向量知識(shí)框架

1、向量模塊框架高考要求向量要求層次重難點(diǎn)平面向量的相關(guān)概念B理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義理解向量的幾何表示向量加法與減法C 掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含 了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義向量的數(shù)乘C兩個(gè)向量共線B平面向量的基本定理A 了解平面向量的基本定理及其意義 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示B 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)

2、行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算C用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件C數(shù)量積C數(shù)量積的坐標(biāo)表示C 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角B用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系C用向量方法解決簡(jiǎn)單的問題B知識(shí)內(nèi)容向量的概念：在高中階段，我們把具有大小和方向的量稱為向量有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點(diǎn)例如，力就是既有大小和方向，又有作用點(diǎn)的向量有些量只有大小和方向，而無特定的位置例如，位移、速度等，通常把后一類向量叫做自由

3、向量高中階段學(xué)習(xí)的主要是自由向量，以后我們說到向量，如無特別說明，指的都是自由向量是可以任意平行移動(dòng)的向量不同于數(shù)量，數(shù)量之間可以進(jìn)行各種代數(shù)運(yùn)算，可以比較大小，兩個(gè)向量不能比較大小向量的表示：幾何表示法：用有向線段表示向量，有向線段的方向表示向量.的方向，線段的長(zhǎng)度表示向量的長(zhǎng)度字母表示法：，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后相等向量：同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量，或相等向量可根據(jù)右圖的正六邊形，或根據(jù)下題平行四邊形講解相等向量已知、分別是平行四邊形邊、的中點(diǎn)，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，分別寫圖中與，相等的向量解：向量共線或平行：通過有向線段的直線，叫做向量的基線如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共

4、線或平行向量平行于向量，記作說明：共線向量的方向相同或相反，注意：這里說向量平行，包含向量基線重合的情形，與兩條直線平行的概念有點(diǎn)不同事實(shí)上，在高等數(shù)學(xué)中，重合直線是平行直線的特殊情形 零向量：長(zhǎng)度等于零的向量，叫做零向量記作：零向量的方向不確定，零向量與任意向量平行用向量表示點(diǎn)的位置：任給一定點(diǎn)和向量，過點(diǎn)作有向線段，則點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)位置被向量所唯一確定，這時(shí)向量又常叫做點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)的位置向量1. 向量的加法：向量加法的三角形法則：已知向量，在平面上任取一點(diǎn)，作，再作向量，則向量叫做和的和（或和向量），記作，即向量求和的平行四邊形法則：已知兩個(gè)不共線的向量，作，則，三點(diǎn)不共線，以，為鄰邊作平行四邊

5、形，則對(duì)角線上的向量，這個(gè)法則叫做向量求和的平行四邊形法則向量的運(yùn)算性質(zhì)：向量加法的交換律：向量加法的結(jié)合律：關(guān)于：向量求和的多邊形法則：已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則2. 向量的減法：相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量，記作零向量的相反向量仍是零向量差向量定義：如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量推論：一個(gè)向量等于它的終點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)的位置向量減去它的始點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)的位置向量，或簡(jiǎn)記“終點(diǎn)向量減始點(diǎn)向量”一個(gè)向量減

6、去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量3. 數(shù)乘向量：定義：實(shí)數(shù)和向量的乘積是一個(gè)向量，記作，且的長(zhǎng) 判斷正誤：已知；（）；（）；（）（）4. 向量共線的條件平行向量基本定理：如果，則；反之，如果，且，則一定存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，使單位向量：給定一個(gè)非零向量，與同方向且長(zhǎng)度等于的向量，叫做向量的單位向量如果的單位向量記作，由數(shù)乘向量的定義可知或1平面向量基本定理：如果和是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使基底：我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記作叫做向量關(guān)于基底的分解式說明：定理中，是兩個(gè)不共線向量；是平面內(nèi)的任一向量，且實(shí)數(shù)對(duì)，是

7、惟一的；平面的任意兩個(gè)不共線向量都可作為一組基底 平面向量基本定理的證明：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，由于與不平行，可以進(jìn)行如下作圖：過點(diǎn)作的平行（或重合）直線，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行（或重合）直線，交直線于點(diǎn)，于是依據(jù)平行向量基本定理，存在兩個(gè)唯一的實(shí)數(shù)和分別有，所以證明表示的唯一性：如果存在另對(duì)實(shí)數(shù)，使，則，即，由于與不平行，如果與中有一個(gè)不等于，不妨設(shè)，則，由平行向量基本定理，得與平行，這與假設(shè)矛盾，因此，即，證明，三點(diǎn)共線或點(diǎn)在線上的方法：已知、是直線上的任意兩點(diǎn)，是外一點(diǎn)，則對(duì)直線上任意一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于基底的分解式為，并且滿足式的點(diǎn)一定在上證明：設(shè)點(diǎn)在直線上，則由平行向量定理知，存

8、在實(shí)數(shù)，使，設(shè)點(diǎn)滿足等式，則，即在上其中式可稱為直線的向量參數(shù)方程式，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，這是向量的中點(diǎn)的向量表達(dá)式可推廣到中，若為邊中點(diǎn)，則有存在2向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：向量的直角坐標(biāo)：如果基底的兩個(gè)基向量，互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底在正交基底下分解向量，叫做正交分解向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的位置被點(diǎn)的位置向量所唯一確定設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由平面向量基本定理，有，即點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)，也就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反之，點(diǎn)的坐標(biāo)也是點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo) 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸和軸方向相同的兩個(gè)單位向量，這時(shí)，我們就在坐標(biāo)平面內(nèi)建立了一個(gè)正交基底，這個(gè)基底也叫做直

9、角坐標(biāo)系的基底對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由，唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則；說明：兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差；數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積 若，則向量；一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)3用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件：設(shè)，則就是兩個(gè)向量平行的條件若向量不平行于坐標(biāo)軸，即，則兩個(gè)向量平行的條件是，相應(yīng)坐標(biāo)成比例 根據(jù)力與功的計(jì)算，引入向量的數(shù)量積運(yùn)算一個(gè)力作用于一個(gè)物體，使

10、該物體位移，由于圖示的力的方向與位移方向有一個(gè)夾角，真正使物體前進(jìn)的力是在物體唯一方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移距離的乘積才是力做的功即力使物體惟一所做的功可以用計(jì)算1. 向量數(shù)量積的物理背景與定義兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，作，則稱作向量和向量的夾角，記作，并規(guī)定，在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向量的夾角被唯一確定了，并且有當(dāng)時(shí)，我們說向量和向量互相垂直，記作向量的數(shù)量積（內(nèi)積）定義叫做向量和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即 可通過下題，講解向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用 已知，求， 已知，求解：， 若兩個(gè)向量是首尾相接，需要注意向量所成的角：已知正的邊長(zhǎng)為，設(shè)，求如圖，與、與、與夾角為，原式向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)是單位向量，則；，且；，即； 可通過以下判斷題，檢驗(yàn)學(xué)生關(guān)于向量垂直條件的掌握情況對(duì)任意向量，有（）若，則對(duì)任一非零向量，有；（）若，則；（）若，則至少有一個(gè)為零向量；（）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（）2向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：；分配律： 根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律，可得到以下公式：完全平方公式：；平方差公式：3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算：建立正