圓錐曲線齊次式與點乘雙根法_第1頁
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1、第十講 圓錐曲線齊次式與點乘雙根法一、 圓錐曲線齊次式與斜率之積（和）為定值例1：為橢圓上兩個動點，且，過原點作直線的垂線，求的軌跡方程.解法一（常規(guī)方法）：設(shè)，,設(shè)直線方程為，聯(lián)立化簡可得:，所以因為所以又因為直線方程等價于為，即對比于，則代入中，化簡可得：.解法二（齊次式）：設(shè)直線方程為，聯(lián)立化簡可得:整理成關(guān)于的齊次式：，進(jìn)而兩邊同時除以，則因為所以，又因為直線方程等價于為，即對比于，則代入中，化簡可得：.例2：已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點的直線交于兩點，若直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點.解：以點為坐標(biāo)原點，建立新的直角坐標(biāo)系，如圖所示：舊坐標(biāo) 新坐標(biāo)即所以原來則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：設(shè)

2、直線方程為：原方程：則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：展開得：構(gòu)造齊次式：整理為：兩邊同時除以，則所以所以而對于任意都成立.則：，故對應(yīng)原坐標(biāo)為所以恒過定點.例3：已知橢圓，過其上一定點作傾斜角互補的兩條直線，分別交于橢圓于兩點，證明：直線斜率為定值.解：以點為坐標(biāo)原點，建立新的直角坐標(biāo)系，如圖所示：舊坐標(biāo) 新坐標(biāo)即所以原來則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：設(shè)直線方程為：原方程：則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：展開得：構(gòu)造齊次式：整理為：兩邊同時除以，則所以所以而.所以平移變換，斜率不變，所以直線斜率為定值.二、 點乘雙根法例4：設(shè)橢圓中心在原點，長軸在軸上，上頂點為，左右頂點分別為，線段中點分別為，且是面積為的直角三角形.（1）求其橢圓的方程（2）過作直線交橢圓于兩點，使，求直線的方程.解：（1）（2）易知：直線不與軸垂直，則設(shè)直線方程為：，因為，則，

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