弧,弦與圓心角的關系定理（蒼柏書屋）

1、1青苗C學班（1）圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是過圓心的直）圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是過圓心的直線。線。憶一憶憶一憶一、一、圓的對稱性如何？（導航圓的對稱性如何？（導航17頁請你思考頁請你思考1）（2）圓是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。）圓是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。二、想一想二、想一想圓繞著它的圓心旋轉多少度就能與原圖形重合？圓繞著它的圓心旋轉多少度就能與原圖形重合？（3）結論：圓繞圓心旋轉任意一個角度都能與原結論：圓繞圓心旋轉任意一個角度都能與原圖形重合，這是圓的旋轉不變性。圖形重合，這是圓的旋轉不變性。2青苗C學班什么叫圓心角？什么叫圓心角？（導航（導航17 17頁請你思考頁

2、請你思考2 2） 圓心角圓心角 頂點在圓心的角叫圓心角。頂點在圓心的角叫圓心角。(如如AOB). 弦心距弦心距 過圓心作弦的垂線過圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的圓心與垂足之間的距離叫弦心距。距離叫弦心距。(如線段如線段OD). 想一想想一想 P94OABD3青苗C學班根據(jù)旋轉的性質，將圓心角根據(jù)旋轉的性質，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋轉到旋轉到AOB的位的位置時，置時， AOBAOB，OAOB點點 A與與 A重合，重合，B與與B重合重合OAB做一做做一做OABABAB三、三、.ABA B弧弧AB與弧與弧AB重合，重合，AB與與AB重合重合 如圖，將圓心角如圖，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋

3、轉到旋轉到AOB的位置，的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？為什么？（導航你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？為什么？（導航17頁請你思考頁請你思考3）4青苗青苗C學班學班弧、弦與圓心角的關系定理（弧、弦與圓心角的關系定理（ ）在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等所對的弦也相等四、說一說四、說一說 定理定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否中，可否把條件把條件“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”去掉？為什么？去掉？為什么？ 等對等定理等對等定理5青苗青苗C學班學班 不

4、能去掉不能去掉. 反例：如圖，雖然反例：如圖，雖然AOB=AOB，但但ABAB，弧，弧AB弧弧AB 定理定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否中，可否把條件把條件“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”去掉？為什么？去掉？為什么？ 6青苗C學班推論推論 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,如果如果兩個圓心角兩個圓心角, ,兩條兩條弧弧, ,兩條弦兩條弦（4 4）兩條弦心距）兩條弦心距中中, ,有一組量有一組量相等相等, ,那么它們所對應的其余各組量都分別那么它們所對應的其余各組量都分別相等相等. . 猜一猜猜一猜P

5、96OABDABD如由條件如由條件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB在這里可以不說在這里可以不說“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”嗎？嗎？7青苗C學班 如圖，如圖，AB、CD是是 O的兩條弦的兩條弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE與與OF相等嗎？相等嗎？為什么？為什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDCD=ABAOBCOD AB=CD四、練習四、練習CD=ABCD=AB OEOF證明：證明： OEAB OF CD

6、 ABCD AECF OAOC RTAOE RT COF OEOF8青苗青苗C學班學班證明：證明： AB=AC又又ACB=60， AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO五、例題五、例題AC=AB例例1 如圖，在如圖，在 O中，中， ,ACB=60,求證求證AOB=BOC=AOCAC=AB9青苗青苗C學班學班鞏固深化 在同圓或等圓中，一弦是另一弦的二在同圓或等圓中，一弦是另一弦的二倍，那么它所對的弧是另一弦所對的倍，那么它所對的弧是另一弦所對的弧的二倍嗎？試畫圖分析弧的二倍嗎？試畫圖分析 反之呢？反之呢？10青苗青苗C學班學班如圖，如圖，AB是是 O 的直徑，的直徑， COD=35，求

7、，求AOE 的度數(shù)的度數(shù)AOBCDE BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75解：解：六、練習六、練習=DECD=BC=DECD=BC11青苗青苗C學班學班七、思考七、思考 （2）如圖，圓）如圖，圓O的兩條弦的兩條弦AB、CD互互相垂直且交于點相垂直且交于點P，OE垂直于垂直于AB，OF垂直于垂直于CD,垂足分別是垂足分別是E、F,且弧且弧AC=弧弧BD，試探究四邊形，試探究四邊形EOFP的形狀，的形狀，并說明理由。并說明理由。12青苗青苗C學班學班2、如圖，點、如圖，點O是是EPF的平分線上的一點，以的平分線上的一點，以O為圓心的圓和角的兩邊分別交于為圓心的圓和角的兩邊分

8、別交于 點點 A、B和和C、D。 求證：求證：AB=CDMN證明：作證明：作OMAB，ONCD，M，N 為垂足。為垂足。 。CDABONOMCDONABOMNPOMPO推廣：若將上題中的點推廣：若將上題中的點O看作是沿著看作是沿著EPF的平分線運動的。的平分線運動的。 在在EPF的每邊與圓的每邊與圓O有兩個交點的時候，是否都能夠得到上題的結論？有兩個交點的時候，是否都能夠得到上題的結論？13青苗青苗C學班學班七、思考七、思考 D C A B O（4） 如圖，已知如圖，已知AB、CD為為 O的兩條的兩條弦，弧弦，弧AD=弧弧BC, 求證求證AB=CD14青苗青苗C學班學班MNOBAC（5）如圖，

9、已知）如圖，已知OA、OB是是 O的半徑，的半徑，點點C為為AB的中點，的中點，M、N分別為分別為OA、OB的中點，求證：的中點，求證：MC=NC15青苗青苗C學班學班OBCAE（6）如圖，）如圖，BC為為 O的直徑，的直徑，OA是是 O的半徑，弦的半徑，弦BEOA,求證：求證：AC=AE 16青苗青苗C學班學班3、如圖，、如圖，A、B分別為分別為CD和和EF的中點，的中點，AB分別交分別交CD、EF于點于點M、N，且，且AM=BN。 求證：求證：CD=EF 證：連結證：連結OA、OB， 設分別與設分別與CD、EF交于點交于點F、G A為為CD中點，中點，B為為EF中點中點 OACD，OBEF 故故AFC=BGE=90 又由又由OA=OB， OAB=OBA 且且AM=BN AFM BGN AF=BG OF=OG DC=EF FG17青苗青苗C學班學班圓的對稱性圓的對稱性圓的軸對稱性（圓是軸對稱圖形）圓的軸對稱性（圓是軸對稱圖形）垂徑定理垂徑定理及其推論及其推論圓的中心對稱性（圓是中心對稱圖形）圓的中心對稱性（圓是中心對稱圖形）圓心角、弧、弦、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關弦心距之間的關系系證明圓弧相等證明圓弧相等：