數(shù)學建模習題答案

1、數(shù)學建模部分課后習題解答中國地質大學能源學院華文靜1.在穩(wěn)定的椅子問題中，如設椅子的四腳連線呈長方形，結論如何？解：模型假設( 1) 椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處視為一點，四腳的連線呈長方形( 2) 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷沒有像臺階那樣的情況，即從數(shù)學角度來看，地面是連續(xù)曲面。這個假設相當于給出了椅子能放穩(wěn)的必要條件( 3) 椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。為了保證這一點，要求對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的。因為在地面上椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當?shù)姆秶鷥龋绻霈F(xiàn)深溝或凸峰即使是連續(xù)變化的，此時三只腳是無法同時著地的。模型建立在上述假設

2、下，解決問題的關鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳同時著地表示出來。首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動。生活經驗告訴我們，要把椅子通過挪動放穩(wěn)，通常有拖動或轉動椅子兩種方法，也就是數(shù)學上所說的平移與旋轉變換。然而，平移椅子后問題的條件沒有發(fā)生本質變化，所以用平移的方法是不能解決問題的。于是可嘗試將椅子就地旋轉，并試圖在旋轉過程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形。注意到椅腳連線呈長方形，長方形是中心對稱圖形，繞它的對稱中心旋轉180度后，椅子仍在原地。把長方形繞它的對稱中心旋轉，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉角度這一變量就表示了椅子的位置。為此，在平面上建立直角坐標系來解決問題。設椅腳連線為

3、長方形ABCD以對角線AC所在的直線為x軸，對稱中心。為原點，建立平面直角坐標系。椅子繞。點沿逆時針方向旋轉角度后，長方形ABCD轉至A1B1C1D1的位置，這樣就可以用旋轉角(0)表示出椅子繞點。旋轉后的位置。其次，把椅腳是否著地用數(shù)學形式表示出來。當椅腳與地面的豎直距離為零時，椅腳就著地了，而當這個距離大于零時，椅腳不著地。由于椅子在不同的位置是的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是的函數(shù)。由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個，它們都是的函數(shù)，而由假設3可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地，即這四個函數(shù)對于任意的，其函數(shù)值至少有三個同時為0。因此，只需引入兩個距離函數(shù)即可。

4、考慮到長方形ABCD是對稱中心圖形，繞其對稱中心O沿逆時針方向旋轉180度后，長方形位置不變，但A,C和B,D對換了。因此，記A,B兩腳與地面豎直距離之和為f(),C,D兩腳之和為g(),其中0，使得f(0)g(0)成立。模型求解如果f(0)g(0)0，那么結論成立。如果f(0)與g(0)不同時為零，不妨設f(0)0,g(0)0.這時，將長方形ABC噬點O逆時針旋轉角度后，點A,B分別于與C,D互換，但長方形ABC陳地面上所處的位置不變，由此可知，f兀=g0，g兀=f0,而由f00,g0=0,得g兀0,f兀=0。令h。=f(。)一g。，由f(。)和g(。)的連續(xù)性知h(。)也是連續(xù)函數(shù)。又h(

5、0)f(0)g(0)0,h()f()g()0,根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必存在0(0，)，使得h(0)0,即f(0)g(0)；又因為f(0)?g(0)0,所以f(0)g(0)0。于是，椅子的四只腳同時著地，放穩(wěn)了。模型討論用函數(shù)的觀點來解決問題，引入合適的函數(shù)是關鍵.本模型的巧妙之處就在于用變量0表示椅子的位置，用。的兩個函數(shù)表示椅子四只腳與地面的豎直距離.運用這個模型，不但可以確信椅子能在不平的地面上放穩(wěn)，而且可以指導我們如何通過旋轉將地面上放不穩(wěn)的椅子放穩(wěn)2.人、狗、雞、米均要過河，船需要人劃，另外至多還能載一物，而當人不在時，狗要吃雞，雞要吃米。問人、狗、雞、米怎樣過河？模型假設人帶著貓、雞

6、、米過河，從左岸到右岸，船除了需要人劃之外，只能載貓、雞、米三者之一，人不在場時貓要吃雞，雞要吃米。試設計一個安全過河方案，使渡河次數(shù)盡量地少。符號說明X1：代表人的狀態(tài)，人在該左岸或船上取值為1，否則為0;X2：代表貓的狀態(tài)，貓在該左岸或船上取值為1，否則為0；X3：代表雞的狀態(tài)，雞在該左岸或船上取值為1，否則為0；X4：代表米的狀態(tài)，米在該左岸或船上取值為1，否則為0:；Sk(Xi，X2,X3，X4)：狀態(tài)向量，代表時刻K左岸的狀態(tài);Dk(Xi,X2,X3,X4)：決策向量，代表時刻K船上的狀態(tài);模型建立限制條件：X10X2X32X3X42初始狀態(tài)：S0(1，1，1，1),D0(0，0，0

7、，0)模型求解根據(jù)乘法原理，四維向量(X1,X2,X3,X4)共有2416種情況根據(jù)限制條件可以排除(0,1,1,1)(0,1,0,1)(0,0,1,1)三種情況，其余13種情況可以歸入兩個集合進行分配，易知可行決策集僅有五個元素D(1,1,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0),(0,0,0,0),狀態(tài)集有8個元素，將其進行分配，共有兩種運送方案：方案一：人先帶雞過河，然和人再回左岸，把米帶過右岸，人再把雞運回左岸，人再把貓帶過右岸，最后人回來把雞帶去右岸狀態(tài)見表1；方案二：人先帶雞過河，然后人再回左岸，把貓帶過右岸，人再把雞運回左岸，人再表一：把米帶過右岸，最

8、后人回來把雞帶去右岸(狀態(tài)見表2);時刻左岸斗犬態(tài)Sk船上DkK=0(1,1,1,1)(0,0,0,0)K=1(0,1,1,1(1,0,1,0)K=21,1,0,們(1,0,0,0)K=30,1,0,0(1,0,0,1)K=41,1,1,0(1,0,1,0)K=50,0,1,0(1,1,0,0)K=61,0,1,0(1,0,0,0)K=70,0,0,0(1,0,1,0)目標：確定有效狀態(tài)集合，使得在有限步內左岸狀態(tài)由(1,1,1,1)(0,0,0,0)表二:時刻左岸斗犬態(tài)Sk船上DkK=0(1,1,1,1)(0,0,0,0)K=1(0,1,0,1)(1,0,1,0)K=2(1,1,0,1)(1

9、,0,0,0)K=3(0,0,0,1)(1,1,0,0)K=4(1,0,1,1)(1,0,1,0)K=5(0,0,1,0)(1,0,0,1)K=6(1,0,1,0)(1,0,0,0)K=7(0,0,0,0)(1,0,1,0)3.學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學生們要組織一個10人的委員會，試用以下方法分配各宿舍的委員數(shù)：1按比例分配取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者.22.1節(jié)中的Q值方法.3d'Hondt方法：將各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n1,2,3,相除，其商數(shù)如下表：12345A235117.578.358.75B33

10、3166.511183.25C43221614410886.4將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標以木It線，表中A,B,C行有橫線的數(shù)分別為2,3,5,這就是3個宿舍分配席位.你能解釋這種方法的道理嗎。如果委員會從10人增至15人，用以上3種方法再分配名額.將3種方法兩次分配的結果列表比較.4你能提出其他的方法嗎.用你的方法分配上面的名額.解：先考慮N=10的分配方案，3p1235,p2333,p3432,pi10001 1方法一按比例分配q1p1N2.35,q2P2N3.33,q3P3N4分配結果為：n13,n23,n34方法二Q值方法9個席位的分配結果可用按比例分配為

11、：n13,山 3, %4第10個席位：計算Q值為2352Q 920417, Q2 3333234924075 Q4322933124 5Q3最大，第10個席位應給C.分配結果為n12,n23,n35方法三d'Hondt方法原理：記pi和ni為各宿舍的人數(shù)和席位i=1,2,3 代表A、B C宿舍，曲是每席位A代表的人數(shù),取ni =1,2,3，從而得到的邑中選較大者，可使對所有的i,正盡量nini接近。所以此方法的分配結果為：n12,n23,n35再考慮N15的分配方案，類似地可得名額分配結果?，F(xiàn)將3中方法兩次分配額結果列表如下：宿舍(1)23123A322443B333555C45566

12、7總計1010101515154.一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎勵，俱樂部只準備了一把軟尺用與測量，請你設計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假設魚池中只有一種妒魚，并且得到了8條魚的如下數(shù)據(jù)胸圍指魚身的最大周長：身長cm36.831.843.836.832.145.135.932.1重里g75648211627374821389652454胸圍cm24.821.327.924.821.631.822.921.6先用機理分析，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)。模型分析此題為了知道魚的重量，用估計法來通過估計魚的長度而確定魚的重量，這種方法只能針對同一種體形相似魚，但是一般而

13、言世界上沒有兩種完全相同的東西，所以對于同一種類的魚也有可能肥瘦不一。所以在此，我們應該先不妨假設同一種魚它的整體形狀是相似的，密度也大體上是相同的。模型假設(1) 設魚的重量為；(2) 魚的身長記為l;模型的構成與求解因為我們前面假設了魚的整體形狀是相似的，密度也相同，所以魚的重量與身長l的立方成正比，為這兩者之間的比例系數(shù)。即ki3,K為比例系數(shù)。不過常釣得較肥的垂釣者不一定認可上面的模型，因為它對肥魚和瘦魚同等看待，如果只假定魚的截面是相似的，則橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，于是k2d2l,k2為比例系數(shù)。利用題中給的數(shù)據(jù)，估計模型中的系數(shù)可得：k10.0146,k20.0322，

14、將實際數(shù)據(jù)與模型結果比較如下表：實際重量g76548211627374821389652454模型k1372746912267274831339675483模型k2d2l73046511007304831471607483通過機理分析，基本上滿意5.生物學家認為，對于休息狀態(tài)的熱血動物消耗的能量主要用于維持體溫，能量與從心臟到全身的血流量成正比，而體溫主要通過身體外表散失，建立一個動物體重與心率之間關系的模型，并用下面的數(shù)據(jù)加以檢驗。動物體重g心率次/分田鼠25670家屬200420兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072馬45000038解：動物消

15、耗的能量P主要用于維持體溫，而體內熱量通過外表積S散失，記動物體重為，則PS2/3,P正比于血流量Q,而Qqr,其中q是動物每次心跳泵出的血流r量，r為心率。合理地假設q與成正比，于是q,綜上可得r1/3,或k1/3。由所給數(shù)據(jù)估計得k20.897103,將實際數(shù)據(jù)與模型結果比較如下表：動物實際心率次/分模型結果次/分田鼠670715家屬420375兔205166小狗120122大狗8567羊7057人7251馬38276.速度為v的風吹在迎風面積s為的風車上，空氣密度是。用量綱分析方法確定風車獲得的功率P與v,s,的關系。解:模型分析設P,S,的關系為f(P,s,)0,其量綱表達式為PML2

16、T 3,123LT1,s匕ML3,這里L,M,T是基本量綱模型求解A量綱矩陣為：(P)()(s)()2y1V22y33y4齊次線性方程組y1y403y1y203s1 1 ,其中是無量綱常數(shù)它的基本解為y(1,3,1,1)由量綱Pi定理得p13s11,P7.雨速的速度V與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度g有關，其中粘滯系數(shù)的定比例系數(shù)為粘滯系義是：運動物體在流體中受的摩力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比,數(shù)。用量綱分析方法給出速度v的表達式。解：模型分析設，,g的關系為f(v,vLM0T1,pL3mT3其中M,L,T是基本量綱模型求解131A011量綱矩陣為101()()()(齊次線性方程組Av0

17、,即,g)0.其量綱表達式為：MLT2(LT1L1)1L2MLL2T2TL1MT1gLMT-2,102g)Vi3y2Va0V 2V30VI V32y40的基本解為V(3,1,1,1)由量綱R定理得31g,所以8.在存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用。重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣。而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和定貨批量都比原來結果減少。解：模型求解設購買單位重量貨物的費用為k對于不允許缺貨模型，每天平均費用為：3二一g其中是無量綱數(shù)GT1萼krdCc1c2r-dTT22令dCdT_*0,解得T2C1一*rT,得Q*rT與不考慮購貨費的結果比較，T

18、Q的最優(yōu)結果沒有變對于允許缺貨模型,每天平均費用為:c(T,Q)T1ciC2Q2"27"Co-3(rT2rQ)2 kQ 一* 解得T,2C1(C2C3)kq*3C2C3 '2arc3C3k2r2kr:C2(C1C3)C2(C2C3)C2C3k ,銷售速率為常數(shù)均比不考慮費用k時的結果減小9.建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型。設生產速率為常數(shù)kr在每個生產周期T內，開始的一段時間(0tT0)一邊生產一邊銷售，后來的一段時間(T0tT)只銷售不生產，畫出貯存量q(t)的圖形。設每次生產準備費為a,單位時間每件產品貯存費為c2,以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產周期。討論kr

19、和kr的情況。解：由題意可得貯存量g(t)的圖形如下:又(k r) T0r(TT0)貯存費變?yōu)閏2r(kr)T T2k于是不允許缺貨的情況下，生產銷售的總費用單位時間內為anClc2r(kr )T2c12kTr(kr)TC2 2kdC dTCiC2r( k r)2k令de dT.V_k *0,得T2ck：c2r(k r)易得函數(shù)C(T)在 T處取得最小值，即最優(yōu)周期為 T*'-2c1kc2r(k r)* r,T2C1,相當于不考慮生產的情況。 *r,T,此時產量與銷量相抵消，無法形成貯存量。10.在森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度 試假設一個合理的函數(shù)關系，重新求解模型。與開

20、始救火時的火勢 b有關,解：模型分析考慮滅火速度與火勢b有關，可知火勢 b越大,模型假設滅火速度將減小(b)1中的1是防止b而加的模型求解總費用函數(shù)C (x)c I122Ci2ti2(b1)c2 11x(b1)4kx b )kx bC3X(b 1)k3組。設初始時三最優(yōu)解為XGkb22c2b(b1)(b1)2c3k211.設某種動物種群最高年齡為30,按10歲為一段將此種群分為組中的動物為(1000,1000,1000)：相應的Leslie矩陣為030L16000120試求10,20,30年后各年齡組的動物數(shù)，并求該種群的穩(wěn)定年齡分布，指出該種群的發(fā)展趨勢。解：模型分析：根據(jù)Leslie矩陣的

21、意義及公式x(k1)L*x(k)很容易求出各年齡組的動物數(shù)。而Leslie矩陣的唯一的正特征值及對應的特征向量分別表示種群的發(fā)展趨勢及種群的穩(wěn)定分布。模型的建立與求解：110年后各年齡組的動物數(shù)：t500tx(1)Lx(0)L(1000,1000,1000)T(3000,500，3250t20年后各年齡組的動物數(shù)：x(2)Lx(1)(500,500,)T325030年后各年齡組的動物數(shù)：x(3)Lx(2)(1500,250)T322很容易求出L矩陣的大于零的特征值為,其對應的特征向量為2d(6.2,2,.2)T所以種群的穩(wěn)定年齡分布：x:y:z6V2:2:匿,其中，x表示0-10歲年齡組的動物

22、數(shù)，y表示10-20歲年齡組的動物數(shù)，z表示20-30歲年齡組的動物數(shù)。由于1,所以該種群動物數(shù)會逐漸減少。12 .對于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論以下問題：1因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第k1時段的價格yk1由第k1和第k時段的數(shù)量xk1和xk決定.如果仍設xk1仍只取決于yk,給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結果進行比較.2假設除了yk1由xk1和xk決定之外，xk1也由前兩個時段的價格yk和yk1確定.試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會放寬.解：(1) 模型假設簡單地假設ykI由xk1和乂卜的平均值決定模型建立yk1Voa(xk12xkXo)0xk1X0(

23、yky°)0模型求解得2Xk2Xk1Xk41)X0,與7.1節(jié)B的結果相同，平衡點穩(wěn)定的條件仍為2(2) 模型假設設Xki也由yk和yki的平均值決定模型建立ykiyoa(Xk12Xkxo),0Xk1Xo(yk2yk1yo),0模型求解得 4Xk 3X k 22 Xk 1Xk c,c由 ，x0, y0決定，其特征方程0 ,該方程所有特征根1的條件即平衡點穩(wěn)定的條件仍為213 .設n階矩陣A為一致陣，證明A具有以下性質:1A的秩為1,唯一的非零特征根為n;2A的任一列向量都是對應于n的特征向量。解：(1)由一致陣的定義,aik縱對，k1,2, n ,所以A的任意兩行成比例,對A進行初等

24、變換得B,則Ba11a1200a1 n0,所以A的秩為1.由初等變換及初等矩陣的關系得，存在可逆陣巳使得PA=B所以PAP1BP 1c11C1200c1nC ，則A與C相似，便有相同的特征根易知C的特征根為c11一次根，0；由于對任意矩陣 人有12n tr (A),于是c11n,所以A的唯一非零特征值為 n.T(2) 對列 向 量a1k,a2k,ankTnAa#,a2k,ankaajk,jiTTnnnnanj ajka化,a2k, ankna俅a2kj 1j 1j 1j 1,ank14.假設發(fā)現(xiàn)一成比照較矩陣A的非一致性較為嚴重，應如何尋找引起非一致性的元所以，每一列均為對應于n的特征向量素？例如，設已構造了成比照較矩陣1153A516131611對A作一致性檢驗；2假設A的非一致性較嚴重，應如何作修正。解：(1) 模型分析對A作一致性檢驗，算出A的最大特征值，A=11/53;516;1/31/61;A=max(eigA)；CI=a-3/(3-1);RI=0.58;CR=CI/IR模型求解解得CR=0.0810