弧,弦與圓心角的關(guān)系定理（蒼柏書屋）

1、1青苗C學(xué)班（1）圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是過圓心的直）圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是過圓心的直線。線。憶一憶憶一憶一、一、圓的對(duì)稱性如何？（導(dǎo)航圓的對(duì)稱性如何？（導(dǎo)航17頁(yè)請(qǐng)你思考頁(yè)請(qǐng)你思考1）（2）圓是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。）圓是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。二、想一想二、想一想圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)多少度就能與原圖形重合？圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)多少度就能與原圖形重合？（3）結(jié)論：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與原結(jié)論：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與原圖形重合，這是圓的旋轉(zhuǎn)不變性。圖形重合，這是圓的旋轉(zhuǎn)不變性。2青苗C學(xué)班什么叫圓心角？什么叫圓心角？（導(dǎo)航（導(dǎo)航17 17頁(yè)請(qǐng)你思考頁(yè)

2、請(qǐng)你思考2 2） 圓心角圓心角 頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。(如如AOB). 弦心距弦心距 過圓心作弦的垂線過圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的圓心與垂足之間的距離叫弦心距。距離叫弦心距。(如線段如線段OD). 想一想想一想 P94OABD3青苗C學(xué)班根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將圓心角根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到AOB的位的位置時(shí)，置時(shí)， AOBAOB，OAOB點(diǎn)點(diǎn) A與與 A重合，重合，B與與B重合重合OAB做一做做一做OABABAB三、三、.ABA B弧弧AB與弧與弧AB重合，重合，AB與與AB重合重合 如圖，將圓心角如圖，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋

3、轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？（導(dǎo)航你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？（導(dǎo)航17頁(yè)請(qǐng)你思考頁(yè)請(qǐng)你思考3）4青苗青苗C學(xué)班學(xué)班弧、弦與圓心角的關(guān)系定理（弧、弦與圓心角的關(guān)系定理（ ）在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等所對(duì)的弦也相等四、說一說四、說一說 定理定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等”中，可否中，可否把條件把條件“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”去掉？為什么？去掉？為什么？ 等對(duì)等定理等對(duì)等定理5青苗青苗C學(xué)班學(xué)班 不

4、能去掉不能去掉. 反例：如圖，雖然反例：如圖，雖然AOB=AOB，但但ABAB，弧，弧AB弧弧AB 定理定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等”中，可否中，可否把條件把條件“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”去掉？為什么？去掉？為什么？ 6青苗C學(xué)班推論推論 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,如果如果兩個(gè)圓心角兩個(gè)圓心角, ,兩條兩條弧弧, ,兩條弦兩條弦（4 4）兩條弦心距）兩條弦心距中中, ,有一組量有一組量相等相等, ,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等相等. . 猜一猜猜一猜P

5、96OABDABD如由條件如由條件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB在這里可以不說在這里可以不說“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”嗎？嗎？7青苗C學(xué)班 如圖，如圖，AB、CD是是 O的兩條弦的兩條弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE與與OF相等嗎？相等嗎？為什么？為什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDCD=ABAOBCOD AB=CD四、練習(xí)四、練習(xí)CD=ABCD=AB OEOF證明：證明： OEAB OF CD

6、 ABCD AECF OAOC RTAOE RT COF OEOF8青苗青苗C學(xué)班學(xué)班證明：證明： AB=AC又又ACB=60， AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO五、例題五、例題AC=AB例例1 如圖，在如圖，在 O中，中， ,ACB=60,求證求證AOB=BOC=AOCAC=AB9青苗青苗C學(xué)班學(xué)班鞏固深化 在同圓或等圓中，一弦是另一弦的二在同圓或等圓中，一弦是另一弦的二倍，那么它所對(duì)的弧是另一弦所對(duì)的倍，那么它所對(duì)的弧是另一弦所對(duì)的弧的二倍嗎？試畫圖分析弧的二倍嗎？試畫圖分析 反之呢？反之呢？10青苗青苗C學(xué)班學(xué)班如圖，如圖，AB是是 O 的直徑，的直徑， COD=35，求

7、，求AOE 的度數(shù)的度數(shù)AOBCDE BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75解：解：六、練習(xí)六、練習(xí)=DECD=BC=DECD=BC11青苗青苗C學(xué)班學(xué)班七、思考七、思考 （2）如圖，圓）如圖，圓O的兩條弦的兩條弦AB、CD互互相垂直且交于點(diǎn)相垂直且交于點(diǎn)P，OE垂直于垂直于AB，OF垂直于垂直于CD,垂足分別是垂足分別是E、F,且弧且弧AC=弧弧BD，試探究四邊形，試探究四邊形EOFP的形狀，的形狀，并說明理由。并說明理由。12青苗青苗C學(xué)班學(xué)班2、如圖，點(diǎn)、如圖，點(diǎn)O是是EPF的平分線上的一點(diǎn)，以的平分線上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓和角的兩邊分別交于為圓心的圓和角的兩邊分

8、別交于 點(diǎn)點(diǎn) A、B和和C、D。 求證：求證：AB=CDMN證明：作證明：作OMAB，ONCD，M，N 為垂足。為垂足。 。CDABONOMCDONABOMNPOMPO推廣：若將上題中的點(diǎn)推廣：若將上題中的點(diǎn)O看作是沿著看作是沿著EPF的平分線運(yùn)動(dòng)的。的平分線運(yùn)動(dòng)的。 在在EPF的每邊與圓的每邊與圓O有兩個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，是否都能夠得到上題的結(jié)論？有兩個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，是否都能夠得到上題的結(jié)論？13青苗青苗C學(xué)班學(xué)班七、思考七、思考 D C A B O（4） 如圖，已知如圖，已知AB、CD為為 O的兩條的兩條弦，弧弦，弧AD=弧弧BC, 求證求證AB=CD14青苗青苗C學(xué)班學(xué)班MNOBAC（5）如圖，

9、已知）如圖，已知OA、OB是是 O的半徑，的半徑，點(diǎn)點(diǎn)C為為AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，M、N分別為分別為OA、OB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：MC=NC15青苗青苗C學(xué)班學(xué)班OBCAE（6）如圖，）如圖，BC為為 O的直徑，的直徑，OA是是 O的半徑，弦的半徑，弦BEOA,求證：求證：AC=AE 16青苗青苗C學(xué)班學(xué)班3、如圖，、如圖，A、B分別為分別為CD和和EF的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AB分別交分別交CD、EF于點(diǎn)于點(diǎn)M、N，且，且AM=BN。 求證：求證：CD=EF 證：連結(jié)證：連結(jié)OA、OB， 設(shè)分別與設(shè)分別與CD、EF交于點(diǎn)交于點(diǎn)F、G A為為CD中點(diǎn)，中點(diǎn)，B為為EF中點(diǎn)中點(diǎn) OACD，OBEF 故故AFC=BGE=90 又由又由OA=OB， OAB=OBA 且且AM=BN AFM BGN AF=BG OF=OG DC=EF FG17青苗青苗C學(xué)班學(xué)班圓的對(duì)稱性圓的對(duì)稱性圓的軸對(duì)稱性（圓是軸對(duì)稱圖形）圓的軸對(duì)稱性（圓是軸對(duì)稱圖形）垂徑定理垂徑定理及其推論及其推論圓的中心對(duì)稱性（圓是中心對(duì)稱圖形）圓的中心對(duì)稱性（圓是中心對(duì)稱圖形）圓心角、弧、弦、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)弦心距之間的關(guān)系系證明圓弧相等證明圓弧相等：