空間向量的數(shù)乘運算(公開課)（蒼柏書屋）

1、3.1.2 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算空間向量的數(shù)乘運算1青苗C學班回回 顧顧aOb結(jié)論：結(jié)論：空間任意兩個向量空間任意兩個向量都可都可平移平移到同一個平面到同一個平面內(nèi)，成為內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量同一平面內(nèi)的向量. .因此凡是因此凡是涉及涉及空間任意兩個向量的問題，平面向空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論量中有關(guān)結(jié)論仍適用仍適用于它們于它們. .ba2青苗C學班一、空間向量的數(shù)乘：一、空間向量的數(shù)乘： 2、空間向量的數(shù)乘的性質(zhì)、空間向量的數(shù)乘的性質(zhì)0（1）當）當時，時，aa與與同向同向0（2）當）當時，時，aa與與反向反向1 1、定義：、定義：aa實數(shù)實數(shù) 與空間向量與空間向量

2、 的乘積的乘積 仍然是一個向仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘量，稱為空間向量的數(shù)乘a0（3）當）當時，時，0, 0a當00a或有 a3 a | )4(a|a3 a3青苗C學班baba )(aa)()(3、空間向量的數(shù)乘的運算律、空間向量的數(shù)乘的運算律（3）數(shù)乘結(jié)合律：）數(shù)乘結(jié)合律：（1）數(shù)乘分配律）數(shù)乘分配律1：aaa)(（2）數(shù)乘分配律）數(shù)乘分配律2：4青苗C學班1 1、定義：、定義：如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合，行或重合， 則這些向量叫做則這些向量叫做共線向量共線向量二、空間中的共線向量二、空間中的共線向量 （或平行向量）（或平

3、行向量）,/)2(ba若,/ab則（3 3）非零共線向量的傳遞性：）非零共線向量的傳遞性：,/,/, 0cbbab 若,/ca則（1 1）零向量與任一向量共線，）零向量與任一向量共線，,/0a即5青苗C學班?a,a,?a,b,:bbbaba 有什么位置關(guān)系時有什么位置關(guān)系時與與反過來反過來有什么位置關(guān)系有什么位置關(guān)系與與如果如果與與對空間任意兩個向量對空間任意兩個向量探究探究ba2ba3b6青苗C學班（4 4）空間共線向量定理：）空間共線向量定理：對空間任意兩個向量對空間任意兩個向量),0(,bba )0(/bba有且只有一個實數(shù)有且只有一個實數(shù) ，使使ba思考思考1 1：為什么要強調(diào)：為什么

4、要強調(diào)?0b思考思考2 2：這個定理有什么作用？：這個定理有什么作用？1 1、判定兩個向量是否共線、判定兩個向量是否共線2 2、判定三點是否共線、判定三點是否共線7青苗C學班OABPa若若P P為為A,BA,B中點中點, , 則則12 OPOAOB向量參數(shù)表示式向量參數(shù)表示式推論推論: :如果如果 為經(jīng)過已知點為經(jīng)過已知點A A且平行已知非零且平行已知非零向量向量 的直線的直線, ,那么對任一點那么對任一點O,O,點點P P在直線在直線 上上的充要條件是存在實數(shù)的充要條件是存在實數(shù)t,t,滿足等式滿足等式 其中向量其中向量 叫做直線叫做直線 的方向向量的方向向量. .laalOPOAta l若

5、若 則則A、B、P三點共線。三點共線。OPOAtAB ()APtAB 或(1)OPxOAyOB xy 若，則A、B、P三點共線。8青苗C學班A A、B B、P P三點共線三點共線ABtOAOPABtAP ) 1(APyxOByOxO32結(jié)論結(jié)論1:1:9青苗C學班三、共面向量三、共面向量: :1.1.平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做叫做共面向量共面向量. .注意：注意：空間任意兩個向量是共面的空間任意兩個向量是共面的，但空間，但空間任意三個向量任意三個向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac10青苗C學班由由平面向量基本定理平面向量基本定理知，如果知，如果

6、 ， 是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 ，有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù) ， 使使 如果空間向量如果空間向量 與兩不共線向量與兩不共線向量 ， 共面，那么共面，那么可將三個向量平移到同一平面可將三個向量平移到同一平面 ，則有，則有 byxpapb那么什么情況下三個向量共面呢？那么什么情況下三個向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e11青苗C學班反過來，對空間任意兩個不共線的向量反過來，對空間任意兩個不共線的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 與向量與向量 , , 有什么有什么位置關(guān)系？位置關(guān)

7、系？abbyxpab共線，分別與 bbya, a x確定的平面內(nèi)，都在 bbya, ax確定的平面內(nèi)，并且此平行四邊形在 ba共面，與即確定的平面內(nèi)，在bbbyap,aaxpabABPp Cpxby12青苗C學班2.2.共面向量定理：共面向量定理：如果兩個向量如果兩個向量 ， 不共線不共線，byxpabpab 則向量則向量 與向量與向量 ， 共面的充要共面的充要條件是條件是存在實數(shù)對存在實數(shù)對x, ,y使使abABPp 推論推論:空間一點空間一點P P位于平面位于平面ABCABC內(nèi)的充要條件是存在內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對x,yx,y使使ACyABxAPC13青苗C學班OOCOBO

8、AOP(_)(_)(_)abABPp 對空間任一點對空間任一點O,O,有有填空：填空：1-x-yxyACyABxOAOPC C 式稱為空間平面式稱為空間平面ABCABC的向量表示式，空間中任意的向量表示式，空間中任意平面由空平面由空 間一點及兩個不共線的向量唯一確定間一點及兩個不共線的向量唯一確定. .由此可判斷空間任意四點共面由此可判斷空間任意四點共面14青苗C學班共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果兩個向量如果兩個向量 a a，b b 不共線不共線, , 向量向量c c與向量與向量a a，b b共面共面存在唯一的一對實數(shù)存在唯一的一對實數(shù)x x，y y，使，使 c cx xa ay

9、yb b c cx xa ay yb b向量向量c c與向量與向量a a，b b共面共面( (性質(zhì)性質(zhì)) )( (判定判定) )P P、A A、B B、C C 四點共面四點共面ACyABxAP共面ACABAP,) 1(APzyxOCzOByOxO結(jié)論結(jié)論2:2:15青苗C學班解析：由共面向量定理知，要證明解析：由共面向量定理知，要證明P P、A A、B B、C C四點共面，只四點共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對（要證明存在有序?qū)崝?shù)對（x,yx,y）使得）使得ACyABxAP四點共面。從而共面且有公共點，不共線，所以，又所以所以即共面，因為PCBAAAPACABACABACABAPAPACABAPO

10、AOCOAOBOAOPOAOCOB,3131,33)()(332) 1 (OAOPOCOB3)1(例例1.1.已知已知A A、B B、C C三點不共線，對于平面三點不共線，對于平面ABCABC外的任外的任一點一點O O，確定在下列各條件下，點，確定在下列各條件下，點P P是否與是否與A A、B B、C C一一定共面？定共面？OCOBOAOP 4)2(16青苗C學班15217青苗C學班練習練習3.下列說法正確的是：下列說法正確的是： (A)平面內(nèi)的任意兩個向量都共線平面內(nèi)的任意兩個向量都共線(B)空間的任意三個向量都不共面空間的任意三個向量都不共面(C)空間的任意兩個向量都共面空間的任意兩個向量

11、都共面(D)空間的任意三個向量都共面空間的任意三個向量都共面18青苗C學班例例2(課本例課本例)如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD,從平從平面面AC外一點外一點O引向量引向量 , , , ,求證：求證：四點四點E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 19青苗C學班例例2 (課本例課本例)已知已知 ABCD ，從平面，從平面AC外一點外一點O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：四點求證：四點E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH證明：證明：四邊形四邊形ABC

12、D為為 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 20青苗C學班例例2 (課本例課本例)已知已知 ABCD ，從平面，從平面AC外一點外一點O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD求證：四點求證：四點E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。證明：證明：由面面平行判定定理的推論得：由面面平行判定定理的推論得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由知由知EGkAC /EGAC/EFAB/EGA

13、C面面面面ABCDOEFGH21青苗C學班AMCGDB1（ a+ b)- c2)1（ a+ b+ c3例例3:3:如圖如圖, ,已知空間四邊形已知空間四邊形ABCDABCD中，中，向量向量若若M M為為BCBC的中點，的中點，G G為為BCDBCD的重心，試用的重心，試用 表示下列向表示下列向量：量：,cADbACaAB c c, ,b b, ,a aDM)1(AG)2(22青苗C學班例例4 4平行六面體中平行六面體中, ,點點MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設(shè)設(shè)AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .分析分析:

14、 :要用要用a, ,b, ,c表示表示MN, ,只要結(jié)合圖形只要結(jié)合圖形, ,充充分運用空間向量加法分運用空間向量加法和數(shù)乘的運算律即可和數(shù)乘的運算律即可. .ABCDA1B1D1C1MN23青苗C學班解解: :連連AN, ,則則MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA= AC =AC = ( (a+ +b) )1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND= = （2 2 b + + c ) )13= = （ a + + b + + c ) )13MN= MA+ANMN= MA+AN例例4 4平行六面體中平行六面體中, ,點點MC=2=2AM, ,A1 1N=2=2ND, ,設(shè)設(shè)AB= =a, ,AD= =b, ,AA1 1= =c, ,試用試用a, ,b, ,c表示表示MN. .ABCDA1B1D1C1MN24青苗C學班