在職研究生考試數(shù)學(xué)測試練習(xí)題

1、在職研究生考試數(shù)學(xué)測試練習(xí)題微積分（1）設(shè)是微分方程的滿足，的解，則（）（A）等于0.（B）等于1.（C）等于2.（D）不存在.解，將代入方程，得，又，故，所以，選擇B.（2）設(shè)在全平面上有，則保證不等式成立的條件是（）（A），.（B），.（C），.（D），.解關(guān)于單調(diào)減少，關(guān)于單調(diào)增加，當(dāng)，時(shí)，選擇A.（3）設(shè)在存在二階導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)有，則當(dāng)時(shí)有（）（A）. （B）.（C）. （D）.解【利用數(shù)形結(jié)合】為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖形為遞減的凹曲線，當(dāng)時(shí)，的圖形為遞減的凸曲線，選擇D.（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得（）（A）在內(nèi)單調(diào)增加（B）在內(nèi)單調(diào)減少（C）對任意的，有（D）對任意的，有解【利用

2、導(dǎo)數(shù)的定義和極限的保號性】，由極限的的保號性，在此鄰域內(nèi)，所以對任意的，有，選擇D.(5) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x ¹ 0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存

3、在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界.（6）設(shè)f (x)在(-¥ , +¥)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因?yàn)? a(令)，又g(0) = 0，所以，當(dāng)a = 0時(shí)，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a ¹ 0時(shí)，即x = 0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)

4、性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性.(7) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (

5、x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號，判斷拐點(diǎn)情況.【詳解】設(shè)0 <d< 1，當(dāng)x Î (-d , 0) È (0 , d)時(shí)，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點(diǎn).顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點(diǎn). 當(dāng)x Î (-d , 0)時(shí)，f (x) = -x(1 - x)，當(dāng)x Î (0 , d)時(shí)，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).故選(C).【評注】對于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷.(8

6、) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明4個(gè)命題的正確性.【詳解】(1)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因?yàn)楦淖?、增加或減少級數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因?yàn)橛煽傻玫讲悔呄蛴诹?n ®¥)，所以發(fā)散.(4)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).【評注】本題主要考查級數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法

7、，屬于基本題型.(9) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)，使得> f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)，使得> f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；另外，由極限的保號性，至少存在一點(diǎn)使得，即. 同理，至少存在一點(diǎn)使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評注】本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度.（10）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，

8、且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對應(yīng)的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，故應(yīng)選(). （11）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 C 【分析】從入手計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定的存在性.【詳解】由知，.又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則.令，則.所以存在，故本題選（C）.（12）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. 【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】由收斂知

9、收斂，所以級數(shù)收斂，故應(yīng)選().或利用排除法：取，則可排除選項(xiàng)（），（）；取，則可排除選項(xiàng)（）.故（）項(xiàng)正確.（13）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個(gè)不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）. （）. （）. （） 【分析】利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】由于是對應(yīng)齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解為，故應(yīng)選().【評注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：.其中是所給一階線性微分方程的特解，是對應(yīng)齊次微分方程的通解.（14）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則.

10、(D) 若，則. 【分析】利用拉格朗日函數(shù)在（是對應(yīng)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】作拉格朗日函數(shù)，并記對應(yīng)的參數(shù)的值為，則，即 .消去，得,整理得.（因?yàn)椋?，則.故選（）.線性代數(shù)（1）二次型的規(guī)范型是（）.（A）.（B）.（C）.（D）.解二次型的規(guī)范型由它的正負(fù)慣性指數(shù)確定，二次型的矩陣，其特征多項(xiàng)式，故的特征值為，正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)，選擇D.（2）設(shè)，是三階非零矩陣，且，則（）.（A）當(dāng)時(shí)，.（B）當(dāng)時(shí)，.（C）當(dāng)時(shí)，.（D）當(dāng)時(shí)，.解，.當(dāng)時(shí)，排除A，C，當(dāng)時(shí)，矛盾，排除D，選擇B.(3) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí)

11、, . (D) 當(dāng)時(shí), . D 【分析】利用矩陣與等價(jià)的充要條件: 立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 又與等價(jià), 故, 即, 故選(D). 【評注】本題是對矩陣等價(jià)、行列式的考查, 屬基本題型.(4) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量. B 【分析】要確定基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù), 實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】因?yàn)榛A(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從

12、而基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量, 即選(B).【評注】本題是對矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個(gè)知識點(diǎn)的綜合考查.（5）設(shè),，若矩陣相似于，則 .【答案】2.【解析】相似于，根據(jù)相似矩陣有相同的特征值，得到的特征值為3，0，0.而為矩陣的對角元素之和，.（6）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A)若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B)若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). A 【分析】本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.【詳解】記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選().（7

13、）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）. （）.（）. （）. 【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（）.概率論（1）設(shè)隨機(jī)變量與分別服從和，且與不相關(guān)，與也不相關(guān)，則（）.（A）.（B）.（C）.（D）.解與不相關(guān)，與不相關(guān)，選擇A.（2）設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，為樣本方差，則（）（A）.（B）.（C）.（D）.解，排除A，排除B，排除C，選擇D.(3)設(shè)，,為來自二項(xiàng)分布總體的簡單隨機(jī)樣本，和分別為樣本均值和樣本方差，記統(tǒng)計(jì)量，則 .【答案】【解析】由.（4）設(shè)隨機(jī)變

14、量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A)(B) (C) (D) A 【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設(shè)可得，則，即.其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).(5) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得.【詳解】由, 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得. 故正確答案為(C).【評注】本題是對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查.微積分（1）設(shè)，若與都存在，那么，.解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在，即，存在

15、，即，解得.(2) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因?yàn)?，且，所以，得a = 1.極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.(3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x - 1 = t，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x - 1 = t，.（4）.解由積分中值定理知，存在：，使得.（5）設(shè)由方程確定，且，則.解方程為，.（6）設(shè)的一個(gè)原函數(shù)，且，則.解，又，故，.（7）極限 .【分析】本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】=（8）微分方程滿足初始條件的特解為.【分析】直接積分即可.

16、【詳解】原方程可化為，積分得，代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2.（9）設(shè)二元函數(shù)，則 .【分析】基本題型，直接套用相應(yīng)的公式即可.【詳解】,于是.（10） .【答案】.【解析】.（11）設(shè)，則.【答案】.【解析】由，故代入得，.（12）冪級數(shù)的收斂半徑為.【答案】.【解析】由題意知，所以，該冪級數(shù)的收斂半徑為（13）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,其對應(yīng)價(jià)格的彈性，則當(dāng)需求量為10000件時(shí)，價(jià)格增加1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加元.【答案】8000.【解析】所求即為因?yàn)?，所以所以將代入? 線性代數(shù)（1）設(shè)矩陣，其中是維列向量，且，則.解，故，所以.（2）設(shè)行向量組，線性相關(guān)，且，則a=.【分析】四

17、個(gè)4維向量線性相關(guān)，必有其對應(yīng)行列式為零，由此即可確定a.【詳解】由題設(shè)，有, 得，但題設(shè)，故（3）設(shè)是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若【答案】【解析】（4）設(shè),，若矩陣相似于，則.【答案】2.【解析】相似于，根據(jù)相似矩陣有相同的特征值，得到的特征值為3，0，0.而為矩陣的對角元素之和，.(5) 二次型的秩為.【分析】二次型的秩即對應(yīng)的矩陣的秩, 亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù), 于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因?yàn)橛谑嵌涡偷木仃嚍?由初等變換得 ,從而, 即二次型的秩為2. 【詳解二】因?yàn)? 其中.所以二次型的秩為2.概率論（1）設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從_.解設(shè)正態(tài)總體，又，獨(dú)立，.（2）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X, 再從中任取一個(gè)數(shù)，記為Y, 則=.【分析】本題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式, 且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】=+ + =（3）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 的概率分布為 XY 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機(jī)