數(shù)學(xué)歸納法證明例題

1、v1.0可編輯可修改8請讀者分析下面的證法:數(shù)學(xué)歸納法例題證明：n=1時，左邊11一，、一1,左邊=右邊，等式成乂.213假設(shè)n=k時,等式成立，即:2k12k12k1那么當(dāng)n=k+1時,有:2k12k12k12k2k12k12k12k32k2k32k32k32k11這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式亦成立.由、可知，對一切自然數(shù)n等式成立.評述：上面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明的方法是錯誤的,這是一種假證，假就假在沒有利用歸納假設(shè)n=k這一步，當(dāng)n=k+1時，而是用拆項法推出來的，這樣歸納假設(shè)起到作用，不符合數(shù)學(xué)歸納法的要求.正確方法是：當(dāng)n=k+1時.2k 1 2k 12k 1 2k 32k 12k

2、1 2k 32k23k12k1k12k12k32k12k3k1k12k32k11這就說明，當(dāng)r=k+1時，等式亦成立，例2.是否存在一個等差數(shù)列an,使得對任何自然數(shù)n,等式：81+232+333+-1+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并證明你的結(jié)論.分析：采用由特殊到一般的思維方法，先令n=1,2,3時找出來an,然后再證明一般性.解：將n=1,2,3分別代入等式得方程組.a16a12a224,a12a23a360解得a1=6,a2=9,a3=12,則d=3.故存在一個等差數(shù)列an=3n+3,當(dāng)n=1,2,3時，已知等式成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明存在一個等差數(shù)列an=3n+3,對大于3

3、的自然數(shù)，等式a+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立.因為起始值已證，可證第二步驟.假設(shè)n=k時，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么當(dāng)n=k+1時，a1+2a2+3a3+kak+(k+1)ak+1=k(k+1)(k+2)+(k+1)3(k+1)+32=(k+1)(k+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1(k+1)+2這就是說，當(dāng)n=k+1時，也存在一個等差數(shù)列an=3n+3>a1+2a2+3a3+-+nan=n(n+1)(n+2)成立.綜合上述，可知存在一個等差數(shù)列an=3n+3,對任何自然數(shù)n,等

4、式ai+2a2+3a3+-+nan=n(n+1)(n+2)都成立.一、一一11例3.證明不等式1,：/2,3證明：當(dāng)n=1時，左邊=1,右邊=2.左邊邊，不等式成立.假設(shè)n=k時，不等式成立，即1 1 1.23那么當(dāng)n=k+1時,11722k12.k1,k1這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式成立.由、可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立.說明：這里要注意，當(dāng)n=k+1時，要證的目標(biāo)是2&1當(dāng)代入歸納假設(shè)后，就是要證明:2-k1.k1認識了這個目標(biāo),于是就可朝這個目標(biāo)證下去，并進行有關(guān)的變形，達到這個目標(biāo).例4.已知數(shù)列an滿足a1=0,a2=1,當(dāng)nCN時，an+2=an+1+a.求證：數(shù)

5、列an的第4m+1項（meN）能被3整除.分析：本題由an+尸an+1+an求出通項公式是比較困難的，因此可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3,能被3整除.當(dāng)n=k時，a4k+i能被3整除，那么當(dāng)n=k+1時,a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+ckk+2+a4k+1=a4k+2+a4k+l+&k+2+a4k+2+a4k+1=3C4k+2+2C4k+1由假設(shè)a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4卜+2+2麗+1能被3整除.因此，當(dāng)m=k

6、+1時,C4(k+1)+1也能被3整除.由、可知，對一切自然數(shù)mN數(shù)列an中的第4n+1項都能被3整除.例5.n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓弧分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證.(1)(2)當(dāng)n=2時，由圖(1).兩個半圓交于一點，則分成當(dāng)n=3時，由圖(2).三個半徑交于三點，則分成由n=4時，由圖(3).三個半圓交于 6點，則分成4段圓弧，故f (2)=4=2 2.9段圓弧，故f (3)=9=3 2.16 段圓弧，故 f (4)=16=4 2.2由此猜想滿足條

7、件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)=n.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:當(dāng)n=2時，上面已證.設(shè)n=k時，f(k尸k2,那么當(dāng)n=k+1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點，所以第k+1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓??；另外原k個半圓把第k+1個半圓分成k+1段,這樣又多出了k+1段圓弧.2f(k+1)=k+k+(k+1).22=k+2k+1=(k+1).滿足條件的k+1個半圓被所有的交點最多分成(k+1)2段圓弧.由、可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓弧.說明：這里要注意；增加一個半圓時，圓弧段增加了

8、多少條可以從f(2)=4,f(3)=f(2)+2+3,f(4)=f(3)+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1).N的4K+1次方-N為何是10的倍數(shù)先證明nA5-n-一定是10的倍數(shù)再用數(shù)學(xué)歸納法證明nA(4k+1)-n也是10的倍數(shù)nA5-n=n(n-1)(n+1)(nA2+1)顯然n,n-1中必有一個數(shù)是偶數(shù)所以nA5-1是2的倍數(shù)下面分情況討論n=5t5t+15t+25t+35t+4都能得到nA5-n是5的倍數(shù)而(2,5)互質(zhì)所以nA5-n是10的倍數(shù)所以當(dāng)k=1時成立假設(shè)當(dāng)k=r時成立即nA(4r+1)-n=10s則當(dāng)k=r+1時nA(4r+4+1)-n=(nA4r

9、+1-n)*nA4+(nA5-n)=nA4*10s+nA5-n由于nA5-n是10的倍數(shù)所以當(dāng)k=r+1時也成立證明:2的n次方大于2n+1,n是大于3的整數(shù)n=3時，2A3=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立設(shè)n<k,k>3時成立則：2A(k+1)=2*2Ak>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+1n=k+1時成立所以，2的n次方大于2n+1,n是大于2的整數(shù)證明：當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)n不能被4整除時，1n+2n+3n+4n能被5整除證明設(shè)A=1An+2入門+3入門+4A門，當(dāng)n=4k(k為整數(shù))時，in、3入門的個位數(shù)均為1,2人門、4人門的個位均為6,1+1+6+6=14,A的個位為4,顯然A不能被5整除當(dāng)nw4k時，若n=4k+1,易知A的個位=(1+2+3+4)的個位=0,二.