數(shù)學(xué)必修知識(shí)點(diǎn)(很完整)

1、第一章解三角形1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180;C=180°-（A+B）;2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c;a-b<c3、三角形中的基本關(guān)系：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=cosC,tan(A+B)=tanC,.ABCAB.CxABCsin=cos,cos=sin,tan=cot-C的對(duì)邊，R為AABC的外接圓的半徑，則有2222224、正弦定理：在MBC中，a、b、c分別為角a、BabsinAsin三c=2RsinC5、正弦定理的變形公式:化角為邊：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；abc化邊為角：sina=,sinB=,sinC

2、=；2R2R2RD a:b:c=sinA:sin B :sin C ；a b csin A sin m sin C_ a _ bsin A sin 三csinC6、兩類正弦定理解三角形的問題:已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）7、余弦定理：在AABC中，有a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b22abcosC.22222.22.228、余弦定理的推論：cosA=,cosB=-,cosC=.2bc2ac2ab（余弦定理主要解決的問題：1.已知

3、兩邊和夾角，求其余的量。2.已知三邊求角）9、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角）10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè)a、b、c是AABC的角A、B、C的對(duì)邊，則：若a2+b2=c2,則C=90；若a2+b2>c2,則C<90,;若a2+b2<c2,則Ca90.注：正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距J3千米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得/ACB=75O,/BCD=45,/ADC=30,/ADB=45（A、B、C、D在同一平面內(nèi)）,求兩目標(biāo)A、B之間

4、的距離。解：11、三角形面積公式:(1) S=-aho=-bhb=-chc(hQ為、兒分別表示。、b、c上的高):222(2) S=-obsinC=-bcsinJA=-acsinB；222_asin.ffsinCb2sinCsin.4c2sinsinB(3)S=：25in(5+C)25in(C+A)2sin(/t+B)(4) 5=2島inAsin8sMe口(月為外接圓半徑)(5) S=也：47?(6) S=3)(pb)(pc)；p(a+12J12、三角形的四心：垂心一一三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)重心一一三角形三條中線的相交于一點(diǎn)（重心到頂點(diǎn)距離與到對(duì)邊距離之比為2:1）外心一一三角形三邊垂直

5、平分線相交于一點(diǎn)（外心到三頂點(diǎn)距離相等）內(nèi)心一一三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)（內(nèi)心到三邊距離相等）附加：特殊向的三角函數(shù)值角度Q0*30e60J9G°120°B5"150°180°270fl360”a的孤度064TI卞3375第6打，-2才siner01671正27712010COSai叵臣1012三在-I01tanff0呈3I77-4lT00第二章數(shù)列1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù).2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.4、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：

6、an+i>an）6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+i<an）7、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列（即：an+i=an）.8、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.9、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列aj的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式.10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)a與它的前一項(xiàng)an,（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式.11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.符號(hào)表示：an書-an=d。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：an-anA=d（n*2,d為常數(shù)

7、）2an=an書+an（n>2）an=kn+b（n,k為常數(shù)12、由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則A稱為a與b的等差中項(xiàng).若b=a上2則稱b為a與c的等差中項(xiàng).13、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是&,公差是d,則an+（n1）d.14、通項(xiàng)公式的變形：斗=%+(nm)d； Q = a<(n1H； dan - a1an -alan amr ； n= 1; d 一n - 1dn - m15、若 Gn）是等差數(shù)列，且 m + n = p + q（m、n、pqWN*）,則Sm+不=4+'；若4是等差數(shù)列，且2n=p+q(n、p、qwN),則23n=ap+

8、aq."；- . Sn=q+&+|" + anna13n16.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：Sn=2；Sn=na十17、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)Sf 禺a(chǎn)n 1若項(xiàng)數(shù)為2n（nWN*）,則，=斗.斗士），且%-嗡=nd,若項(xiàng)數(shù)為2n-1(nwN),則S2n=(2n1)an,且加一瞬=a，且=(其中S奇=nan,S禺n7S偶=（n-1問）.18、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)a,一稱為等比數(shù)列的公比.符號(hào)表布：±=q（注：等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；同號(hào)位上的值同號(hào)）an注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有

9、以下四種方法:an=anq（n至2,q為常數(shù)，且#0）2an=an+an（n25anan+an10）Dan=cqn（c,q為非零常數(shù)）.正數(shù)列an成等比的充要條件是數(shù)列l(wèi)ogxan（xi）成等比數(shù)列.19、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項(xiàng).若G2=ab,則稱G22為a與b的等比中項(xiàng).（注：由G=ab不能彳#出a,G,b成等比，由a,G,b=G=ab）20、若等比數(shù)列&的首項(xiàng)是ai,公比是n-1q ,則 an =&q21、n-m通項(xiàng)公式的變形： an = amq- n-1 a1 = anq22、Dqn -1也;a1n manq 一am若a

10、n是等比數(shù)列，且m +n = p + qp、q wn）,則am h = ap aq ；若an是等比數(shù)列,且2n=p+q（n、p、qwN）,則an=ap23、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式：na q=1 Sn =，a1 （1 -qn ）31* =a1a2 I 卜 an24、對(duì)任意的數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：ans1 = a1（n = 1） =<Sn - Sn（n - 2）注:an?1%n-1d=nd+（a1V）（d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）一若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.-可以為零也可不為零一為等差的充要條件一若d為2等差an前n項(xiàng)和S

11、n=An2%n=3n2衛(wèi)a1-d零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附：幾種常見的數(shù)列的思想方法:1 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,在dY0時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法:一是求使an之0,an用Y0,成立的n值；二是由Sn=°n2+d）n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.22n項(xiàng)和看成是關(guān)于 n的函數(shù)，為我2 .數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列%=+(內(nèi)1)4=H程+(11-d)時(shí)為一次函數(shù)）等比數(shù)列M-1再1F以國(guó)二對(duì)口二一

12、yqy=4（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列前n項(xiàng)和公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列%=陰+2厘=2甩2”2'=0K+占工（4工0時(shí)為二次函數(shù)）等比數(shù)列1-q1-1-"做工+b（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前n項(xiàng)和3 .如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積,111的推倒導(dǎo)萬(wàn)法：錯(cuò)位相減求和.例如：1一,3,.（2n1）一，242n4 .兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1,d2的最小公倍數(shù)a5

13、 .判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種萬(wàn)法：（1）定義法：對(duì)于n>2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an（一n-）an為同一常數(shù)。（2）通項(xiàng)公式法。（3）中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證2anHt=an+an“（a2+=anan42）nN都成立。.加之0一一.6 .在等差數(shù)列an中，有關(guān)S的最值問題：（1）當(dāng)a1>0,d<0時(shí)，滿足3的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最大值.（2）«m+E0am<0當(dāng)a1<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)Lam十至0用。附：數(shù)列求和的常用方法1.公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等

14、比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法：適用于其中an是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列©nHn中1例題：已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an=，求這個(gè)數(shù)列的刖n項(xiàng)和Sn.n(n1)“11解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=-nSn=aa2an/1、/11、/11、=（1一2）（2一3）y一二）二1，n13.錯(cuò)位相減法：適用于anbn其中an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2n,求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和sn。解：由題設(shè)得：Sn二a1.a2a3.an123n=122232n2123n_即Sn=121+222+323+n，2n把式兩邊同乘2后得2Sn=1

15、22+223+324+,+n2n*用-，即：_1_2_3_nsn=12+22+32+；，+*2ffff*y/*fX*2sn=122+223+324+''+n2n+-sn=122223-2n-n2n12.n2n11-2n1-（1-n）2-2Sn=（n7）2n124.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法5.常用結(jié)論1) : 1+2+3+.+n =n(n 1)2)1+3+5+.+(2n-1) = n23) 13 +233 = -n(n 1) _2 l )4) 1222CC132+-+n2n(n1)(2n1)65),n(n1)nn1111=一(n(n2)2n11116)&#

16、39;=(1')(p；q)pqq-ppq附加：重點(diǎn)歸納等差數(shù)列和等比數(shù)列（表中m,n,p,qwN+）別項(xiàng)等差數(shù)列an等比數(shù)列an定義an由一an=dan/qan通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)dnan=aqan=am+(n-m)dn-ma=aqJnJmq前n項(xiàng)和n(a1+an)nfnj-£)Snnad22Sn="'nai(q=1)aa，”i等差（比）中項(xiàng)2%書=an+an電2an+=ana"公差（比）a-ad=am,(mn)n-mq2=-anam性質(zhì)m+n=p+q=am+an=ap+aqm+n=p+q=ama=apaqm+n=2p=am+an=2ap

17、2m+n=2p=aman=apSm,S2mSm,S3mS2m,出成等差2數(shù)列，公差為md（Sn是刖n項(xiàng)和）Tm,T2m,T3mJll成等比數(shù)列，公TmT2m2，_m一一一一比為q（Tn是前n項(xiàng)積）am,am#,am郡H仍然是等差數(shù)列，其公差為kdam,am«,am梆,田仍然是等比數(shù)列，k其公比為qkan+b是等差數(shù)列ba：是等比數(shù)列（b#0）單調(diào)性d>0,L;d<0,L;d=0,常數(shù)列ai>0時(shí)，q>1L,0<q<1,L;a1<0時(shí)，q>lL,0<q<1,l_;q=1為常數(shù)列；q<0為擺動(dòng)數(shù)列2.等差數(shù)列的判定方法：（

18、a,b,d為常數(shù)）.定義法：若an書an=d】.等差中項(xiàng)法：若2ai=an+an*=an為等差數(shù)列.通項(xiàng)公式法：若an=an+b.前n項(xiàng)和法：Sn=an2+bnJ3.等比數(shù)列的判定方法：（k,q為非零常數(shù)）、,4an-1.定義法：若-q、an.等比中項(xiàng)法：若an書2=anan書>=Mn為等比數(shù)列.通項(xiàng)公式法：若an=kqn.前n項(xiàng)和法：Sn=kkqn/-、不等式的主要性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：aAbubaa(2)傳遞性：aAb,bc=aAc(3)加法法則：aAb=a+cAb+c；(4)同向不等式加法法則：ab,cAd=a+cAb+d(5)乘法法則：a>b,c>0=ac>bc；

19、aab,c<0=ac<bc(6)同向不等式乘法法則：a>b>0,c>d>0=>ac>bd(7)乘方法則：aAb>0=an>bn(n亡N*且n>1)(8)開方法則：a>b>0=>na>n/b(neN*且n>1)11(9)倒數(shù)法則：aAb,ab>0;一<ab、一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0（a#0）及其解法>0&=0<0二次函數(shù)y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c=a(x_x1)(x-x2)y=ax二a(,2+bx+cX-xi)(

20、xx2)2.y=ax+bx+c（a>0）的圖象一J°zX1=XZK1,兀一次方程2ax+bx+c=0(a>0)的根后兩相異實(shí)根Xi,X2（Xi<X2）后兩相等實(shí)根bX1X22a無(wú)實(shí)根2ax+bx+ca0(aa0)的解集x<x1或xax21Hx2aR2ax+bx+c<0(a>0)的解集&x1Mx<x2001.一元二次不等式先化標(biāo)準(zhǔn)形式（a化正）2.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式?？谠E：在二次項(xiàng)系數(shù)為正的前提下：“大于取兩邊，小于取中間”三、均值不等式1、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則22、基本不等式（也稱均值不等式）：a b ,，

21、稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),Tab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).若a > 0均值不等式：如果a,b是正數(shù)，那么aba+b22Jab即一-之。ab（當(dāng)且僅當(dāng)2=M寸取"="號(hào)）.注意：使用均值不等式的條件：一正、二定、三相等3、平均不等式：（a、b為正數(shù)），即、a b ab 一22一-T(當(dāng)a=b時(shí)取等)11aba2b24、吊用的基本不等式：a+b之2ab(a,b=R)；abW-(a,bR)；a(a,be R).2abwIaa(a>0,b>0v25、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有:2若x+y=s(和為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積xy取得最大值.若xy=P(積為定

22、值)，則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值2Jp.四、含有絕對(duì)值的不等式1 .絕對(duì)值的幾何意義：|x|是指數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離；|x-x2|是指數(shù)軸上x1,x2兩點(diǎn)間的距離；代數(shù)意Jaa0乂：|a=*0a=0aa<02、如果a>0,則不等式：|x|>a<=>xa或x<a；|x|之a(chǎn)<=>x之a(chǎn)或xMa|x|<a<=>a<x<a；|x|<a<=>-a<x<a4、解含有絕對(duì)值不等式的主要方法：解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào)五、其他常見不等式形式總結(jié)：分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)

23、準(zhǔn)化，則f(x)、>0仁 f(x)g(x)0; g(x)3.0= f(x)g(x)-0 g(x)g(x)=0指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式af(x)>ag(x)(a>1)f(x)g(x)；af(x)>ag(x)(0<a<1)uf(x)<g(x)對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f(x)0f(x)0lOgaf(x)AlOgag(x)(a>1)=g(x)>0logaf(x)Alogag(x)(0<a<1)=g(x)0f(x)Ag(x)J(x)<g(x)高次不等式：數(shù)軸穿線法口訣：“從右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶轉(zhuǎn)個(gè)彎；小于取下邊

24、，大于取上邊”例題：不等式(x-3x+2)(x4)wo的解為()x3A.1<xwi或x>2B.x<-3或1wxW2C.x=4或3<xW1或x>2D.x=4或x<3或1wxw2六、不等式證明的常用方法：作差法、作商法七、線性規(guī)劃1、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.2、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組.3、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)（x,y）,所有這樣的有序數(shù)對(duì)（x,y）構(gòu)成的集合.4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P（x0,y0）.若B>0,Ax。+Byo+C>0,則點(diǎn)P（x0,y0）在直線Ax+By+C=0的上方.若B>0,Ax°+By0+C<0,則點(diǎn)