dHon出方法有k個