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![圓的旋轉(zhuǎn)問題一_第3頁](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2022-3/4/a87c6f8d-d295-4ddd-b137-f7d4b3d3545c/a87c6f8d-d295-4ddd-b137-f7d4b3d3545c3.gif)
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文檔簡介
1、圓的旋轉(zhuǎn)問題(一)1、一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正方形的邊長,將此圓繞著正方形外周滾動(dòng)一周時(shí),圓轉(zhuǎn)了幾周?解題思路:圓在多邊形外邊的轉(zhuǎn)動(dòng)不同于圓在一條直線上的轉(zhuǎn)動(dòng),計(jì)算其旋轉(zhuǎn)的周數(shù)時(shí)還要考慮圓從一條邊轉(zhuǎn)到另一條邊自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。解:圓在正方形外周滾動(dòng)的狀態(tài)可以下圖來表示 圖1 圖2 圖3根據(jù)“一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正方形的邊長”可知,圓A從圖1滾動(dòng)到圖2的位置上,完成了在正方形的一條邊的滾動(dòng),圓旋轉(zhuǎn)了一周,要完成4條邊的滾動(dòng)則要旋轉(zhuǎn)4周。從圖2滾動(dòng)到圖3的位置上時(shí),圓自身旋轉(zhuǎn)了90度角??紤]到正方形有4個(gè)角,所以圓共需自轉(zhuǎn)90×4360(度),即自轉(zhuǎn)一周。所以:此圓繞著正方形外周滾動(dòng)一周時(shí),
2、圓轉(zhuǎn)了415(周)。2、如果一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正三角形的邊長,將此圓繞著三角形外周滾動(dòng)一周,圓自轉(zhuǎn)了幾周?解題思路:圓繞著正三角形外周滾動(dòng)與圓繞正方形外周滾動(dòng)一周的相似,計(jì)算其旋轉(zhuǎn)的周數(shù)時(shí)還要考慮圓從一條邊轉(zhuǎn)動(dòng)到另一條邊自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。解:圓在三角形外周滾動(dòng)的狀態(tài)可以下圖來表示 圖1 圖2 圖3根據(jù)“一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正方形的邊長”可知,圓A從圖1滾動(dòng)到圖2的位置上,完成了在正三角形的一條邊的滾動(dòng),圓旋轉(zhuǎn)了一周,要完成3條邊的滾動(dòng)則要旋轉(zhuǎn)3周。從圖2滾動(dòng)到圖3的位置上時(shí),圓自身旋轉(zhuǎn)了18060120(度)??紤]到正三角形有3個(gè)角,所以圓共需自轉(zhuǎn)120×3360(度),即自轉(zhuǎn)一周。
3、所以:此圓繞著正三角形外周滾動(dòng)一周時(shí),圓轉(zhuǎn)了314(周)。綜合以上兩題,我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正方形或者正三角形的邊長時(shí),這個(gè)圓在這個(gè)正多邊形的外周滾動(dòng)一周,圓旋轉(zhuǎn)的周數(shù)都等于邊的條數(shù)加1。這個(gè)結(jié)論我們還可以應(yīng)用與解決圓在其它的正多邊形外周滾動(dòng)的問題,即一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正n邊形的邊長時(shí),這個(gè)圓在這個(gè)正多邊形的外周滾動(dòng)一周,圓旋轉(zhuǎn)的周數(shù)等于n1。3、甲、乙兩枚大小相同的硬幣,現(xiàn)將硬幣甲固定,讓硬幣乙沿硬幣甲的周圍滾動(dòng),當(dāng)硬幣乙滾動(dòng)一周,回到原來的位置,硬幣乙旋轉(zhuǎn)了幾圈?解題思路:此題如果不仔細(xì)分析的話很容易會(huì)將其同我們用滾動(dòng)法沿著直尺測量圓的周長等同起來,認(rèn)為乙也只是轉(zhuǎn)動(dòng)了一周。
4、此題中的滾動(dòng),不單包含了乙圍繞甲的轉(zhuǎn)動(dòng),也包含了乙自身的轉(zhuǎn)動(dòng)。我們可以通過以下兩種方法來得出答案。解:方法1 硬幣乙繞硬幣甲的周圍進(jìn)行滾動(dòng),包括了兩種運(yùn)動(dòng)形式。一方面硬幣乙沿著由硬幣甲的圓周所“拉直”的線段做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),因?yàn)閮蓚€(gè)硬幣大小相同,所以硬幣乙要旋轉(zhuǎn)1圈;另一方面這條“拉直”的線段又要圍成一個(gè)圓周,因而使得硬幣乙上的各點(diǎn)也要圍繞其中心旋轉(zhuǎn)1圈,所以硬幣乙一共要旋轉(zhuǎn)2圈。方法2、如圖1,假設(shè)硬幣甲、乙的圓心分別是O1、O2,把硬幣乙上的圓周分為4個(gè)等份,等分點(diǎn)依次是B1、B2、B3、B4。開始時(shí)硬幣乙上的B1點(diǎn)和硬幣甲相接觸,線段O1B1O2處于豎直位置。硬幣乙貼住硬幣甲滾動(dòng),如圖2,從B
5、1點(diǎn)滾動(dòng)到B2點(diǎn)。這時(shí)硬幣乙所滾動(dòng)過的弧長等于圓周長的四分之一,半徑O2B1和初始位置相比轉(zhuǎn)過了180°,即硬幣乙旋轉(zhuǎn)了圈。根據(jù)對(duì)稱性,可以得到硬幣乙繞硬幣甲旋轉(zhuǎn)一周,硬幣乙旋轉(zhuǎn)了×4=2(圈)。 圖1 圖24、一個(gè)圓在正五角形外側(cè)A處開始與正五角形的邊相切滾動(dòng),如果BC的長度等于圓周長,那么當(dāng)此圓滾回原出發(fā)點(diǎn)A處時(shí),它轉(zhuǎn)了幾圈?解題思路:本題要區(qū)分清楚圓在正五角形外側(cè)滾動(dòng)是,遇到不同的角時(shí)圓所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是不同的。當(dāng)圓處從點(diǎn)A所在的邊轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)B所在的邊上時(shí),圓不需要自轉(zhuǎn),且從點(diǎn)B到點(diǎn)C港號(hào)轉(zhuǎn)了1圈;當(dāng)通過C轉(zhuǎn)到另一條邊時(shí),圓必須要自傳144度后才能繼續(xù)滾動(dòng)。在正五角形中,像
6、C這樣的角共有5個(gè),所以圓共需自轉(zhuǎn)144×5720度。解:當(dāng)此圓滾回原出發(fā)點(diǎn)A處時(shí),它轉(zhuǎn)的圈數(shù)是1×10144×5÷36012圈。答:略。5、一個(gè)小圓在一個(gè)大圓內(nèi)不停地滾動(dòng),大圓的半徑是小圓的直徑。小圓滾動(dòng)一周回到原來的位置時(shí),小圓自己旋轉(zhuǎn)了幾周?解題思路:如下圖,圓和這條直線相切于A點(diǎn),這個(gè)圓從A點(diǎn)開始沿著直線滾動(dòng)一周后再和這條直線相切于A點(diǎn),這時(shí)圓心所經(jīng)過路徑長度為線段OO1的長度,圓周所滾過的路徑長度為線段AA的長度,這兩個(gè)長度是一樣的。因?yàn)椤皥A是到定點(diǎn)(圓心)的距離等于定長(半徑)的點(diǎn)的軌跡”,圓上的點(diǎn)前進(jìn)多少,圓心也會(huì)前進(jìn)多少。因此,不管圓怎樣滾動(dòng),圓心所經(jīng)過軌跡的長度一定會(huì)等于圓周所滾動(dòng)過的長度。圖解:設(shè)
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