北師大版本數(shù)學(xué)九下第一章（直角三角形的邊角關(guān)系）教案

1、第一章 直角三角形的邊角關(guān)系第1節(jié) 從梯子的傾斜程度談起本節(jié)內(nèi)容：正切的定義 坡度的定義及表示（難點） 正弦、余弦的定義 三角函數(shù)的定義（重點）1、正切的定義在確定，那么A的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個比叫做A的正切，記作tanA。即tanA=例1已知在RtABC中，C=90°，CDAB，AD=8，BD=4，求tanA的值。2、坡度的定義及表示（難點我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值關(guān)系是：注意：（1）坡度一般寫成1：m的形式（比例的前項為1，后項可以是小數(shù)）；（2）若坡角為a，坡度為，坡度越大，則a角越大，坡

2、面越陡。例2攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬BC為6m，壩高為3.2m，為了提高攔水壩的攔水能力，需要將水壩加高2m，并且保持壩頂寬度不變，迎水坡CD的坡度不變，但是背水坡的坡度由原來的i=1：2變成i=1：2.5（有關(guān)數(shù)據(jù)在圖上已標(biāo)明）。求加高后的壩底HD的寬為多少？3、正弦、余弦的定義在Rt中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA。即sinA=A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA。即cosA=例3在ABC中，C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通過計算你有什么發(fā)現(xiàn)？請加以證明。4、三角函數(shù)的定義（重點）銳角A的正弦

3、、余弦和正切都是A的三角函數(shù)。直角三角形中，除直角外，共5個元素，3條邊和2個角，它們之間存在如下關(guān)系：（1）三邊之間關(guān)系：；（2）銳角之間關(guān)系：A+B=90°；（3）邊角之間關(guān)系：sinA=，cosA=，tanA=。（其中A的對邊為a，B的對邊為b，C的對邊為c）除指教外只要知道其中2個元素（至少有1個是邊），就可以利用以上關(guān)系求另外3個元素。例4方方和圓圓分別將兩根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墻上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判斷誰的木棒更陡嗎？說明理由。本節(jié)作業(yè)：1、C=90°，點D在BC上，BD=6，AD=BC，cosADC=，求CD的長。2、P是

4、a的邊OA上一點，且P點的坐標(biāo)為（3，4），求sina、tana的值。3、在ABC中，D是AB的中點，DCAC，且tanBCD=，求tanA的值。4、在RtABC中，C=90°，tanA=，周長為30，求ABC的面積。5、在RtABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2，AC=3，則sinB的值是多少？第2節(jié) 30°，45°，60°角的三角函數(shù)值本節(jié)內(nèi)容：30°，45°，60°角的三角函數(shù)值（重點）1、30°，45°，60°角的三角函數(shù)值（重點）根據(jù)正弦、余弦和正切的定義，可以得到如下幾個常

5、用的特殊角的正弦、余弦和正切值。例1求下列各式的值。（1）；（2）。本節(jié)作業(yè)：1、 求下列各式的值。（1）；（2）。2、 已知a為銳角，且tana=5，求的值。3、 ABC表示光華中學(xué)的一塊三角形空地，為美化校園環(huán)境，準(zhǔn)備在空地內(nèi)種植草皮，已知某種草皮每平方米售價為a元，則購買這種草皮至少花費多少元？4、2的值等于_。5、計算。第3節(jié) 三角函數(shù)的有關(guān)計算本節(jié)內(nèi)容：利用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值（重點） 銳角三角函數(shù)計算的實際應(yīng)用（難點）1、利用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值（重點）計算三角函數(shù)的具體步驟大體分兩種情形：（1）先按三角函數(shù)鍵，再按數(shù)字鍵；（2）或先按數(shù)字鍵，再按三角函數(shù)鍵。利用計

6、算器還可以求角度的大小。例1利用計算器求下列銳角的三角函數(shù)值。（1）；（2）；（3）；（4）。2、銳角三角函數(shù)計算的實際應(yīng)用（難點）仰角：當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角。俯角：當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角成為俯角。例2小剛面對黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一個字看作點E，過點E的該矩形的高為BC，把小剛眼睛看做點A?，F(xiàn)測得BC=1.41米，視線AC恰與水平線平行,視線AB與AC的夾角為25°,視線AE與AC的夾角為20°，求AC與AE的長（精確到0.1米）。典型例題：例1用計算器求下列三角函數(shù)值。（精確到0.001）（

7、1）（2）（3）例2已知下列銳角的三角函數(shù)值，利用計算器求銳角。（精確到1）（1）（2）（3）例3某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，如圖。BC/AD，斜坡AB長22m，坡角BAD=68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對土坡進行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡。（1） 求改造前坡頂與地面的距離BE的長；（精確到0.1m）（2） 為確保安全，學(xué)校計劃改造時，保持坡腳A不動，坡頂B沿BC前進到F點處，問BF至少是多少？（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：）例4如圖，矩形ABCD是供一輛機動車停放的車位示意圖，請你參考圖中數(shù)據(jù)，計算車位所

8、占街道的寬度EF。（參考數(shù)據(jù)：結(jié)果精確到0.1m）例5要求的值，可構(gòu)造如圖所示直角三角形,作RtABC,使C=90°,兩直角邊AC=BC=，則ABC=45°,所以。你能否在此基礎(chǔ)上，求出的值？例6在學(xué)習(xí)實踐科學(xué)發(fā)展觀的活動中，某單位在如圖所示的辦公樓迎街的墻面上垂直掛了一長為30米的宣傳條幅AE，張明同學(xué)站在離辦公樓的地面C處測得條幅頂端A的仰角為50°，測得條幅底端E的仰角為30°。問張明同學(xué)是在離該單位辦公樓水平距離多遠的地方進行測量？（精確到整數(shù)米）例7某輪船自西向東航行，在A處測得某島C在其北偏東60°方向上，前進8千米到達B，測得該島

9、在輪船的北偏東30°方向上，問輪船繼續(xù)前進多少千米與小島的距離最近？第4節(jié) 船有觸礁的危險嗎本節(jié)內(nèi)容：方向角的定義 解直角三角形（重點） 解直角三角形的實際應(yīng)用（難點）1、方向角的定義方向角：方向角是以觀察點為中心（方向角的頂點），以正北或正南為始邊，旋轉(zhuǎn)到觀察目標(biāo)所形成的銳角，方向角也稱象限角。如圖，目標(biāo)方向線0A、0B、0C的方向角分別為北偏東15°、南偏東20°、北偏西60°。其中南偏東45°習(xí)慣上又叫東南方向，同樣北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角為南偏東45°，OG的方向角為南偏西45°，那么，G、

10、E可以說在O的哪個方向呢？由方向角的定義可知，G在O的西南方向，E在O的東南方向。例1某次臺風(fēng)襲擊了我國南部海域。如圖，臺風(fēng)來臨前，我們海上搜救中心A接到一越南籍漁船遇險的報警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援隊B立即前往施救。已知漁船所處位置C在A的南偏東34°方向，在B的南偏東63°方向，此時離臺風(fēng)來到C處還有12小時，如果救援船每小時行駛20海里，試問能否在臺風(fēng)來到之前趕到C處對其施救？（參考數(shù)據(jù)：）2、解直角三角形（重點）在直角三角形中，由已知一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫做解直角三角形。在RtABC中，C=90°，A、B、C所對的邊分別為

11、。（1） 三邊之間關(guān)系：（2） 銳角之間關(guān)系：A+B=90°（3） 邊角之間關(guān)系：（4） 面積公式： 在直角三角形中，除直角的五個量中，若已知其中的兩個量（其中至少有一條邊），就可以求出另外三個未知量，有如下四種類型：RtABC中，C=90°已知選擇的邊角關(guān)系斜邊和一直角邊由，求A；B=90°-A，兩直角邊由，求A；B=90°-A，斜邊和一銳角B=90°-A；一直角邊和一銳角B=90°-A；，注意：（1） 在解直角三角形中，正確選擇關(guān)系式是關(guān)鍵：若求邊：一般用未知邊比已知邊，求尋找已知角的某一個三角函數(shù)；若求角：一般用已知邊比已知邊，

12、去尋找未知角的某一個三角函數(shù)；求某些未知量的途徑往往不唯一。選擇關(guān)系式常遵循以下原則：一是盡量選可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式；二是設(shè)法選擇便于計算的關(guān)系式，若能用乘法計算就避免用除法計算。（2） 對于含有非基本量的直角三角形，比如有些條件中已知兩邊之和，中線、高線、角平分線長，角之間的關(guān)系，銳角三角函數(shù)值，周長、面積等等。對于這類問題，我們常用的解題方法是：將非基本量轉(zhuǎn)化為基本量，或由基本量間關(guān)系通過列方程（組），然后解方程（組），求出一個或兩個基本量，最終達到解直角三角形的目的。（3） 在非直角三角形的問題中，往往是通過作三角形的高，構(gòu)成直角三角形來解決，而作高時，常從非特殊角的頂點作高；對

13、于較復(fù)雜的圖形，往往通過“補形”或“分割”的方法，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，實現(xiàn)問題的有機轉(zhuǎn)化。例2某公園“六一”親新增設(shè)一臺滑梯，如圖?；莞叨華C=2m，滑梯著地點B與梯架之間的距離BC=4m。（1）求滑梯AB的長；（結(jié)果精確到0.1m）（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（ABC）不超過45°屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的實際應(yīng)用（難點）在解決實際問題時，解直角三角形有著廣泛的應(yīng)用，我們要學(xué)會將千變?nèi)f化的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，具體地說，要求我們善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中的元素（邊、角）之間的關(guān)系，這

14、樣就可運用解直角三角形的方法了。一般有以下幾個步驟：1.審題：認(rèn)真分析題意，根據(jù)題目中的已知條件，畫出它的平面圖，弄清已知和未知；2.明確題目中的一些名詞、術(shù)語的漢語，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進行計算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進行解決；4.確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計算。例3臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)千米范圍內(nèi)形成旋風(fēng)暴，有極強的破壞力。根據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風(fēng)中心，其中心的最大風(fēng)力為12級，每遠離臺風(fēng)中心20千

15、米，臺風(fēng)就會弱一級。臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市風(fēng)力達到或超過4級，則稱為受臺風(fēng)影響。（1） 該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由。（2） 若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時間有多長？典型例題：例1在ABC中，已知AB=1，AC=，ABC=45°，求BC的長。例2如圖，甲、乙兩只捕撈船同時從A港出海捕魚。甲船以每小時15千米的速度沿北偏西60°方向前進，乙船以每小時15千米的速度沿東北方向前進。甲船航行2小時到達C處，此時甲船發(fā)現(xiàn)魚具丟在了乙船上，于是甲船快速（勻速）沿北偏東75°的

16、方向追趕，結(jié)果兩船在B處相遇。（1） 甲船從C處追趕乙船用了多長時間？（2） 甲船追趕乙船的速度是每小時多少千米？例3某年入夏以來，松花江哈爾濱段水位不斷下降，一條船在松花江某段自西向東沿直線航行，在A處測得航標(biāo)C在北偏東60°防西哪個上。前進100m到達B處，又測得航標(biāo)C在北偏東45°方向上（如圖），在以航標(biāo)C為圓心，120m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，如果這條船繼續(xù)前進，是否有被淺灘阻礙的危險？（）第5節(jié) 測量物體的高度本節(jié)內(nèi)容：測量底部可以到達的物體的高度（重點） 測量底部不可以到達的物體的高度（難點）1、測量底部可以到達的物體的高度（重點）簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支

17、桿組成。如圖。使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：（1） 把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合,這時度盤的頂線PQ在水平位置。（2） 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M,記下此時鉛垂線所指的度數(shù)。此度數(shù)就是測點相對于被測點的仰角或俯角。說明：（1）所謂“底部可以到達“，就是在地面上可以無真納干礙地直接測得測點與被測物體的底部之間的距離。（2）測量步驟如圖（測量物體MN的高度）： 在測點A處安置測傾器，測得M的仰角MCE=；量出測點A到物體底部N的水平距離AN=；量出測傾器的高度AC=（即頂線PQ成水平位置時，它與地面的距離）。（3）物體MN的高度 = 。例1升國

18、旗時，沈杰同學(xué)站在離旗桿底部24m處行注目禮，當(dāng)國旗升到旗桿頂部時，測得該同學(xué)視線的仰角為30°，若雙眼離地面1.5m，則旗桿有多高？（結(jié)果精確到0.1m）2、測量底部不可以到達的物體的高度（難點）（1）所謂“底部不可以到達”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體底部之間的距離。（2）測量步驟（如圖。測量物體MN的高度）： 在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角MCE=；在測點A與物體之間的B處擬制測傾器（A、B與N在一條直線上，且A、B之間的距離可以直接測得），測得此時M的仰角MDE=；量出測傾器的高度AC=BD=，以及測點A、B之間的距離AB= 。（3）物體高度MN=ME+EN=米。提示：測量底部不可以到達的物體的高度，求解時常要解兩個直角三角形。 例2如圖，從山頂A處看到地面C點的俯角為60°，看到地面D點的俯角為45°，測得C