含參數(shù)不等式成立問題中參數(shù)范圍的確定

1、含參數(shù)不等式成立問題中參數(shù)范圍的確定一恒成立問題（全稱命題）1分離參數(shù)法例 1：（2009海南一模）設(shè)，其中a是實數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且n2，若當 時有意義, 求a的取值范圍。解析： 當時，有意義，故有令，只要對在上的最大值，此不等式成立即可。故我們可以利用函數(shù)的最值分離出參數(shù)a。解： 由時，有意義得：，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知上式右邊的函數(shù)的最大值是故 a>溫馨提示：適用題型；（1） 參數(shù)與變量能分離；（2） 函數(shù)的最值易求出。利用這種方法可以順利解決許多含參數(shù)不等式中的取值問題，還可以用來證明一些不等式。例 2：（2009東營一模）已知向量：，函數(shù)，若圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為 （1

2、）求的解析式； （2）若對任意實數(shù)，恒有成立，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）相鄰兩對稱軸的距離為 （2） ，又 若對任意，恒有解得例 3：（2009北京市一模）已知函數(shù)圖象上一點的切線斜率為，（）求的值；（）當時，求的值域；（）當時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解：（）， 解得（）由（）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又 的值域是（）令要使恒成立，只需，即（1）當時 解得；（2）當時 ；（3）當時解得；綜上所述所求t的范圍是特別說明：分類與整合，千萬別忘了整合即最后要寫“綜上可知”，分類一定要序號化；2 主參換位法例4：若對于任意a，函數(shù)的值恒大于0，求x的取值范圍。分析：此

3、題若把它看成x的二次函數(shù)，由于a, x都要變，則函數(shù)的最小值很難求出，思路受阻。若視a為主元，則給解題帶來轉(zhuǎn)機。解： 設(shè) ，把它看成關(guān)于a的直線，由題意知，直線恒在橫軸下方。 所以 解得： 或或例 5： 對于（0，3）上的一切實數(shù)x,不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。分析： 一般的思路是求x的表達式，利用條件求m的取值范圍。但求x的表達式時，兩邊必須除以有關(guān)m的式子，涉及對m討論，顯得麻煩。解： 若設(shè)，把它看成是關(guān)于x的直線，由題意知直線恒在x的軸的下方。所以 解得： 3 構(gòu)建函數(shù)法（1） 構(gòu)造一次函數(shù)例6： 若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。解： 原不等式變形為，現(xiàn)在考慮p的一次函

4、數(shù)： 在上恒成立 解得： 或 x的取值范圍為注： 本題對于一切不等式恒成立，因此應(yīng)視p為主元，視x為參數(shù)，把不等式左邊變成關(guān)于p的一次函數(shù)型。（2） 造二次函數(shù)例7： 對于，恒成立，求實數(shù)m的范圍。解： 原不等式變形為： 即 令 ， 令 題意為>0在上恒成立。 或4×1×()<0或 >0解得 ： 或或 ，即 m的取值范圍為：4 數(shù)形結(jié)合法例8：若不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解析： 由題意知 ： 在內(nèi)恒成立。在同一坐標系內(nèi)分別作出 和 的圖象因為時，的圖象位于函數(shù)的圖象上方， 當 a> 1時，顯見不成立。故 0<a<1 由圖可知：的圖象必須過點 或在這個點的上方，則： 由 ， 知 ： a 的取值范圍為解析：對一些不等式兩邊的式子，函數(shù)模型較明顯、函數(shù)圖象教容易作出的，可以考慮作出函數(shù)圖象，用函數(shù)圖象的直觀性解決不等式或方程的恒成立的問題，也非常容易得到意想不到的效果。二存在問題（特稱命題）例9（2009濟寧一模）已知函數(shù).（）當時，使不等式，求實數(shù)的取值范圍；解：（）當時，由，得函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，則當時。故要使使不等式成立，只需即可。例10（2009泰安一模）已知函數(shù)（I）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)上為單調(diào)函數(shù)； （II）求證：；（III）求證：對于任意的，并確定這樣