疊加定理戴維寧定理和諾頓定理

1、第四章 電路定理一、教學(xué)基本要求1、了解疊加定理的概念，適用條件，熟練應(yīng)用疊加定理分析電路。 2、掌握戴維寧定理和諾頓定理的概念和應(yīng)用條件，并能應(yīng)用定理分析求解具體電路。二、教學(xué)重點與難點1. 教學(xué)重點：疊加定理、戴維寧定理和諾頓定理。2教學(xué)難點：各電路定理應(yīng)用的條件、電路定理應(yīng)用中受控源的處理。三、本章與其它章節(jié)的聯(lián)系： 電路定理是電路理論的重要組成部分，本章介紹的疊加定理、戴維寧定理和諾頓定理適用于所有線性電路問題的分析，對于進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程起著重要作用，為求解電路提供了另一類分析方法。 四、學(xué)時安排 總學(xué)時：6教 學(xué) 內(nèi) 容學(xué) 時1疊加定理和替代定理22戴維寧定理、諾頓定理和最大功率傳

2、輸定理23特勒根定理、互易定理和習(xí)題2五、教學(xué)內(nèi)容§4.1 疊加定理 1.疊加定理的內(nèi)容 疊加定理表述為：在線性電路中，任一支路的電流(或電壓)都可以看成是電路中每一個獨立電源單獨作用于電路時，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。2.定理的證明圖 4.1圖4.1所示電路應(yīng)用結(jié)點法： 解得結(jié)點電位： 支路電流為： 以上各式表明：結(jié)點電壓和各支路電流均為各獨立電源的一次函數(shù)，均可看成各獨立電源單獨作用時，產(chǎn)生的響應(yīng)之疊加，即表示為： 式中a1,a2,a3 ，b1,b2,b3和c1,c2,c3 是與電路結(jié)構(gòu)和電路參數(shù)有關(guān)的系數(shù)。3.應(yīng)用疊加定理要注意的問題 1) 疊加定理只適用

3、于線性電路。這是因為線性電路中的電壓和電流都與激勵（獨立源）呈一次函數(shù)關(guān)系。 2) 當(dāng)一個獨立電源單獨作用時，其余獨立電源都等于零（理想電壓源短路，理想電流源開路）。如圖4.2所示。 =三個電源共同作用is1單獨作用+us2單獨作用us3單獨作用圖 4.23) 功率不能用疊加定理計算(因為功率為電壓和電流的乘積，不是獨立電源的一次函數(shù))。4) 應(yīng)用疊加定理求電壓和電流是代數(shù)量的疊加，要特別注意各代數(shù)量的符號。即注意在各電源單獨作用時計算的電壓、電流參考方向是否一致，一致時相加，反之相減。5) 含受控源(線性)的電路，在使用疊加定理時，受控源不要單獨作用，

4、而應(yīng)把受控源作為一般元件始終保留在電路中，這是因為受控電壓源的電壓和受控電流源的電流受電路的結(jié)構(gòu)和各元件的參數(shù)所約束。6) 疊加的方式是任意的，可以一次使一個獨立源單獨作用，也可以一次使幾個獨立源同時作用，方式的選擇取決于分析問題的方便。4.疊加定理的應(yīng)用例41 求圖示電路的電壓 U. 例41圖解：應(yīng)用疊加定理求解。首先 畫出分電路圖如下圖所示 當(dāng)12V電壓源作用時，應(yīng)用分壓原理有：當(dāng)3A電流源作用時，應(yīng)用分流公式得： 則所求電壓：例42 計算 圖示電路的電壓 u 。 例42圖解：應(yīng)用疊加定理求解。首先 畫出分電路圖如下圖所示 當(dāng) 3A 電流源作用時： 其余電源作用時： 則所求電壓：

5、 本例說明： 疊加方式是任意的，可以一次一個獨立源單獨作用，也可以一次幾個獨立源同時作用，取決于使分析計算簡便。例43 計算圖示電路的電壓 u 電流 i 。 例43 圖解：應(yīng)用疊加定理求解。首先 畫出分電路圖如下圖所示 當(dāng) 10V 電源作用時： 解得： 當(dāng)5A電源作用時，由左邊回路的KVL： 解得： 所以：注意：受控源始終保留在分電路中。例44封裝好的電路如圖，已知下列實驗數(shù)據(jù)：當(dāng)時，響應(yīng) ，當(dāng)時，響應(yīng)， 求：時， i = ？ 例44圖解：根據(jù)疊加定理，有： 代入實驗數(shù)據(jù)，得： 解得： 因此： 本例給出了研究激勵和響應(yīng)關(guān)系的實驗方法5. 齊性原理由以上疊加定理可以得到齊性原理。齊性原理表述為：

6、線性電路中，所有激勵(獨立源)都增大(或減小)同樣的倍數(shù)，則電路中響應(yīng)(電壓或電流)也增大(或減小)同樣的倍數(shù)。當(dāng)激勵只有一個時，則響應(yīng)與激勵成正比。例45求圖示電路的電流i，已知：RL=2 R1=1 R2=1 uS =51V 例45圖解：采用倒推法：設(shè)i' =1A 。則各支路電流如下圖所示， 此時電源電壓為： ， 根據(jù)齊性原理：當(dāng)電源電壓為： 時，滿足關(guān)系：§4.2 替代定理1.替代定理的內(nèi)容替代定理表述為：對于給定的任意一個電路，若某一支路電壓為uk、電流為ik，那么這條支路就可以用一個電壓等于uk的獨立電壓源，或者用一個電流等于ik的獨立電流源，或用R=uk/ik的電阻

7、來替代，替代后電路中全部電壓和電流均保持原有值(解答唯一)。以上表述可以用圖4.3來表示。圖 4.3 替代定理2.定理的證明這里對定理給出其中一種替代的證明。設(shè)圖4.4所示電路中支路k的電壓為uk，電流為ik，在支路k串入極性相反，電壓值為uk的兩個電壓源如圖4.5所示，則根據(jù)等效的思想，圖4.5對外可以等效為圖4.6所示的電路，即電壓為uk的支路可以用電壓為uk的理想電壓源替代。替代定理的正確性可作如下解釋： 替代前后KCL,KVL關(guān)系相同，其余支路的u、i關(guān)系不變。k支路用理想電壓源uk替代后，其余支路電壓保持不變(KVL)，因此其余支路電流也不變，故第k條支路ik也不變(KCL)。同理k

8、支路用理想電流源ik替代后，其余支路電流不變(KCL)，因此其余支路電壓不變，故第k條支路uk也不變(KVL)。 圖 4.4 圖 4.5 圖 4.63.應(yīng)用替代定理要注意的問題1) 從理論上講，替代定理適用于線性電路，也適用于非線性電路。2) 替代后電路必須有唯一解，即替代后不能形成電壓源回路和電流源節(jié)點。3) 替代后其余支路及參數(shù)不能改變。4.替代定理的應(yīng)用例46若要使圖示電路中的電流 ，試求電阻Rx 。 例46 圖解：因為，為避免求解復(fù)雜的方程，應(yīng)用替代定理，把10V電壓源和3電阻串聯(lián)支路用電流為I的電流源替代，電路如圖(b)所示。然后應(yīng)用疊加定理，分電路圖如圖(c)、(d)所示。 例46

9、 圖（b） 例46 圖（c）例46 圖（d）由圖得： 因此 例47求圖示電路中的電流I1例47 圖（a）解：應(yīng)用替代定理，圖(a)簡化為圖(b)所示的電路，然后應(yīng)用疊加定理得：例47 圖（b）§4.3戴維寧定理和諾頓定理1.戴維寧定理的內(nèi)容戴維寧定理表述為：任何一個線性含源一端口網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，總可以用一個電壓源和電阻的串聯(lián)組合來等效替代；此電壓源的電壓等于外電路斷開時一端口網(wǎng)絡(luò)端口處的開路電壓uoc ，而電阻等于一端口的輸入電阻（或等效電阻Req）。以上表述可以用圖4.7來表示。圖 4.7 戴維寧定理2.定理的證明這里給出戴維寧定理的一般證明。圖4.8(a)為線性有源一端口網(wǎng)絡(luò)

10、A與負(fù)載網(wǎng)絡(luò)N相連，設(shè)負(fù)載上電流為i，電壓為u。根據(jù)替代定理將負(fù)載用理想電流源i 替代，如圖4.8(b)所示。 圖 4.8替代后不影響A中各處的電壓和電流。由疊加定理u可以分為兩部分，如圖4.9所示，即： 其中是A內(nèi)所有獨立源共同作用時在端口產(chǎn)生的開路電壓，是僅由電流源i作用在端口產(chǎn)生的電壓，即：， 圖 4.9因此 上式表示的電路模型如圖4.10所示。這就證明了戴維寧定理是正確的。 圖 4.103.應(yīng)用戴維寧定理要注意的問題1)含源一端口網(wǎng)絡(luò)所接的外電路可以是任意的線性或非線性電路，外電路發(fā)生改變時，含源一端口網(wǎng)絡(luò)的等效電路不變。2)當(dāng)含源一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含有受控源時，控制電路與受控源必須包含在

11、被化簡的同一部分電路中。3)開路電壓uoc的計算戴維寧等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時的開路電壓uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向有關(guān)。計算uoc的方法視電路形式選擇前面學(xué)過的任意方法，使易于計算。4)等效電阻的計算等效電阻為將一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部獨立電源全部置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得無源一端口網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻。常用下列三種方法計算：5)當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部不含有受控源時可采用電阻串并聯(lián)和 Y 互換的方法計算等效電阻；6)外加電源法（加電壓求電流或加電流求電壓）。 如圖 4.11 所示。圖 4.11 用外加電源法求戴維寧等效電阻則7)開路電壓，短路電流法。即求得網(wǎng)絡(luò)A端口間的開路電壓后，將端

12、口短路求得短路電流，如圖4.12所示。則： 以上方法中后兩種方法更具有一般性。4.戴維寧定理的應(yīng)用例410 計算圖示電路中Rx分別為1.2、5.2時的電流 I ； 例410 圖（a）解：斷開Rx支路，如圖(b)所示，將其余一端口網(wǎng)絡(luò)化為戴維寧等效電路： 例410 圖（b）例410 圖（c）1）求開路電壓 Uoc 2）求等效電阻Req。把電壓源短路，電路為純電阻電路，應(yīng)用電阻串、并聯(lián)公式，得： 3）畫出等效電路，接上待求支路如圖(d)所示， 例410 圖（d）當(dāng) Rx=1.2時， 當(dāng) Rx =5.2時， 例411計算圖示電路中的電壓U0 ； 例411 圖（a）解：應(yīng)用戴維寧定理。斷開3電阻支路，

13、如圖(b)所示，將其余一端口網(wǎng)絡(luò)化為戴維寧等效電路：1)求開路電壓 Uoc 2)求等效電阻 Req 方法1：外加電壓源如圖(c)所示，求端口電壓U 和電流I0的比值。注意此時電路中的獨立電源要置零。因為： 所以 方法2：求開路電壓和短路電流的比值。把電路斷口短路如圖(d)所示。注意此時電路中的獨立電源要保留。對圖(d)電路右邊的網(wǎng)孔應(yīng)用KVL，有： 所以I =0 ， 則 3) 畫出等效電路，如圖(e)所示，解得： 例411 圖（b） 例411 圖（c）例411 圖（d） 例411 圖（e） 注意：計算含受控源電路的等效電阻是用外加電源法還是開路、短路法，要具體問題具體分析，以計算簡便為好。例4

14、12 求圖示電路中負(fù)載 RL 消耗的功率。 例412 圖（a）解：應(yīng)用戴維寧定理。斷開電阻RL所在支路，如圖(b)所示，將其余一端口網(wǎng)絡(luò)化為戴維寧等效電路。首先應(yīng)用電源等效變換將圖(b)變?yōu)閳D(c)。 例412 圖（b）例412 圖（c）1) 求開路電壓Uoc 由 KVL 得： 解得： ， 2) 求等效電阻Req，用開路電壓、短路電流法。端口短路，電路如圖(d)所示，短路電流為： 因此：例412 圖（d）3) 畫出戴維寧等效電路，接上待求支路如圖(e)所示，則： 例412 圖（e）例413電路如圖所示，已知開關(guān)S扳向1，電流表讀數(shù)為2A；開關(guān)S扳向2，電壓表讀數(shù)為4V；求開關(guān)S扳向3

15、后，電壓U 等于多少？ 例413 圖（a）解：根據(jù)戴維寧定理，由已知條件得 所以 等效電路如圖(b)所示， 例413 圖（b）則：5.諾頓定理的內(nèi)容諾頓定理表述為：任何一個含源線性一端口電路，對外電路來說，可以用一個電流源和電導(dǎo) (電阻)的并聯(lián)組合來等效置換；電流源的電流等于該一端口的短路電流，而電導(dǎo)(電阻)等于把該一端口的全部獨立電源置零后的輸入電導(dǎo)(電阻)。以上表述可以用圖4.13來表示。 圖 4.13 諾頓定理諾頓等效電路可由戴維寧等效電路經(jīng)電源等效變換得到。諾頓等效電路可采用與戴維寧定理類似的方法證明。需要注意的是：（1）當(dāng)含源一端口網(wǎng)絡(luò)A的等效電阻時，該網(wǎng)絡(luò)只有戴維寧等效電路，而無諾

16、頓等效電路。（2）當(dāng)含源一端口網(wǎng)絡(luò)A的等效電阻時，該網(wǎng)絡(luò)只有諾頓等效電路而無戴維寧等效電路。 6. 諾頓定理的應(yīng)用例414 應(yīng)用諾頓定理求圖示電路中的電流 I 。 例414 圖（a）解： (1) 求短路電流ISC，把ab端短路，電路如圖(b)所示，解得： 所以： 例414 圖（b） (2) 求等效電阻Req ，把獨立電源置零，電路如圖(c)所示。解得： (3) 畫出諾頓等效電路，接上待求支路如圖(d)所示，應(yīng)用分流公式得： 注意：諾頓等效電路中電流源的方向。 例414 圖（c）例414 圖（d）例415求圖示電路中的電壓 U 。 例415 圖（a）解：本題用諾頓定理求比較方便。因a、

17、b處的短路電流比開路電壓容易求。 例415 圖（b）例415 圖（c） (1)求短路電流ISC，把ab端短路，電路如圖(b)所示，解得： (2)  求等效電阻Req，把獨立電源置零，電路如圖(c)所示，為簡單并聯(lián)電路。 （3） 畫出諾頓等效電路， 接上待求支路如圖(d)所示，得： 例415 圖（d）§4.4 最大功率傳輸定理1最大功率傳輸定理一個含源線性一端口電路，當(dāng)所接負(fù)載不同時，一端口電路傳輸給負(fù)載的功率就不同，討論負(fù)載為何值時能從電路獲取最大功率，及最大功率的值是多少的問題就是最大功率傳輸定理所要表述的。將含源一端口電路等效成戴維寧電源模型，如圖4.14所示

18、。 圖 4.14 等效電壓源接負(fù)載電路由圖可知電源傳給負(fù)載 RL 的功率為： 功率P隨負(fù)載 RL 變化的曲線如圖4.15所示，存在一極大值點。為了找這一極大值點，對P 求導(dǎo)，且令導(dǎo)數(shù)為零，即：解上式得：圖 4.15結(jié)論：有源線性一端口電路傳輸給負(fù)載的最大功率條件是：負(fù)載電阻RL等于一端口電路的等效內(nèi)阻。稱這一條件為最大功率匹配條件。將這一條件代入功率表達(dá)式中，得負(fù)載獲取的最大功率為： 需要注意的是：1）最大功率傳輸定理用于一端口電路給定，負(fù)載電阻可調(diào)的情況：2）一端口等效電阻消耗的功率一般并不等于端口內(nèi)部消耗的功率，因此當(dāng)負(fù)載獲取最大功率時,電路的傳輸效率并不一定是50%；3) 計算最大功率問

19、題結(jié)合應(yīng)用戴維寧定理或諾頓定理最方便。2最大功率傳輸定理的應(yīng)用例416 圖示電路中負(fù)載電阻RL為何值時其上獲得最大功率，并求最大功率。 例416 圖（a）解：應(yīng)用戴維寧定理。斷開電阻RL所在支路，如圖(b)所示，將一端口網(wǎng)絡(luò)化為戴維寧等效電路。 例416 圖（b） 例416 圖（c）1)  求開路電壓Uoc因為： 解得：2)  求等效電阻Req，用外加電源法。 電路如圖(c)所示。 因為： 所以： 3)  由最大功率傳輸定理得： 時，其上獲取最大功率，且 §4.5 特勒根定理1.特勒根定理1特勒根定理1表述為：任何時刻，對于一個具有n個結(jié)點和b條支路的集

20、總電路，在支路電流和電壓取關(guān)聯(lián)參考方向下，滿足：2.特勒根定理1的證明 對圖4.16所示電路的圖應(yīng)用KCL，得結(jié)點，的電流方程為： 而 圖 4.16把上式中的支路電壓用結(jié)點電壓表示有：或?qū)憺椋?式中括號內(nèi)的電流之和分別為結(jié)點，的電流方程，因此得：3特勒根定理2特勒根定理2表述為：任何時刻，對于兩個具有n個結(jié)點和b條支路的集總電路，當(dāng)它們具有相同的圖，但由內(nèi)容不同的支路構(gòu)成，在支路電流和電壓取關(guān)聯(lián)參考方向下，滿足： 4.特勒根定理2的證明 圖 4.17（a） 圖 4.17（b）設(shè)兩個電路的圖如圖4.17所示，對圖(b)應(yīng)用KCL得三個結(jié)點方程為： 而 把上式中的支路電壓用圖(a)的結(jié)點電壓表示有

21、：或?qū)憺椋?式中括號內(nèi)的電流之和分別為圖(b)中結(jié)點，的電流方程，因此得：同理可證： 5應(yīng)用特勒根定理要注意的問題1)定理的正確性與元件的特征全然無關(guān)，因此特勒根定理對任何線性、非線性、時不變、時變元件的集總電路都適用。定理實質(zhì)上是功率守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)。2)電路中的支路電壓必須滿足 KVL ，支路電流必須滿足 KCL ，支路電壓和支路電流必須滿足關(guān)聯(lián)參考方向（否則公式中加負(fù)號）。6特勒根定理的應(yīng)用例417圖示電路中已知： （1）R1=R2=2,Us=8V 時,I1=2A ,U2=2V ， （2）R1=1.4, R2=0.8 , Us=9V 時 , I1=3A, 求此時的U2 。例417解：把(1)、(2)兩種情況看成是結(jié)構(gòu)相同，參數(shù)不同的兩個電路，利用特勒根定理有： 由 (1) 得： U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A 由（2