地球橢球與橢球計(jì)算理論

1、第六章 地球橢球與橢球計(jì)算理論本章提要：本章講述地球橢球與參考橢球的概念，進(jìn)而介紹橢球的基本幾何參數(shù)，基本坐標(biāo)系及其相互關(guān)系。同時(shí)，講述橢球面同地面之間的關(guān)系，如何將地面觀測元素（水平方向及斜距等）歸算至橢球面上。在對本章的學(xué)習(xí)中，要建立起空間的概念，只有建立了地球橢球的這些基本空間概念后，才能更好地學(xué)習(xí)控制測量的內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理等相關(guān)知識。§6.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關(guān)系6.1.1地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球：在控制測量中，用來代表地球的橢球，它是地球的數(shù)學(xué)模型。參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球。地面上一切觀測元素都應(yīng)歸算到參考

2、橢球面上，并在這個(gè)面上進(jìn)行計(jì)算。參考橢球面是大地測量計(jì)算的基準(zhǔn)面，同時(shí)又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。地球橢球的幾何定義：是橢球中心，為旋轉(zhuǎn)軸，為長半軸，為短半軸。子午圈：包含旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的橢圓。緯圈：垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的圓，也叫平行圈。赤道：通過橢球中心的平行圈。 地球橢球的五個(gè)基本幾何參數(shù)： 橢圓的長半軸橢圓的短半軸橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率 橢圓的第二偏心率 其中、稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度。偏心率和是子午橢圓的焦點(diǎn)離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映橢球體的扁平程度，偏心率愈大，橢球愈扁。兩個(gè)常用的輔助函數(shù)，W第一基本緯度函數(shù)，V

3、第二基本緯度函數(shù)： 我國建立1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球；建立1980年國家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975年國際橢球；而全球定位系統(tǒng)(GPS)應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。幾種常見的橢球體參數(shù)值克拉索夫斯基橢球體1975年國際橢球體WGS-84橢球體6 378 245.000 000 000 0（m）6 356 863.018 773 047 3（m）6 399 698.901 782 711 0（m）1298.30.006 693 421 622 9660.006 738 525 414 6836 378 140.000 000 000 0（m）6 356 755.288 15

4、7 528 7（m）6 399 596.651 988 010 5（m）1298.2570.006 694 384 999 5880.006 739 501 819 4736 378 137.000 000 000 0（m）6 356 752.314 2（m）6 399 593.625 8（m）1/298.257 223 5630.006 694 379 901 30.006 739 496 742 276.1.2 地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系其他元素之間的關(guān)系式如下： 式中，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)。§6.2 橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系6.2.1大地坐標(biāo)系點(diǎn)的子午面

5、NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角，叫做點(diǎn)的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°180°），向西為負(fù)，叫西經(jīng)（0o180°）。點(diǎn)的法線與赤道面的夾角，叫做點(diǎn)的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°90°）；向南為負(fù)，叫南緯(0°90°)。大地坐標(biāo)系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高H表示地面點(diǎn)位的。過地面點(diǎn)P的子午面與起始子午面間的夾角叫P點(diǎn)的大地經(jīng)度。由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°180°），向西為負(fù)，叫西經(jīng)（0°-180°）。過P點(diǎn)的橢球法線與赤

6、道面的夾角叫P點(diǎn)的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°90°），向南為負(fù)，叫南緯（0°-90°）。從地面點(diǎn)P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。大地坐標(biāo)坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置用,表示。如果點(diǎn)不在橢球面上，表示點(diǎn)的位置除,外，還要附加另一參數(shù)大地高，它同正常高及正高有如下關(guān)系 6.2.2空間直角坐標(biāo)系以橢球體中心為原點(diǎn)，起始子午面與赤道面交線為軸，在赤道面上與軸正交的方向?yàn)檩S，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系-，在該坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置用表示。地球空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地球質(zhì)心（地心坐標(biāo)系）或參考橢球中心（參心坐標(biāo)系），z軸指向地球北極，x軸指向

7、起始子午面與地球赤道的交點(diǎn)，y軸垂直于XOZ面并構(gòu)成右手坐標(biāo)系。6.2.3子午面直角坐標(biāo)系 設(shè)點(diǎn)的大地經(jīng)度為，在過點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置用,表示。6.2.4大地極坐標(biāo)系 為橢球體面上任意一點(diǎn)，為過點(diǎn)的子午線，為連結(jié)的大地線長，為大地線在點(diǎn)的方位角。以為極點(diǎn)，為極軸，為極半徑，為極角，這樣就構(gòu)成大地極坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置用,表示。 橢球面上點(diǎn)的極坐標(biāo)（,）與大地坐標(biāo)(,）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。 6.2.5各坐標(biāo)系間的關(guān)系 橢球面上的點(diǎn)位可在各種坐標(biāo)系中表示，由于所用坐標(biāo)系不同，表現(xiàn)出來的坐標(biāo)值也不同。 1.子午面

8、直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系 過點(diǎn)作法線，它與軸之夾角為，過點(diǎn)作子午圈的切線，它與軸的夾角為（90°+）。子午面直角坐標(biāo)同大地緯度的關(guān)系式如下： 2.空間直角坐標(biāo)系同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系空間直角坐標(biāo)系中的相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的，前者的相當(dāng)于后者的，并且二者的經(jīng)度相同。3.空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系同一地面點(diǎn)在地球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換。式中：e子午橢圓第一偏心率，可由長短半徑按式算得。N法線長度，可由式算得。§6.3 幾種主要的橢球公式 過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面

9、同橢球面交線叫法截線（或法截?。?。包含橢球面一點(diǎn)的法線，可作無數(shù)多個(gè)法截面，相應(yīng)有無數(shù)多個(gè)法截線。橢球面上的法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑，而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。6.3.1子午圈曲率半徑子午橢圓的一部分上取一微分弧長，相應(yīng)地有坐標(biāo)增量，點(diǎn)是微分弧的曲率中心，于是線段及便是子午圈曲率半徑。任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：子午圈曲率半徑公式為： 或 與緯度有關(guān)它隨的增大而增大，變化規(guī)律如下表所示：說 明在赤道上，小于赤道半徑此間隨緯度的增大而增大在極點(diǎn)上, 等于極點(diǎn)曲率半徑6.3.2卯酉圈曲率半徑過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該

10、點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在圖中即為過點(diǎn)的卯酉圈。卯酉圈的曲率半徑用表示。 為了推導(dǎo)的表達(dá)計(jì)算式，過點(diǎn)作以為中心的平行圈的切線，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故也是卯酉圈在點(diǎn)處的切線。即垂直于。所以是平行圈及卯酉圈在點(diǎn)處的公切線。 卯酉圈曲率半徑可用下列兩式表示：6.3.3 任意法截弧的曲率半徑子午法截弧是南北方向，其方位角為0°或180°。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90°或270°?，F(xiàn)在來討論方位角為的任意法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式。 任意方向的法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式如下： （

11、7-87） 6.3.4 平均曲率半徑 在實(shí)際際工程應(yīng)用中，根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)成具有適當(dāng)半徑的球面。取過地面某點(diǎn)的所有方向的平均值來作為這個(gè)球體的半徑是合適的。這個(gè)球面的半徑平均曲率半徑R：或 因此，橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑的幾何平均值。6.3.5 子午線弧長計(jì)算公式 子午橢圓的一半，它的端點(diǎn)與極點(diǎn)相重合；而赤道又把子午線分成對稱的兩部分。 如圖所示，取子午線上某微分弧，令點(diǎn)緯度為，點(diǎn)緯度為，點(diǎn)的子午圈曲率半徑為，于是有： 從赤道開始到任意緯度的平行圈之間的弧長可由下列積分求出： 式中M可用下式表達(dá)： 其中： 經(jīng)積分，進(jìn)行

12、整理后得子午線弧長計(jì)算式：為求子午線上兩個(gè)緯度及間的弧長，只需按上式分別算出相應(yīng)的及，而后取差：，該即為所求的弧長?？死鞣蛩够鶛E球子午線弧長計(jì)算公式：1975年國際橢球子午線弧長計(jì)算公式：6.3.6 底點(diǎn)緯度計(jì)算 在高斯投影反算時(shí)，已知高斯平面直角坐標(biāo)（X，Y）反求其大地坐標(biāo)（L，B）。首先X當(dāng)作中央子午線上弧長，反求其緯度，此時(shí)的緯度稱為底點(diǎn)緯度或垂直緯度。計(jì)算底點(diǎn)緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。（1）迭代法在克拉索夫斯基橢球上計(jì)算時(shí)，迭代開始時(shí)設(shè)以后每次迭代按下式計(jì)算：重復(fù)迭代直至為止。在1975年國際橢球上計(jì)算時(shí)，也有類似公式。（2）直接解法1975年國際橢球： 克拉索夫斯基橢球

13、：6.3.7 大地線 橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義：“大地線上每點(diǎn)的密切面（無限接近的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的曲面法線”，亦即“大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間曲面曲線。 假如在橢球模型表面,兩點(diǎn)之間，畫出相對法截線如圖所示，然后在,兩點(diǎn)上各插定一個(gè)大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細(xì)橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間沒有摩擦力，則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對法截線之間，這就是一條大地線。由于橡皮筋處于拉力之下，所以它實(shí)際上是兩點(diǎn)間的最短線。 在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)

14、以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。§6.4 將地面觀測值歸算至橢球面6.4.1 概述 參考橢球面是測量計(jì)算的基準(zhǔn)面。在野外的各種測量都是在地面上進(jìn)行，觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。因此不能直接在地面上處理觀測成果，而應(yīng)將地面觀測元素（包括方向和距離等）歸算至橢球面。在歸算中有兩條基本要求：（1）以橢球面的法線為基準(zhǔn)；（2）將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。6.4.2 將地面觀測的水平方向歸算至橢球面 1垂線偏差改正地面上所有水平方向的觀測都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球

15、面上則要求以該點(diǎn)的法線為依據(jù)。把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正定義為垂線偏差改正，以表示。 如圖所示，以測站為中心作出單位半徑的輔助球，是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以表示，是地面觀測目標(biāo)在球面上的投影。垂線偏差改正的計(jì)算公式是：式中：為測站點(diǎn)上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們可在測區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)插取得；為測站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；為照準(zhǔn)點(diǎn)的天頂距；為照準(zhǔn)點(diǎn)的垂直角。 垂線偏差改正的數(shù)值主要與測站點(diǎn)的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或垂直角）有關(guān)。 2.標(biāo)高差改正 標(biāo)高差改正又稱由照準(zhǔn)點(diǎn)高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平

16、行圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面的。當(dāng)進(jìn)行水平方向觀測時(shí)，如果照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面某一高度，則照準(zhǔn)面就不能通過照準(zhǔn)點(diǎn)的法線同橢球面的交點(diǎn)，由此引起的方向偏差的改正叫做標(biāo)高差改正，以表示。如圖所示，為測站點(diǎn)，如果測站點(diǎn)觀測值已加垂線偏差改正，則可認(rèn)為垂線同法線一致。這時(shí)測站點(diǎn)在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對水平方向是沒有影響的。這是因?yàn)闇y站點(diǎn)法線不變，則通過某一照準(zhǔn)點(diǎn)只能有一個(gè)法截面。 設(shè)照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程為和分別為點(diǎn)及點(diǎn)的法線，點(diǎn)法線與橢球面的交點(diǎn)為。因?yàn)橥ǔ：筒辉谕黄矫鎯?nèi)，所以在點(diǎn)照準(zhǔn)點(diǎn)得出的法截線是而不是，因而產(chǎn)生了同方向的差異。按歸算的要求，地面各點(diǎn)都應(yīng)沿自己法線方向投影到橢球面上，即需

17、要的是方向值而不是方向值，因此需加入標(biāo)高差改正數(shù)，以便將方向改到方向。 標(biāo)高差改正的計(jì)算公式是 式中：為照準(zhǔn)點(diǎn)大地緯度；為測站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；為照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程，它由三部分組成：其中為照準(zhǔn)點(diǎn)標(biāo)石中心的正常高，為高程異常，為照準(zhǔn)點(diǎn)的覘標(biāo)高。，是與照準(zhǔn)點(diǎn)緯度相應(yīng)的子午圈曲率半徑。標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點(diǎn)的高程有關(guān)。經(jīng)過此項(xiàng)改正后，便將地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)的法截弧方向。 3.截面差改正 在橢球面上，緯度不同的兩點(diǎn)由于其法線不共面，所以在對向觀測時(shí)相對法截弧不重合，應(yīng)當(dāng)用兩點(diǎn)間的大地線代替相對法截弧。這樣將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正，用表示。 如圖所示

18、，是至的法截弧，它在點(diǎn)處的大地方位角為，是間的大地線，它在點(diǎn)的大地方位角是，與之差就是截面差改正。截面差改正的計(jì)算公式為式中為間大地線長度，為測站點(diǎn)緯度相對應(yīng)的卯酉圈曲率半徑。現(xiàn)令在一般情況下，一等三角測量應(yīng)加三差改正，二等三角測量應(yīng)加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量可不加三差改正。但當(dāng)時(shí)或者>2 000m時(shí)，則應(yīng)分別考慮加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正。在特殊情況下，應(yīng)該根據(jù)測區(qū)的實(shí)際情況作具體分析，然后再做出加還是不加改正的規(guī)定。如下表所示：三差改正主要關(guān)系量是否要加改正一等二等三、四等垂線偏差加加酌情標(biāo)高差截面差不加6.4.3 電磁波測距邊長歸算橢球面電磁波

19、測距儀測得的長度是連接地面兩點(diǎn)間的直線斜距，也應(yīng)將它歸算到參考橢球面上。如圖，大地點(diǎn)和的大地高分別為和。其間用電磁波測距儀測得的斜距為，現(xiàn)要求大地點(diǎn)在橢球面上沿法線的投影點(diǎn)和間的大地線的長度。 在工程測量中邊長一般都是幾公里，最長也不過十幾公里，因此，所求的大地線的長度可以認(rèn)為是半徑相應(yīng)的圓弧長。電磁波測距邊長歸算橢球面上的計(jì)算公式為：式中。電磁波測距邊長歸算的幾何意義為：（1）計(jì)算公式中右端第二項(xiàng)是由于控制點(diǎn)之高差引起的傾斜改正的主項(xiàng)，經(jīng)過此項(xiàng)改正，測線已變成平距；（2）第三項(xiàng)是由平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)此項(xiàng)改正后，測線已變成弦線；（3）第四項(xiàng)則是由弦長改化為弧長的改正項(xiàng)。

20、電磁波測距邊長歸算至橢球面上的計(jì)算公式還可用下式表達(dá)： 顯然第一項(xiàng)即為經(jīng)高差改正后的平距。本章作業(yè)1野外測量的基準(zhǔn)面、基準(zhǔn)線各是什么？測量計(jì)算的基準(zhǔn)面、基準(zhǔn)線各是什么？為什么野外作業(yè)和內(nèi)業(yè)計(jì)算要采取不同的基準(zhǔn)面？ 2試寫出橢球的基本元素及其基本關(guān)系式。3我國解放后主要采用哪兩種參考橢球?其主要參數(shù)是什么? 4繪圖并說明表示橢球面上點(diǎn)位的三種常用坐標(biāo)系統(tǒng)。 5在報(bào)紙上經(jīng)常看到X X號輪船在東經(jīng)XXX度，北緯X X度遇險(xiǎn)一類的報(bào)導(dǎo)，試問這是指的什么坐標(biāo)系，為什么?6寫出參考橢球體的五個(gè)基本元素及相互間的關(guān)系。7參考橢球體扁率的變化，橢球體的形狀發(fā)生怎樣的變形？ 8簡要說明并圖示地面某一點(diǎn)的大地高、正常高以及大地水準(zhǔn)面差距的幾何意義。9什么是大地測量的基本坐標(biāo)系？有何優(yōu)點(diǎn)？10名詞解釋 （1）大地經(jīng)度； （2）大地緯度； （3）大地坐標(biāo)系； （4）南極、北極； （5）子午面； （6）予午線、主圈； （7）平行圈、赤道； （8）大地方位角； （9）大地水準(zhǔn)面； （10）大地體； （11）總地球橢球； （12）參考橢球。11用公式表示空間直角坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系之間的關(guān)系。 12大地坐標(biāo)系和天文坐標(biāo)系各以什么作基準(zhǔn)面和基準(zhǔn)線？13卯西圈曲率半徑N與子午圈曲率半徑M何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？14何謂橢球面上的相對法截線和大地線？試