圓的基本性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、第三章 圓的基本性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)及典型例題知識(shí)框圖三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等圓心角定理及逆定理都是根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)不變性推出來的求不規(guī)則陰影部分的面積圓的相關(guān)證明求圓心角、圓周角、弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及表面積求半徑、弦長(zhǎng)、弦心距圓的中心對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性圓心角定理及逆定理圓的軸對(duì)稱性垂徑定理及其2個(gè)逆定理點(diǎn)和圓的位置關(guān)系不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓弧可分為劣弧、半圓、優(yōu)弧在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫等弧圓概 念圓、圓心、半徑、直徑弧、弦、弦心距、等弧圓心角、圓周角三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形圓的基本性質(zhì)圓周角定理及2個(gè)推論圓的相關(guān)計(jì)算證明多邊形的形狀；證明

2、兩線垂直證明弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明線段長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系；證明角度之間的數(shù)量關(guān)系1、過一點(diǎn)可作 個(gè)圓。過兩點(diǎn)可作 個(gè)圓，以這兩點(diǎn)之間的線段的 上任意一點(diǎn)為圓心即可。過三點(diǎn)可作 個(gè)圓。過四點(diǎn)可作 個(gè)圓。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分 垂徑定理的逆定理1：平分弦（ ）的直徑垂直于弦，并且平分 垂徑定理的逆定理2：平分弧的直徑 3、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的 ，所對(duì)的 圓心角定理的逆定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么 都相等。注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”時(shí)，這里的“弧相等”是指對(duì)應(yīng)的劣

3、弧與劣弧相等，優(yōu)弧與優(yōu)弧相等。在題目中，若讓你求，那么所求的是弧長(zhǎng)4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的 圓周角定理推論1：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是 ；90的圓周角所對(duì)的弦是 圓周角定理推論2：在同圓或等圓中， 所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì) 的也相等5、拓展一下：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角之和為 6、弧長(zhǎng)公式：在半徑為R的圓中，n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為= 7、扇形面積公式1：半徑為R，圓心角為n的扇形面積為 。這里面涉及3個(gè)變量： ，已知其中任意兩個(gè)，都可以求出第3個(gè)變量。我們中需要記住一個(gè)公式即可。扇形面積公式2：半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形面積為 8、沿圓錐的母線把圓錐剪開并展

4、平，可得圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè) ，圓錐的側(cè)面積等于這個(gè)扇形的面積，其半徑等于圓錐的 ，弧長(zhǎng)等于圓錐的 9、圓錐的側(cè)面積： ；圓錐的全面積： 10、圓錐的母線長(zhǎng)，高h(yuǎn)，底面圓半徑r滿足關(guān)系式 11、已知圓錐的底面圓半徑r和母線長(zhǎng)，那么圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為 12、圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角x的取值范圍為 考點(diǎn)一、與圓相關(guān)的命題的說法正確的個(gè)數(shù)，絕大多數(shù)是選擇題，也有少部分是填空題（填序號(hào)）考點(diǎn)二、求旋轉(zhuǎn)圖形中某一點(diǎn)移動(dòng)的距離，這就要利用弧長(zhǎng)公式考點(diǎn)三、求半徑、弦長(zhǎng)、弦心距，這就要利用勾股定理和垂徑定理及逆定理考點(diǎn)四、求圓心角、圓周角考點(diǎn)五、求陰影部分的面積考點(diǎn)六、證明線段、角度、弧度之間的數(shù)量

5、關(guān)系；證明多邊形的具體形狀考點(diǎn)七、利用不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓的作圖題考點(diǎn)八、方案設(shè)計(jì)題，求最大扇形面積考點(diǎn)九、將圓錐展開，求最近距離練習(xí)一、選擇題1、下列命題中： 任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓；圓的兩條平行弦所夾的弧相等； 任意一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)外接圓； 平分弦的直徑垂直于弦； 直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，半徑不是弦。正確的個(gè)數(shù)是（ ）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)2、如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿 的路徑運(yùn)動(dòng)一周設(shè)為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則下列圖形能大致地刻畫與之間關(guān)系的是（ ）PAOBstOsOtOstOstABCD3、如圖所示，在ABC中，BAC=30，AC=2a，BC=b，以A

6、B所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體的全面積是（ ）A. 2a B. ab C. 3a2+ab D. a（2a+b）4、如圖，有一圓心角為120，半徑長(zhǎng)為6cm的扇形，若將OA、OB重合后圍成一圓錐側(cè)面，那么圓錐的高是（ ）第4題第3題A. 4cm B. C. D. 5、如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD中，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于E點(diǎn)。取BC的中點(diǎn)為F，過F作一直線與AB平行，且交于G點(diǎn)。求AGF=（ ）第5題第7題第6題第8題 (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 。6、如圖，AB是O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點(diǎn)C，則圖中與BCE相等的角

7、有（ ）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)7、如圖，弧BD是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周， P為弧BD上任意一點(diǎn)，若AC=5，則四邊形ACBP周長(zhǎng)的最大值是（ ） A 15 B 20 C15+ D15+8、如圖，已知O的半徑為5，點(diǎn)到弦的距離為3，則O上到弦所在直線的距離為2的點(diǎn)有（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)9、如圖，C為O直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交O于D、E兩點(diǎn)，且ACD=45，DFAB于點(diǎn)F,EGAB于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AF=，DE=，下列中圖象中，能表示與的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是 A B C D10、如圖5，AB是O的直徑，且AB=10，弦MN的

8、長(zhǎng)為8，若弦MN的兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與AB相交，記點(diǎn)A、B到MN的距離分別為h1，h2，則|h1h2| 等于（ ）A、5 B、6 C、7 D、8AHBOC11、如上圖，RtABC中，ACB=90，CAB=30，BC=2，O、H分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到A1B1C1的位置，則整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（ ）ABCD12、（2013年溫州中考題）在ABC中，C為銳角，分別以AB，AC為直徑作半圓，過點(diǎn)B，A，C作，如圖所示，若AB=4，AC=2，則的值是（ ）A. B. C. D. 二、填空題1、如圖，O是等腰三角形的外接圓，為O

9、的直徑，連結(jié)，則 ， 第1題第2題第3題第4題2、如圖，為O的直徑，點(diǎn)在O上，則 3、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，ODAC于點(diǎn)D，連結(jié)BD、BC。 AB=5，AC=4，則BD= 4、如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，E為上一點(diǎn)，若CEA=，則ABD=. 5、在半徑為5cm的圓中，兩條平行弦的長(zhǎng)度分別為6cm和8cm，則這兩條弦之間的距離為 6、在半徑為1的O中，弦AB、AC分別是和，則BAC的度數(shù)為_7、如圖，扇形OAB是圓錐的側(cè)面展開圖，若小正方形方格的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 第7題第8題第9題8、如圖所示是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈燈罩的示意圖，那么圍成這個(gè)燈罩的鐵皮

10、的面積為 ABCDEO12第12題圖9、如圖是一個(gè)用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長(zhǎng)為10cm，母線OE（OF）長(zhǎng)為10cm在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)?，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離 cm10、如圖，是的直徑，弦若，則 第11題OBACD（第10題）11、如圖, AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，BAC=30，點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng).設(shè)ACP=x，則x的取值范圍是 12、如圖，是的直徑，是上的點(diǎn)，則 13、以半圓O的一條弦BC（非直徑）為對(duì)稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點(diǎn)D。若AD=4，DB=6，那么AC的長(zhǎng)為 14、如圖，

11、菱形ABCD中，AB=2，C=60，菱形ABCD在直線l上向右作無滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)為 第13題第14題第15題15、當(dāng)汽車在雨天行駛時(shí)，為了看清楚道路，司機(jī)要啟動(dòng)前方擋風(fēng)玻璃上的雨刷器。如圖是某汽車的一個(gè)雨刷器的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)），當(dāng)桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)90時(shí)，雨刷CD掃過的面積是多少呢？小明仔細(xì)觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，量得CD=80cm、DBA=20，端點(diǎn)C、D與點(diǎn)A的距離分別為115cm、35cm他經(jīng)過認(rèn)真思考只選用了其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)就求得了結(jié)果。也請(qǐng)你算一算雨刷CD掃過的面積為

12、cm2（取3.14）三、解答題1、如圖所示，AB是O的一條弦，ODAB，垂足為C，交O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在O上。（1）若AOD=52，求DEB的度數(shù)；（2）若OA=5，OC=3，求AB的長(zhǎng)2、如圖，在一個(gè)橫截面為RtABC的物體中，ACB=90，CAB=30，BC=1米工人師傅先將AB邊放在地面（直線l）上。（1）請(qǐng)直接寫出AB，AC的長(zhǎng)；（2）工人師傅要把此物體搬到墻邊（如圖），先按順時(shí)針方向繞點(diǎn)B翻轉(zhuǎn)到A1BC1位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到A2B2C2的位置，其平移的距離為線段AC的長(zhǎng)度（此時(shí)A2C2恰好靠在墻邊），畫出在搬動(dòng)此物的整個(gè)過程A點(diǎn)所經(jīng)過的路徑，并求出該路徑的長(zhǎng)度。

13、（3）若沒有墻，像（2）那樣翻轉(zhuǎn)，將ABC按順時(shí)針方向繞點(diǎn)B翻轉(zhuǎn)到A1BC1位置為第一次翻轉(zhuǎn)，又將A1BC1按順時(shí)針方向繞點(diǎn)C1翻轉(zhuǎn)到A2B1C1（A2C1在l上）為第二次翻轉(zhuǎn)，求兩次翻轉(zhuǎn)此物的整個(gè)過程點(diǎn)A經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度3、如圖，要把破殘的圓片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)A、B、C。（1）用尺規(guī)作圖法，找出弧ABC所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）設(shè)ABC是等腰三角形，底邊BC=8，AB=5，求圓片的半徑R4、如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，ACBC，D為O中上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使CECD. （1）求證：AEBD （2）若ACBC，求證：AD+BD=CD5、已知一個(gè)圓錐的高h(yuǎn)=3，

14、側(cè)面展開圖是半圓，求：（1）圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑之比；（2）錐角的大?。ㄥF角為過圓錐高的平面上兩母線的夾角）；（3）圓錐的全面積6、如圖，AB為O的直徑，CD為弦，且CDAB，垂足為H（1）如果O的半徑為4，CD=4，求AC的長(zhǎng)（2）若點(diǎn)E為為的中點(diǎn)，連接OE、CE，求證：CE平分OCD（3）在（1）的條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有多少個(gè)？并說明理由。7、如下圖所示，點(diǎn)P在O外，過點(diǎn)P作兩射線，分別與O相交于點(diǎn)A、B、C、D，猜想的度數(shù)、的度數(shù)與P之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明。、當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，猜想的度數(shù)、的度數(shù)與APC之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明。圖（1）圖（2） 文字?jǐn)⑹觯喉旤c(diǎn)在圓

15、外的角(兩邊與圓相交)的度數(shù)等于其所截兩弧度數(shù)差的一半；頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角(兩邊與圓相交)的度數(shù)等于其對(duì)頂角所截弧度數(shù)和的一半。8、在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進(jìn)行折疊，并圍成圓錐形。（1）取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長(zhǎng)為6cm，開口圓的直徑為6cm。當(dāng)濾紙片重疊部分為三層，且每層為圓時(shí)，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁（忽略漏斗管口處），請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明；（2）假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長(zhǎng)為6cm，開口圓的直徑為7.2cm，現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗內(nèi)壁問重疊部分每層的面積為多少？1、如圖，AD是O的直徑(1)如圖，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則B1的度數(shù)是，B2的度數(shù)是；(2)如圖，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，分別求B1，B2，B3的度數(shù)；(3)如圖，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C