數(shù)學歸納法典型例題

1、v1.0可編輯可修改數(shù)學歸納法典型例題1 .教學內(nèi)容：高三復習專題：數(shù)學歸納法2 .教學目的掌握數(shù)學歸納法的原理及應用3 .教學重點、難點數(shù)學歸納法的原理及應用4 .知識分析【知識梳理】數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學中有著重要的用途，因而成為高考的熱點之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學歸納法去證明現(xiàn)代的結論，而且加強了對于不完全歸納法應用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結論，又要求能證明結論的正確性，因此，初步形成“觀察-歸納一-猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n=n0時命題

2、成立；He（2）（歸納遞推）假設n=k（N%MwN）時命題成立，證明當期時命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從附開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題?！?/p>

3、要點解析】1、用數(shù)學歸納法證明有關問題的關鍵在第二步，即n=k+l時為什么成立，n=k+1時成立是利用假設n=k時成立，根據(jù)有關的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學結論推證出n=k+1時成立，而不是直接代入，否則n=k+1時也成假設了，命題并沒有得到證明。用數(shù)學歸納法可證明有關的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學歸納法證明的，學習時要具體問題具體分析。2、運用數(shù)學歸納法時易犯的錯誤(1)對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找口=卜與口=卜+1的關系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯。(2)沒有利用歸納假設：歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。(3)關鍵步驟含糊不清，“假設n=k

4、時結論成立，利用此假設證明n=k+1時結論也成立，是數(shù)學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性?！镜湫屠}】111n例1.用數(shù)學歸納法證明：強N*時，1x33x5(2口-112n+1)七十1_1_1_1_1解析：當口=1時，左邊一T7J耳，右邊一上工1+1一1,左邊二右邊，所以等式成立。111k假設n=kk）時等式成立，即有市+771廿一+即1）即1）.+,則當n=k+1時，111k7x3+說,+（2k-1）（2k+1廣2k+2k+3）=2k+l+（2k+l）（2k+3）k（2k+3）+l2一斗法仁1一僅k+1版+3）二勵+L司k-

5、nlk十】=環(huán)=2（k+l）+l,所以當n=k+l時，等式也成立。由，可知，對一切nN卡等式都成立。點評：（1）用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的一些等式，命題關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由11=卜到口=卜+1時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。（2）在本例證明過程中，（I）考慮“n取第一個值的命題形式”時，需認真對待，一般情況是把第一個值代入通項，考察命題的真假，（II）步驟在由n=k至g=k+l的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法。本題證明打=k+l時若利用數(shù)列求和中的拆項相消法，即175而廿+(

6、2kT)(2k+l)+(2k+2k+3).112k+3/2kM,則這不是歸納假設，這是套用數(shù)學歸納法的一種偽證。(3)在步驟的證明過程中，突出了兩個湊字，一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是明確n=k+l時證明的目標，充分考慮由到n=k+l時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。111111111+4-+-=*4-11-例2.2342n72口打+1口+22n0=解析：(1)當口=1時，左邊=,右邊,命題成立。(2)假設當n=k時命題成立，即1I1112342k-12k111+k+1k+22k.那么當n=k+1時,左邊一r二二.，十.J.一11111I 111+k+1k+22k2k+12k+2.4-4-+4

7、k+2k-hj2k-12k+2上式表明當口=卜十1時命題也成立由(1)(2)知，命題對一切正整數(shù)均成立例3.用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n,不等式*1475I_|_解析：當口=2時，左二孑0，右一彳，左右，.不等式成立。假設小卜仇占俎kwN*）時，不等式成立，即那么當n = k+1時,口十1 2k-L2k-11 1 r1 4- - 一 142依+ )-2 2k $1 2 虎F”15，4k*4就+4J4k*+k+3J4k.-J2k+12 32k 十 12j2k + 1一.=,.n=k+1時，不等式也成立。由，知，對一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立。點評：（1）本題證明n=k十1命題成

8、立時，利用歸納假設，并對照目標式進行了恰當?shù)目s小來實現(xiàn)，也可以用上歸納假設后，證明不等式k+1Jg（k+匚1（2）應用數(shù)學歸納法證明與非零自然數(shù)有關的命題時要注意兩個步驟缺一不可，第步式小）成立是推理的基礎，第步P（k）np（k+1）是推理的依據(jù)（即而成立，則門口+1成立，成立，,從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立）。另一方面，第步中，驗證門二中的憶未必是1,根據(jù)題目要求，有時可為2,3等；第步中，證明n=k十1時命題也成立的過程中，要作適當?shù)淖冃?，設法用上歸納假設。11】1a4-l-I-4。例4.若不等式n+1口.2n+3加+124對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結論。11

9、1_26解析：取口=,+廣藥。”_L令24：24,得aC就，而過巨W+,所以取H25,下面用數(shù)學歸納法證明，I1125+31口+23力+124,(1) 口=1時，已證結論正確(2)假設n*k(kENj時，1 1125+-+Ak-lk+23k+l24則當n=k+l時，有1(k+l)+/(k+l)+3+.一3k+1+3k+2-3k+3-3(k+l)+l(111W11111=十十，+U：+Lk+2Jk-Fljl3k+z3k+33k+4k+1JWr11-2ii4k+i)m因為3k+2.3k+49k2+18k+83pc+1)1-u所以3k+23k+43(k+l),25所以一，-”一1二即n=k+l時，結

10、論也成立,由（1）（2）可知，對一切口】（，11125+-+-4-都有n+1的+124,故a的最大值為25。例5.用數(shù)學歸納法證明：付7-?。篘*能被9整除。解析：方法一：令=0ti41）T-l（nN*）,（1）巾上（3乂1+1）%71-127能被9整除。（2）假設山）低三山）能被9整除，則=（3k+4）.7t*1-lh（3k+l）-7k-19（2k+3）7氐.f（k+l雎）+式2k+3）.能被9整除。由（1）（2）知，對一切命題均成立。方法二：（1）口=1,原式=4x7T=能被9整除，（2）若3由九*N*）,-41”-1能被9整除,則n=k十1時3（k41）4I.7t+1-1=t3k+l）+

11、3（l+.黃一1=（3k+l）-7k-l+（3k+l）67V+21-71=（3k+L）-71-IJ+lSk.71*C；n=k+1時也能被9整除。由（1）,（2）可知，對任何mN*,（3-1卜尸一1能被9整除。點評：證明整除性問題的關鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出n=k時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證。例6.求證：產(chǎn)，(341產(chǎn)能被8?”+1整除，口三N一解析：(1)當口=1時，+命題顯然成立。(2)設hk時,aE+G+l產(chǎn)t能被M整除,則當n=k+l時，產(chǎn)%(a+l嚴4gd+1)山=亂聲i+a+1產(chǎn)4(a+iy(a+嚴_儂+產(chǎn)9的產(chǎn)+丘嚴。由歸納假設，上式中的兩項

12、均能被a%a+l整除，故n=k+1時命題成立。由(1)(2)可知，對口CL,命題成立。例7.平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這n個圓將平面分成Mn-2個部分。解析：口=1時，1個圓將平面分成2部分，顯然命題成立。假設n=k時，k個圓將平面分成/-k-2個部分，當n=k+1時，第k+1個圓J+i交前面k個圓于2k個點，這2k個點將圓J+i分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個區(qū)域，所以這k+1個圓將平面分成k*2+2k個部分，即化+1卜伏+1)+2個部分故n=k十1時，命題成立。由，可知，對nwN”命題成立。點評：用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵

13、是“找項”，即幾何元素從k個變成k+1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何命題的一大技巧。E（I1J=1+-I-一”4,例8.設.23口，是否存在關于自然數(shù)n的函數(shù)虱口），使等式+f+*池-1）=蛆,昨卜1對于口之2的一切自然數(shù)都成立并證明你的結論。解析：當口=2時，由,當口=3時,由皿+f-呻）-1,猜想-）一-二-卜面用數(shù)學歸納法證明:當心2時，等式眠+f+臨-1）=皿小）-1恒成立。當口=2時，由上面計算知，等式成立

14、。假設。-附-1）=14明-1化）成立,那么當n=k+1時，+-+f(k-l)+f(k)=kf(k)-1+fk)-(k+l)f(k)-k二(以力業(yè)mA占l-k=(k+llf(k+l)-l.當n=k+1時，等式也成立。由知，對一切口之2的自然數(shù)n,等式都成立。故存在函數(shù)虱,使等式成立。點評：（1）歸納、猜想時，關鍵是尋找滿足條件的且向與n的關系式，猜想的關系未必對任意的口值專m*）都滿足條件，故需用數(shù)學歸納法證明。（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出虱目），即if(l)4f44fgT)n -I卜-1)+(口r2).%。-3).卜+n-(n-巾.W（口”【模擬試題】1.用數(shù)學歸納法證

15、明“當n為正奇數(shù)時，P+T能被三+y整除”時，第步歸納假設應寫成A.假設口=.*1只*）時，命題成立B.假設時，命題成立C.假設口=明強心）時,命題成立D.假設口=小巨山）時，命題成立1111n2+41-I（neN*J2 .證明2342劉12，假設i】=k時成立，當n=k+1時，左端增加的項數(shù)是A.1項B.卜-1項C.k項D.2k項3 .記凸k邊形的內(nèi)角和為唯），則凸k十1邊形的內(nèi)角和唯十*f（kR（）x3jiA.-B.C.-D.:二4.某個命題與自然數(shù)n有關，若n=k（kwbP）時命題成立，那么可推得當門=k+l時該命題也成立，現(xiàn)已知當=5時，該命題不成立，那么可推得A.當n=6時，該命題不成立B.當口=后時，該命題成立C.當n=4時，該命題不成立D.當n=4時，該命題成立5.用數(shù)學歸納法證明n+1 n+ 2 n+ 3 n+ n 24到口=k+l時，不等式左邊應添加的項是11A.一B.士一-C.1 1_12k+l2k+2kZT1 L_1_1D.二丁:-一6.（5分）在數(shù)列%）中，的=且工，】，24成等差數(shù)列（工表示數(shù)列（）的前n項和），則,感,十分別為7. （5分）已知 都成立，那么a=1*2乂34支32444.4口.33-】，3（皿-。工對一切門亡n*c=f4 4 4-+2 3 4 5 672,2 315,8.（14分）由下列各式:你能得出怎樣的結論并進行證明。