2010廣州高三二模數(shù)學(xué)試題及答案（理科）

1、 試卷類型：A2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）數(shù) 學(xué)（理科） 20104本試卷共4頁，21小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后

2、再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題組號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效. 5考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.參考公式：如果事件、互斥，那么.如果事件、相互獨(dú)立，那么.如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是,那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率C.兩數(shù)立方差公式: .一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 A B C D不確定2. 已知全集中有m個(gè)元素，中有n個(gè)

3、元素若非空， 則的元素個(gè)數(shù)為A B C D 3. 已知向量,向量,則的最大值為 A. B. C. D.4. 若是互不相同的空間直線, 是平面, 則下列命題中正確的是 A. 若,則 B. 若,則 開始輸入輸出 結(jié)束是否 C. 若,則 D. 若,則5. 在如圖1所示的算法流程圖, 若, 則的值為 (注:框圖中的賦值符號(hào)“=”也可以寫成“” 或“：=”) A. B. C. D. 6. 已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 為坐標(biāo)原點(diǎn), 則的最小值為 A. B. 圖1 C. D.7. 已知函數(shù), 若且, 則下列不等式中正確的是 A. B. C. D. 8. 一個(gè)人以6米/秒的勻速度去追趕停在交通燈前的汽車, 當(dāng)他離汽車2

4、5米時(shí)交通燈由紅變綠, 汽車開始作變速直線行駛 (汽車與人的前進(jìn)方向相同), 汽車在時(shí)刻的速度為米/秒, 那么, 此人A. 可在7秒內(nèi)追上汽車 B. 可在9秒內(nèi)追上汽車 C. 不能追上汽車, 但其間最近距離為14米 D. 不能追上汽車, 但其間最近距離為7米二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）9若函數(shù)的最小正周期為,則的值為 .10. 已知橢圓的離心率, 且它的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合, 則橢圓的方 程為 .11甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量、，其分布列分別為： 01230.40.30.20.10120.30.50.2

5、若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是 .12.圖2是一個(gè)有層的六邊形點(diǎn)陣.它的中心是一個(gè)點(diǎn), 算作第一層, 第2層每邊有2個(gè)點(diǎn),第3層每邊有3個(gè)點(diǎn) , 第層每邊有個(gè)點(diǎn), 則這個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)共有 個(gè).13. 已知的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)比為563, 則該展開式中的系數(shù)為 . 圖2（二）選做題（14 15題，考生只能從中選做一題）14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線的參數(shù)方程為(參數(shù)R), 圓的參數(shù)方程為(參數(shù)), 則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為 .15.(幾何證明選講選做題)如圖3, 半徑為5的圓的兩條弦 和相交于點(diǎn), 為的中點(diǎn), , 則弦的長(zhǎng)度為 .三、解答題：本大題共

6、6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟，16. （本小題滿分12分） 已知. (1) 求的值; (2) 求的值.17. （本小題滿分12分） 如圖4, 在直角梯形中, , 把沿對(duì)角線折起后如圖5所示(點(diǎn)記為點(diǎn)), 點(diǎn)在平面上的正投影 落在線段上, 連接. (1) 求直線與平面所成的角的大小;(2) 求二面角的大小的余弦值. 圖4 圖5 18.（本小題滿分14分） 一射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行飛碟射擊訓(xùn)練, 每一次射擊命中飛碟的概率與運(yùn)動(dòng)員離飛碟的距離 (米)成反比, 每一個(gè)飛碟飛出后離運(yùn)動(dòng)員的距離 (米)與飛行時(shí)間(秒)滿足, 每個(gè)飛碟允許該運(yùn)動(dòng)員射擊兩次(若第一次射擊命中,則不再進(jìn)行第

7、二次射擊).該運(yùn)動(dòng)員在每一個(gè)飛碟飛出0.5秒時(shí)進(jìn)行第一次射擊, 命中的概率為, 當(dāng)?shù)谝淮紊鋼魶]有命中飛碟, 則在第一次射擊后 0.5秒進(jìn)行第二次射擊,子彈的飛行時(shí)間忽略不計(jì). (1) 在第一個(gè)飛碟的射擊訓(xùn)練時(shí), 若該運(yùn)動(dòng)員第一次射擊沒有命中, 求他第二次射擊命中飛碟 的概率; (2) 求第一個(gè)飛碟被該運(yùn)動(dòng)員命中的概率; (3) 若該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行三個(gè)飛碟的射擊訓(xùn)練(每個(gè)飛碟是否被命中互不影響), 求他至少命中兩個(gè)飛碟的概率.19. （本小題滿分14分） 已知拋物線:的焦點(diǎn)為,、是拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的 不同兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)、處的切線分別為、，且，與相交于點(diǎn). (1) 求點(diǎn)的縱坐標(biāo)； (2) 證明：

8、、三點(diǎn)共線； (3) 假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，問是否存在經(jīng)過、兩點(diǎn)且與、都相切的圓， 若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.20. （本小題滿分14分） 已知函數(shù)(R)的一個(gè)極值點(diǎn)為.方程的兩個(gè) 實(shí)根為, 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的. (1) 求的值和的取值范圍; (2) 若, 證明:.21. （本小題滿分14分） 已知數(shù)列和滿足,且對(duì)任意N都有, . (1) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式; (2) 證明:. 2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可

9、根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算共8小題，每小題5分，滿分40分 題號(hào)12345678答案ACCCBBDD二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分其中1

10、415題是選做題，考生只能選做一題 91 10. 11. 乙 12. 13. 180 14 15. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16（本小題滿分12分） (本小題主要考查兩角和與差的三角公式等知識(shí), 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算求解能力)（1）解法1：， . 2分 . 解得. 4分解法2：， 2分 . 4分 （2）解: 6分 8分 10分 . 12分17. （本小題滿分12分） (本小題主要考查空間線面關(guān)系、空間角等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)方法一:(1) 解:在圖4中

11、, , , . ,為等邊三角形. . 2分 在圖5中, 點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,平面.平面,., 圖4.平面, 平面,平面.為直線與平面所成的角. 4分在Rt中, ,. ,.直線與平面所成的角為. 6分 (2) 解:取的中點(diǎn), 連接,. , .平面,平面,.平面, 平面,平面.平面,.為二面角的平面角. 8分在Rt中,.在Rt中,. 在Rt中，.二面角的大小的余弦值為. 12分方法二: 解:在圖4中, , , . ,為等邊三角形. . 2分 在圖5中, 點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的射影,平面.平面,., 圖4.平面, 平面, 平面. 4分連接,在Rt和Rt中,RtRt.在Rt中，.在Rt中，. 6分以點(diǎn)為

12、原點(diǎn),所在直線為軸,與平行的直線為軸,所在直線為軸,建立空 間直角坐標(biāo)系,則,.,. (1), . 直線與平面所成的角為. 9分 (2) 設(shè)平面的法向量為n, 由 得 令, 得,. n為平面的一個(gè)法向量. 為平面的一個(gè)法向量, . 二面角的平面角為銳角, 二面角的平面角的余弦值為. 12分 18. （本小題滿分14分）(本小題主要考查古典概型、二項(xiàng)分布等知識(shí), 考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))(1)解:依題意設(shè)為常數(shù),由于, . 2分當(dāng)時(shí), , 則,解得. 4分當(dāng)時(shí), .該運(yùn)動(dòng)員第二次射擊命中飛碟的概率為. 6分(2) 解:設(shè)“該運(yùn)動(dòng)員第一次射擊命中飛碟

13、”為事件，“該運(yùn)動(dòng)員第二次射擊命中飛碟”為事 件，則“第一個(gè)飛碟被該運(yùn)動(dòng)員命中”為事件：. 7分， . 第一個(gè)飛碟被該運(yùn)動(dòng)員命中的概率為. 10分(3) 解:設(shè)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行三個(gè)飛碟的射擊訓(xùn)練時(shí)命中飛碟的個(gè)數(shù)為, 則. 至少命中兩個(gè)飛碟的概率為 12分 C+ C . 14分19. （本小題滿分14分）(本小題主要考查直線、圓、拋物線、曲線的切線等知識(shí), 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力) (1) 解:設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、， 、分別是拋物線在點(diǎn)、處的切線， 直線的斜率，直線的斜率. , , 得. 2分、是拋物線上的點(diǎn), 直線的方程為,直線的方程為.

14、由 解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為. 4分(2) 證法1： 為拋物線的焦點(diǎn)， . 直線的斜率為， 直線的斜率為. 6分 .、三點(diǎn)共線. 8分證法2： 為拋物線的焦點(diǎn)， . ， . , 6分 .、三點(diǎn)共線. 8分證法3：設(shè)線段的中點(diǎn)為, 則的坐標(biāo)為.拋物線的準(zhǔn)線為.作, 垂足分別為. 由(1)知點(diǎn)的坐標(biāo)為,.是直角梯形的中位線. 6分根據(jù)拋物線的定義得:,.,為線段的中點(diǎn),.,即.、三點(diǎn)共線. 8分(3)解: 不存在. 證明如下： 假設(shè)存在符合題意的圓，設(shè)該圓的圓心為， 依題意得，且， 由，得. 四邊形是正方形. . 10分點(diǎn)的坐標(biāo)為， ,得. 把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線, 得 解得或,點(diǎn)的坐標(biāo)為或.同理可求得點(diǎn)的坐

15、標(biāo)為或.由于、是拋物線上的不同兩點(diǎn)，不妨令,., . 13分, 這與矛盾.經(jīng)過、兩點(diǎn)且與、都相切的圓不存在. 14分20. （本小題滿分14分）(本小題主要考查函數(shù)和方程、函數(shù)導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí), 考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力) (1) 解:, . 的一個(gè)極值點(diǎn)為, . . 2分 , 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ; 函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. 方程的兩個(gè)實(shí)根為, 即的兩根為, . ,. 4分 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的, 區(qū)間只能是區(qū)間,之一的子區(qū)間. 由于,故. 若,則,與矛盾. .方程的兩根都在區(qū)間上. 6分令, 的對(duì)稱軸為,則 解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為. 8分說明:6分至8分的得分點(diǎn)也可以用下面的方法.且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的, .由 即 6分解得. 實(shí)數(shù)的取值范圍為. 8分(2)證明:由(1)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減, 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為, 最小值為. , . 10分 令, 則,. 設(shè), 則. , . . 函數(shù)在上單調(diào)遞增. 12分 . . 14分21. （本小題滿分14分）(本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、數(shù)列、不等式等知識(shí), 考