變質(zhì)量問題研究

1、變質(zhì)量問題研究摘要:早在16世紀(jì)，著名的物理學(xué)家伽利略就對(duì)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。伽利略開創(chuàng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)方法，以此來探究力和運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律，繼而總結(jié)出可以描述質(zhì)點(diǎn)的加速運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)理論。再后來，著名的物理學(xué)家牛頓分析、總結(jié)并推廣了伽利略的動(dòng)力學(xué)原理，他在前人研究的成果基礎(chǔ)上建立了著名的牛頓運(yùn)動(dòng)定律,為后人的研究提供了簡(jiǎn)便的方法。后又于1687年，在他自己的著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中，總結(jié)并闡述了當(dāng)時(shí)所了解到的力學(xué)規(guī)律，從而奠定了經(jīng)典力學(xué)理論體系的基礎(chǔ)。在牛頓之后，人們大約歷經(jīng)半個(gè)多世紀(jì)的探索與爭(zhēng)論，又相繼建立了三大守恒定律。 當(dāng)今時(shí)代，由于火箭、航天技術(shù)的發(fā)展，變質(zhì)量力學(xué)問題研究越來越顯得重要。而變質(zhì)

2、量系統(tǒng)力學(xué)所應(yīng)用的范圍，不再局限用于研究火箭的運(yùn)動(dòng)，也應(yīng)用在自然界和許多工程技術(shù)中，也可以舉出許多變質(zhì)量物體的例子。要研究與解決有關(guān)這些變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)問題，都需要運(yùn)用變質(zhì)量力學(xué)的基礎(chǔ)理論。所以對(duì)于變質(zhì)量問題的研究和解決顯得尤為重要，本文將結(jié)合實(shí)例對(duì)變質(zhì)量問題進(jìn)行具體問題具體分析和解決，使其在人類的實(shí)際生產(chǎn)生活中具有更重要的意義。關(guān)鍵詞:變質(zhì)量系統(tǒng);物理模型;動(dòng)量守恒定律;動(dòng)能定理1.變質(zhì)量系統(tǒng)的概念 質(zhì)量是經(jīng)典物理學(xué)中最基本的物理概念，在理論力學(xué)的教學(xué)中，除了研究運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量保持不變的物體外，還需研究一些在運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量發(fā)持續(xù)不斷變化的物體，即所說的變質(zhì)量物體。這類物體在工程技術(shù)及自然生

3、活中不乏實(shí)例，所以對(duì)他們的研究顯得尤為重要。經(jīng)典變質(zhì)量這類問題是在理論力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)方面的一個(gè)重要應(yīng)用內(nèi)容。關(guān)于變質(zhì)量問題，一般的教材是這樣進(jìn)行描述的：“在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)，物體（質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量m通常被視為是常數(shù)，但是我們經(jīng)常會(huì)遇到質(zhì)量為變數(shù)的情況?！比缁鸺陲w行中質(zhì)量不斷減少 , 星體在太空運(yùn)動(dòng)中俘獲物質(zhì)使質(zhì)量不斷增加。又如 , 空間飛船問題、落鏈問題等等。這些問題的共同特點(diǎn)是物體( 質(zhì)點(diǎn) ) 在運(yùn)動(dòng)中持續(xù)的減少質(zhì)量或有質(zhì)量加入其中 , 而使物體質(zhì)量持續(xù)變化。由于物體的質(zhì)量遵從一定規(guī)律進(jìn)行變化（增加或者是減少），所以這類物體稱為變質(zhì)量物體。2.關(guān)于變質(zhì)量問題中的兩種物理模型 在以往的物理學(xué)習(xí)

4、中，我們都知道對(duì)于變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)其方程為： （1）對(duì)于公式中的F的意思，在不同的書籍中有著不同的解釋，在一些文獻(xiàn)中認(rèn)為力F是變質(zhì)量系統(tǒng)主體上所受的外力，而在有些書上認(rèn)為力F是作用在變質(zhì)量主體和變化質(zhì)量元這一系統(tǒng)的外力的矢量和。筆者認(rèn)為，兩種說法各有各的道理，不能簡(jiǎn)單的討論孰對(duì)孰錯(cuò)，之所以造成這兩種差異，主要還是因?yàn)檫@兩種說法采用了不同的物理模型：開放系統(tǒng)模型和封閉系統(tǒng)模型。在不同的模型中，速度u有著不同的意義，如果在處理問題中直接應(yīng)用公式（1），就會(huì)造成混亂，使問題變得更加復(fù)雜，所以有必要對(duì)這兩種簡(jiǎn)單的模型進(jìn)行簡(jiǎn)單討論。2.1 變質(zhì)量問題中的開放系統(tǒng)模型 對(duì)于第一種說法，F(xiàn)作為變質(zhì)量系統(tǒng)主體上所受

5、的外力，而u作為并入（分離）前的質(zhì)量在并入（分離）之后的速度。很明顯，研究對(duì)象是“變質(zhì)量主體”，這里的研究對(duì)象“變質(zhì)量主體”允許質(zhì)量發(fā)生并入(分離)的改變,這是一個(gè)開放型系統(tǒng),如圖:圖2圖1 對(duì)于開放系統(tǒng)，其速度和質(zhì)量都隨時(shí)間變化，所引起的動(dòng)量變化率表示為：等式右邊的兩項(xiàng)中，前一項(xiàng)表示質(zhì)量m變化時(shí)引起的動(dòng)量變化率，后一項(xiàng)表示速度v變化時(shí)所引起的動(dòng)量變化率。使系統(tǒng)動(dòng)量產(chǎn)生變化的原因有兩個(gè):一是力F的作用，二是質(zhì)量M的分解和并入。對(duì)于變質(zhì)量問題第二個(gè)原因是必然存在的，質(zhì)元以速度u相對(duì)于參考系并入（分離）系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量也隨之增加（減少）了，所以u(píng)表示單位時(shí)間內(nèi)因?yàn)橘|(zhì)量的并入（或分離）使系統(tǒng)所產(chǎn)生

6、的動(dòng)量增加（或減少）的動(dòng)量。若一速度為的質(zhì)元進(jìn)入系統(tǒng)時(shí)，其速度和系統(tǒng)本身速度v不同，則質(zhì)元將與主體發(fā)生碰撞，速度由變成（忽略無窮小量），對(duì)主體產(chǎn)生力F的作用，且質(zhì)元也會(huì)受到主體的反作用力。由動(dòng)量定理可得，質(zhì)元所受到的力為： ，（）（2） 若一速度為u的質(zhì)元分離出系統(tǒng)時(shí)，其速度由v變成u（稱為逆向碰撞),質(zhì)元受到的主體對(duì)其的作用力為： (）（3） 必須注意的是，以上所說的作用力均指變質(zhì)量主體所施加，并不是說質(zhì)元受到“外力”。在開放系統(tǒng)模型中，沒有考慮質(zhì)元所受外力，所以質(zhì)元與主體碰撞前的一段時(shí)間或者是質(zhì)元分離主體后的一段時(shí)間，其速度的變化不需要考慮。速度u是質(zhì)元?jiǎng)偱鲎仓黧w或剛從主體分離后的其他時(shí)刻

7、內(nèi)的任意速度。2.2 變質(zhì)量問題中的封閉系統(tǒng)模型 對(duì)于式（1）也可通過求質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理的極限得到，據(jù)我們所知，質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理適用于常質(zhì)量系統(tǒng)問題，所以在劃定系統(tǒng)范圍的時(shí)候，也要將質(zhì)元包括在內(nèi)，系統(tǒng)所受的力除了主體所受的外力之外，還包括質(zhì)元所受的外力。為了保證在觀察時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的質(zhì)量保持不變，在變化質(zhì)量的系統(tǒng)邊界應(yīng)該隨著的變化外延或內(nèi)縮，所以這樣的系統(tǒng)邊界是動(dòng)態(tài)變化的（如圖2），如果有質(zhì)量進(jìn)入主體，則虛線表示時(shí)刻t（開始觀察的時(shí)間）的邊界，實(shí)線表示時(shí)刻（觀察結(jié)束的時(shí)刻）的邊界。如果是質(zhì)量從主體中流出的情況，則虛線和實(shí)線的意義就是相反的，但無論哪種情況，實(shí)線都表示變質(zhì)量主體的邊界。 假定主體M受外力

8、,質(zhì)元所受外力，則體系所受的外力的矢量和為： 為了搞清楚在式（1）中速度u表示的意義，我們將研究質(zhì)元速度變化的情況，假如有質(zhì)量流入主體，在時(shí)刻時(shí)，質(zhì)元的速度為。在時(shí)刻時(shí)，質(zhì)元流入主體，速度變?yōu)椋ê雎詿o窮小量），由動(dòng)量定理可知， ， （）（4） 式中為對(duì)的反作用力；反之，如果有質(zhì)量流出主體的情況，則有： ， (）（5） 比較（2）、（3）、（4）、（5）四式發(fā)現(xiàn)此時(shí)質(zhì)元的速度變化已經(jīng)不僅取決于主體M對(duì)的作用力，而且受質(zhì)元所受外力的影響，所以質(zhì)元的速度變化值與只受到力f的作用時(shí)不同，u的值也不同，只有當(dāng)質(zhì)元所受外力時(shí)或者說可以忽略不計(jì)（例如只受到重力作用）時(shí)，（2）、（3）兩式與（4）、（5）兩式

9、的區(qū)別才會(huì)不存在，否則，u應(yīng)該看做是外力與f一起作用時(shí)所具有的初速度或者末速度。3. 變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程及其物理意義 在非相對(duì)論的情況下，物體質(zhì)量隨著時(shí)間持續(xù)的變化而變化，仍然屬于經(jīng)典物理學(xué)的范疇。對(duì)經(jīng)典變質(zhì)量物體來講，其質(zhì)量，其中的是t的連續(xù)函數(shù)（可以為t的連續(xù)顯式函數(shù)，也可以利用速度或者坐標(biāo)為t的隱式函數(shù)）。 經(jīng)典變質(zhì)量問題是理論力學(xué)中一個(gè)十分重要的內(nèi)容。對(duì)于此類經(jīng)典變質(zhì)量問題，我們一般也可以對(duì)主體和微元所組成的變質(zhì)量系統(tǒng)采用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理等的變質(zhì)量系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多種方法、多種角度去解決。下面我將從三個(gè)方向來探究變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程及其所具有的物理意義。3.1利用動(dòng)量定理推

10、導(dǎo)變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程及其物理意義 我們先假定一個(gè)物體的質(zhì)量在t時(shí)刻是，對(duì)于一個(gè)給定的慣性參考系,它的速度是,同時(shí)一個(gè)微小質(zhì)元以速度u運(yùn)動(dòng)，并在間隔內(nèi)與m（t）合并,合并后共同的速度為,假設(shè)作用在和質(zhì)元上的外力矢量和為,那么由質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理得: (6) 忽略掉二階微量,然后(6)式的等號(hào)兩邊除以,得到變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程為: (7) 令,那么式(7)變形為: (8) (8）式是用來研究經(jīng)典變質(zhì)量問題的一般方程,就是所說的密歇爾斯基方程若是u為0,那么(7)式可以變形為;若是u=V,那么式(8)變形為 對(duì)于(8)式密歇爾斯基方程中各項(xiàng)所具有的意義,進(jìn)行以下討論: 表示主體m(t)在t時(shí)刻的動(dòng)

11、量變化率,為m（t）及質(zhì)元所組成的系統(tǒng)的外力矢量和;=u-v則是將并入(或者分出)的微元相對(duì)于主體m(t)的速度;而是變質(zhì)量主體m(t)的質(zhì)量變化率,記作=，則當(dāng)>0時(shí)，表示有并入的質(zhì)量；當(dāng)<0時(shí)，表示有分離出的質(zhì)量；=，具有力的量綱，所以將其取名為推力項(xiàng)（或者稱為反推力），它所表示的意義為：當(dāng)有質(zhì)量并入變質(zhì)量物體的時(shí)候，有>0，此時(shí)與 方向相同，所以表示質(zhì)元在并入時(shí)沿相對(duì)速度的同一個(gè)方向給變質(zhì)量物體帶來的附加推力；當(dāng)有質(zhì)量分離出主體時(shí)，有<0，此時(shí)與方向相反，所以表示在分離時(shí)沿相對(duì)速度的相反方向給變質(zhì)量物體帶來的附加推力。3.2利用動(dòng)量守恒定律推導(dǎo)出變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方

12、程及其物理意義 在有些教材中，推導(dǎo)變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，常常忽略掉外力的作用，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，得出的方程用起來很方便，但是由于采用的模型不同，導(dǎo)致建立的方程也有所不同。我們先假設(shè)一物體的質(zhì)量在t時(shí)刻，給定一個(gè)慣性參考系,它的速度是,同時(shí)一個(gè)微小質(zhì)元以速度u運(yùn)動(dòng)，并在間隔內(nèi)與m（t）合并,合并后的共同速度為,假設(shè)作用在和質(zhì)元上的外力矢量和為,那么由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒定理得: （9） 忽略二階微量，可以將式（9）變形,得: 變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程為： （10） 對(duì)于式（10）可變形為： （11） 對(duì)于（11）中各項(xiàng)的物理意義作如下討論：m表示主體m（t）的動(dòng)量改變量；=u-V表示并入（或者分離）的質(zhì)元

13、相對(duì)于變質(zhì)量主體的速度；表示質(zhì)元相對(duì)于主體的相對(duì)動(dòng)量；從推導(dǎo)的過程和形式可以看出，對(duì)于方程式（8），當(dāng)=0的時(shí)候可以變形為（11）式。3.3 變質(zhì)量系統(tǒng)的動(dòng)能定理及其物理意義 據(jù)我們所知，動(dòng)量定理從來就不是經(jīng)典力學(xué)中的一個(gè)新獨(dú)立的定律，它的應(yīng)用通常局限于單質(zhì)點(diǎn)或者是封閉的質(zhì)點(diǎn)系，如果將其應(yīng)用在非封閉系統(tǒng)中，即有質(zhì)量進(jìn)入或者是流出的系統(tǒng)，由密歇爾斯基方程式，它的表達(dá)式如下： 先用V點(diǎn)乘（7）式得： （12） ，（12）式可寫為： （13）將（13）式變形為下面的形式： （14）以變化率并入系統(tǒng)的質(zhì)量流，不但能使動(dòng)量的變化率為u，還能夠使能量的變化率為。事實(shí)上，u=V的時(shí)候，并入系統(tǒng)的能量恰好能夠

14、補(bǔ)償自身?yè)p失，在這種情形下，外力所做的功等于系統(tǒng)動(dòng)能的變化。當(dāng)我們把從（14）式中分離出來的時(shí)候，結(jié)果變?yōu)椋?（15）兩邊同時(shí)積分，得 (16)這個(gè)式子是非封閉系統(tǒng)的動(dòng)能定理表達(dá)式，它所要表達(dá)的是：其中損失的能量一般情況下轉(zhuǎn)化為熱能的形式，我們可以用Q來表示，則 （17） 對(duì)于式（16），其物理意義為：外力所做的外力功與由質(zhì)量的變化所引起的動(dòng)能變化之和，等于系統(tǒng)所損失的能量與動(dòng)能變化之和。4. 幾個(gè)經(jīng)典的變質(zhì)量實(shí)例 通過前面幾章的介紹，關(guān)于變質(zhì)量問題的研究解決我們已經(jīng)有所了解，下面將就變質(zhì)量問題的研究舉出幾個(gè)實(shí)例，然后進(jìn)行具體問題具體分析。4.1空間飛船問題 假設(shè)有一艘空間飛船以速度相對(duì)于空間

15、船自身向后噴射燃料，這艘空間飛船的質(zhì)量的變化率為=-是一個(gè)常量，忽略掉重力所產(chǎn)生的影響，試建立空間飛船的運(yùn)動(dòng)方程后并做出求解。 分析：先令在t時(shí)刻空間飛船的速度為V，質(zhì)量為m（t）=-，則如果從一個(gè)慣性參考系來看，噴射燃料所具有的速度為+V，質(zhì)量為。我們先假設(shè)認(rèn)為與V方向相反，那么問題將化為一維問題。對(duì)于和m（t）所構(gòu)成的系統(tǒng)我們可以考慮不同的角度對(duì)其加以分析求解。 解： （a）利用動(dòng)量定理的角度求解上述問題，由前面所講的密歇爾斯基方程，我們可以得到： =，上式可以變?yōu)椋?，由前述可知，故可以對(duì)上式進(jìn)行積分得：。 （b）利用動(dòng)能定理的角度來分析解答，根據(jù)前面的式（15）可得：， 又因?yàn)?-而且

16、m=-，帶入化簡(jiǎn)上式后可得：=， 由前述可知，故對(duì)上式進(jìn)行積分可得：。 （c） 利用動(dòng)量守恒定律的角度來求解，根據(jù)前面的（11）式直接可得：=，同樣的，由前述可知，故可以對(duì)上式進(jìn)行積分,得：。上述實(shí)例說明，在解決變質(zhì)量問題的時(shí)候，我們可以采取不同的方法，雖然解答過程有所差異，但是物理意義都是十分明確的。 4.2火箭升空問題 假設(shè)一火箭在初速度為0時(shí)的質(zhì)量為，如果火箭在均勻分布的重力場(chǎng)中垂直升空，此火箭的質(zhì)量滿足函數(shù)式m=e，其中為正常數(shù)，如果介質(zhì)所具有的阻力為=，試求在0<t<時(shí)間間隔內(nèi)任意時(shí)刻的此火箭的速度。 解析：首先我們?nèi)∠蛏系姆较驗(yàn)檎较颍瑒t系統(tǒng)所受的合外力為-mg，由前面

17、的（17）式，可知在u=0的時(shí)候，可得：=-+-， 化簡(jiǎn)上式可得：-，然后對(duì)上式積分，當(dāng)=0時(shí)，令=0，可以得到：，對(duì)上式再進(jìn)行積分，當(dāng)=0時(shí)，=0，可以得到：。4.3落鏈問題 假設(shè)將一條質(zhì)量均勻分布的鏈條放置在一個(gè)桌面的一小孔附近，已知鏈條的質(zhì)量的線密度為,現(xiàn)將鏈條的一端從靜止開始沿桌面小孔滑下。試求下落端的速度的變化情況和能量的損失狀況。 解析：我們首先取坐標(biāo)軸向下的方向?yàn)檎较?，且?guī)定原點(diǎn)在桌面上，隨著鏈條的下滑，運(yùn)動(dòng)的鏈條那部分的質(zhì)量不斷增加。假設(shè)此部分的鏈條長(zhǎng)度為，由前所述可知其初始動(dòng)能為0，再經(jīng)由前面的分析及（15）式，可得：，對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，經(jīng)過整理得到： +=即有 =，若令，可

18、以將其化簡(jiǎn)為：經(jīng)過積分，可以得到：（為待定系數(shù)），即有 ，=0時(shí)，有，可得：=0， ，可得損失的能量為： =。結(jié)論:經(jīng)由前面的分析，對(duì)于變質(zhì)量問題的研究解決方法是多種多樣的，如前面介紹的動(dòng)能定理，動(dòng)量守恒定律等等；在碰到這類問題時(shí)，我們需要弄清物理情境，然后進(jìn)行具體問題具體分析解決，抓住這種物理問題的本質(zhì)，這樣可以利用多個(gè)角度來解決變質(zhì)量問題。The Research of Variable quality problemAbstract:As early as sixteenth Century, Galileo ,the famous physicist ,on the dynamics

19、of the system.Galileo pioneered the scientific experimental method, in order to explore the universal law of force and movement, and then summed up enough to describe the particle acceleration movement of the mathematical theory.Later, the famous physicist Isaac Newton analysis, summarize and popula

20、rize the dynamics of the Galileo,on the results of previous studies on the basis of established known as Newton's laws of motion, he provides a simple method for the later research.Later in 1687, in his own work, "mathematical principles of natural philosophy", summed up and explained

21、the mechanics of the law, thus laying the foundation of the classical mechanics theory.After Newton, about half a century of exploration and debate, and have established three conservation laws. Nowadays, due to the development of rocket and space technology, the research on the problem of variable mass mechanics becomes more and more important.Nowadays, due to the development of rocket and space technology, the research on the problem of variable mass mechanics becomes more and more important.And the scope of t