西工大與西安交大期末復習考研備考自動控制原理4.2 根軌跡繪制的基本法則1

1、124 4 線性系統(tǒng)的根軌跡法線性系統(tǒng)的根軌跡法一、根軌跡二、根軌跡與系統(tǒng)的性能三、根軌跡法四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系五、根軌跡方程3根軌跡：根軌跡：當系統(tǒng)的當系統(tǒng)的某個參數某個參數由零到無窮大變化時，系統(tǒng)由零到無窮大變化時，系統(tǒng)閉閉環(huán)特征根環(huán)特征根(極點極點)在在 平面上移動平面上移動(變化變化)的的軌跡軌跡。s復習復習4下列說法正確的有根軌跡的前提條件通常是開環(huán)傳遞函數根軌跡的前提條件通常是閉環(huán)傳遞函數根軌跡表達的是開環(huán)極點的軌跡根軌跡表達的是閉環(huán)極點的軌跡ABCD提交多選題1分51 1、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性根軌跡與根軌跡與 平面虛軸交點處的平面虛軸交點處的 值：值：臨界開環(huán)增益臨界開

2、環(huán)增益sKLK以以例例1系統(tǒng)為例分析系統(tǒng)為例分析根軌跡與系統(tǒng)根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關系性能之間的關系 、都位于、都位于 平面的平面的左半平面左半平面1s2ss系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定二、二、根軌跡與系統(tǒng)的性根軌跡與系統(tǒng)的性能能62 2、穩(wěn)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能0, avpKKKK型系統(tǒng)，系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數為：型系統(tǒng)，系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數為：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求確定系統(tǒng)確定系統(tǒng)閉環(huán)極點位置允許范圍閉環(huán)極點位置允許范圍)15.0()( ssKsGk0K 系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)增益開環(huán)增益 的取值范圍的取值范圍K二、二、根軌跡與系統(tǒng)的性根軌跡與系統(tǒng)的性能能73 3、動態(tài)性能、動態(tài)性能當當 時，系統(tǒng)時，系統(tǒng)過阻尼過

3、阻尼，系統(tǒng)階，系統(tǒng)階躍響應為非周期單調上升過程。躍響應為非周期單調上升過程。 當當 時，系統(tǒng)時，系統(tǒng)臨界阻尼臨界阻尼，系統(tǒng)有兩，系統(tǒng)有兩個相等的負實根個相等的負實根 ，其階躍響應，其階躍響應為非周期過程。為非周期過程。當當 時，系統(tǒng)時，系統(tǒng)欠阻尼欠阻尼，系統(tǒng)階躍，系統(tǒng)階躍響應為衰減的振蕩過程，而且系統(tǒng)超調響應為衰減的振蕩過程，而且系統(tǒng)超調量量 隨隨 增大而增大，調節(jié)時間隨增大而增大，調節(jié)時間隨 的變化不明顯。的變化不明顯。5.00 K12,1 s5.0 K% KK5.0 K二、二、根軌跡與系統(tǒng)的性根軌跡與系統(tǒng)的性能能8根軌跡法根軌跡法：根據系統(tǒng)的結構、參數根據系統(tǒng)的結構、參數(即系統(tǒng)的即系統(tǒng)的

4、開環(huán)傳遞開環(huán)傳遞函數函數)給給出系統(tǒng)的出系統(tǒng)的根軌跡圖根軌跡圖，并利用系統(tǒng)根軌跡對系統(tǒng)進行，并利用系統(tǒng)根軌跡對系統(tǒng)進行分析分析和設計和設計。關鍵關鍵：系統(tǒng)的根軌跡圖系統(tǒng)的根軌跡圖前提前提：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數方法方法：圖解法圖解法（不進行解析計算）（不進行解析計算）三、三、根軌跡法根軌跡法9)(sG)(sH)(sR)(sC控制系統(tǒng)結構圖控制系統(tǒng)結構圖四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系10 qiifiiGvGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()12)(1()( 系統(tǒng)前系統(tǒng)前向向通道通道傳遞

5、函數傳遞函數 hjjljjHhhhhvhhhhHpszsKsTsTsTssssKsH11*222221212221)()()12)(1()12)(1()(1 :反饋通道根軌跡增益反饋通道根軌跡增益。*HK反饋通道傳遞反饋通道傳遞函數函數GK221221*TTKKGG ：前向通道增前向通道增益益；：前向通道前向通道根軌跡根軌跡增增益益。四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系11 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數： ：開環(huán)根軌跡增益開環(huán)根軌跡增益； hjjqiiljjfiiKpspszszsKsHsGsG1111*)()()()()()()(*HGKKK n

6、hqmlf ；系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數： mjjniihjjfiiGKzsKpspszsKsHsGsGsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(1)()(*GK：閉環(huán)根軌跡增益閉環(huán)根軌跡增益。四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系12閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增系統(tǒng)根軌跡增益益系統(tǒng)系統(tǒng)前向通道前向通道根軌跡增根軌跡增益益 ；當當 時，時，對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)根軌跡增根軌跡增益開環(huán)益開環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)根軌跡增益根軌跡增益 ；閉環(huán)零點閉環(huán)零點由由前向通道前向通道 零點零點和和反饋通道反饋通道 的的極點組合極點組合而成。對

7、而成。對于于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點開單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點開環(huán)零點環(huán)零點閉環(huán)閉環(huán)極極點點與與開環(huán)開環(huán)零點零點、開環(huán)極點、開環(huán)極點、開環(huán)根軌跡增開環(huán)根軌跡增益益均有關均有關。*GKmn *K)(sG)(sH結論：結論：四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系13根軌跡法的根軌跡法的根本任務根本任務：根據根據已知的開環(huán)傳遞函數已知的開環(huán)傳遞函數 ，(開環(huán)零、極點的分布及開環(huán)根軌跡增益開環(huán)零、極點的分布及開環(huán)根軌跡增益 )找出找出系統(tǒng)的閉環(huán)極點系統(tǒng)的閉環(huán)極點(圖解法圖解法) 確定確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數。)()()(sHsGsGK *K在已知系統(tǒng)閉環(huán)

8、傳遞函數的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時在已知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應，可利用間響應，可利用拉氏變換法拉氏變換法求出，或利用計算機算出。求出，或利用計算機算出。四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系四、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系14 niimjjKpszsKsHsGsG11*)()()()()(系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數根軌跡方程根軌跡方程0)(1 sGK0)()(1 sHsG負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1)()( sHsG1)()(11* niimjjpszsK五、五、根軌跡方程根軌跡方程151)()(11* niimjjpszsK1)()( sHsG

9、jz：已知的開環(huán)零點已知的開環(huán)零點ip：已知的開環(huán)極點已知的開環(huán)極點0*K：開環(huán)根軌跡增益，變化范圍開環(huán)根軌跡增益，變化范圍s：閉環(huán)特征方程式的根（閉環(huán)極點）閉環(huán)特征方程式的根（閉環(huán)極點）五、五、根軌跡方程根軌跡方程16 )12()()(1)()( kjsHsGjeesHsG），210(11)12( kekj 根軌跡方程的實根軌跡方程的實質：質：向量方程向量方程1)()( sHsG ），（，（2, 1, 0)12()()(1)()(kksHsGsHsG 五、五、根軌跡方程根軌跡方程171)()( sHsG111* niimjjpszsK幅值條件幅值條件 )12()()(11 kpszsniim

10、jj )12()()( ksHsG相角條件相角條件根軌跡上的點根軌跡上的點應同時滿足應同時滿足幅值條件幅值條件和和相角條件相角條件根軌跡上根軌跡上各點對應的各點對應的 值值*K幅值條件和相角條件幅值條件和相角條件s平面上的根軌跡平面上的根軌跡五、五、根軌跡方程根軌跡方程18注意：注意：相角條件相角條件是確定是確定 平面上根軌跡的平面上根軌跡的充要條件充要條件。s原因原因：幅值條件與：幅值條件與 有關，而相角條件與有關，而相角條件與 無關。無關。任何一個滿足相角條件的任何一個滿足相角條件的 值，代入幅值條件值，代入幅值條件總可以求出一個總可以求出一個相應相應的的 值。值。*K*Ks*K結論：結論

11、：相角條件是確定根軌跡的充要條件相角條件是確定根軌跡的充要條件（滿足相角條件的（滿足相角條件的 值，必同時滿足幅值條件）值，必同時滿足幅值條件）s1*1111()()(21)mjjniimnjijiszKspszspk五、五、根軌跡方程根軌跡方程19根軌跡根軌跡根軌跡與系統(tǒng)的性能根軌跡與系統(tǒng)的性能根軌跡法根軌跡法閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系根軌跡方程根軌跡方程作業(yè)作業(yè)：4-1理解根軌跡和系統(tǒng)參數、性能的關系；理解根軌跡和系統(tǒng)參數、性能的關系；掌握根軌跡方程。掌握根軌跡方程。小小 結結204 4 線性系統(tǒng)的根軌跡法線性系統(tǒng)的根軌跡法21思思 路路：以系統(tǒng)以系統(tǒng)

12、開環(huán)根軌跡增益開環(huán)根軌跡增益 為為可變參數可變參數為例介紹繪為例介紹繪制根軌跡的基本法則。對系統(tǒng)其它參數變化時的根軌跡，制根軌跡的基本法則。對系統(tǒng)其它參數變化時的根軌跡，經過適當變換，這些法則仍可應用。經過適當變換，這些法則仍可應用?；具^程基本過程：1 根據繪制根軌跡的基本法則，由一些簡單的運算，根據繪制根軌跡的基本法則，由一些簡單的運算，畫出根軌跡的畫出根軌跡的大致圖形大致圖形(稱為概略根軌跡稱為概略根軌跡)；2 再利用根軌跡方程進行修正，就得到根軌跡的再利用根軌跡方程進行修正，就得到根軌跡的準確準確圖形圖形。*K一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則221、根軌跡的分支數、根軌

13、跡的分支數2、根軌跡的連續(xù)性和對稱性、根軌跡的連續(xù)性和對稱性3、根軌跡的起點和終點、根軌跡的起點和終點4、根軌跡的漸近線、根軌跡的漸近線5、實軸上的根軌跡、實軸上的根軌跡6、根軌跡的會合點和分離點、根軌跡的會合點和分離點7、根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）、根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）8、根軌跡與虛軸的交點、根軌跡與虛軸的交點9、閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）的和與積、閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）的和與積10、 開環(huán)根軌跡增益開環(huán)根軌跡增益 (或開環(huán)增益或開環(huán)增益 )的求取的求取一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則23結論結論：根軌跡在：根軌跡在 平面上的平面上的分支數分

14、支數等于閉環(huán)特征方等于閉環(huán)特征方程式的程式的階數階數。即：根軌跡的即：根軌跡的分支數分支數與與系統(tǒng)閉環(huán)極點數目系統(tǒng)閉環(huán)極點數目相同。相同。1 1、根軌跡的分支數、根軌跡的分支數A：根軌跡是系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨系統(tǒng)某個參數的變化：根軌跡是系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨系統(tǒng)某個參數的變化在在 平面上移動的平面上移動的軌跡軌跡B：n階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有n個根個根推知推知：必有：必有n條根軌跡反映這條根軌跡反映這n個根隨參數變化在個根隨參數變化在 平面上的移動平面上的移動sss一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則24A：系統(tǒng)特征方程式的：系統(tǒng)特征方程式的某些系數某些系數是系統(tǒng)開環(huán)根軌

15、跡增益是系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 的的函數函數，所以當，所以當 在在 之間連續(xù)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特之間連續(xù)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的某些征方程式的某些系數也隨之連續(xù)變化系數也隨之連續(xù)變化。故：閉環(huán)特征根的變化也是連續(xù)的，故：閉環(huán)特征根的變化也是連續(xù)的，根軌跡也是連續(xù)的根軌跡也是連續(xù)的。B：系統(tǒng)：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的系數閉環(huán)特征方程式的系數僅與僅與系統(tǒng)的參數有關系統(tǒng)的參數有關，對實，對實際的物理系統(tǒng)，這些參數都是際的物理系統(tǒng)，這些參數都是實數實數。故：對具有實系數的代數方程式，其根為實數、復數或零。故：對具有實系數的代數方程式，其根為實數、復數或零。若為復數，則必為若為復數，則必為對稱于實軸對稱于實軸

16、的共軛復數。的共軛復數。結論：根軌跡是結論：根軌跡是對稱于實軸的連續(xù)曲線對稱于實軸的連續(xù)曲線。2 2、 根軌跡的連續(xù)性和對稱性根軌跡的連續(xù)性和對稱性*K*K0一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則25根軌跡的根軌跡的起點起點：當：當 時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根(閉環(huán)閉環(huán)極點極點)在在 平面上的分布位置；平面上的分布位置；根軌跡的根軌跡的終點終點：當：當 時，閉環(huán)特征根在時，閉環(huán)特征根在 平面平面上的分布位置。上的分布位置。系統(tǒng)系統(tǒng)根軌跡方程根軌跡方程可寫成如下形式：可寫成如下形式： 或或3 3、根軌跡的起點和終點、根軌跡的起點和終點0* K*Ks1)()(11* niimj

17、jpszsK0)()(1*1 mjjniizsKpss一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則26當當 時，必須有時，必須有 故：此時閉環(huán)特征根與故：此時閉環(huán)特征根與開環(huán)極點開環(huán)極點重合。重合。當當 時，必須有時，必須有 故：此時閉環(huán)特征根與故：此時閉環(huán)特征根與開環(huán)零點開環(huán)零點重合。重合。注意注意： 若開環(huán)零點數目若開環(huán)零點數目 小于閉環(huán)特征根數目小于閉環(huán)特征根數目 ，則可認為，則可認為有有 個開環(huán)零點個開環(huán)零點位于無窮遠處位于無窮遠處。 0* K），（nipsi21 *K），（mjzsj21 nmmn 3 3、根軌跡的起點和終點、根軌跡的起點和終點一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪

18、制的基本法則27mnszspsKmnsmjjniis ,lim)()(lim11*因此：開環(huán)零點數目因此：開環(huán)零點數目 小于閉環(huán)特征根數目小于閉環(huán)特征根數目 ，可認為，可認為有有 個開環(huán)零點個開環(huán)零點位于無窮遠處位于無窮遠處。即：當時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根中有即：當時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根中有 個與個與開環(huán)零開環(huán)零點點重合，有重合，有 個分布在個分布在 平面的無窮遠處。平面的無窮遠處。nmmn *Ksmmn 3 3、 根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則28如果把有限數值的開環(huán)零點稱為如果把有限數值的開環(huán)零點稱為有限零點有限零點，把無窮遠處的，把無窮遠處的開

19、環(huán)零點稱為開環(huán)零點稱為無限零點無限零點，那么就有：，那么就有：結論：根軌跡結論：根軌跡起始于開環(huán)極點起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點終止于開環(huán)零點。在繪制在繪制其它參數其它參數變化下的根軌跡時，可能會出現變化下的根軌跡時，可能會出現 的情況。此時當的情況。此時當 時，必有時，必有 條根軌跡的條根軌跡的起點起點在無窮遠處在無窮遠處。把無窮遠處開環(huán)極點看成把無窮遠處開環(huán)極點看成無限極點無限極點，則上述結論同樣成立。，則上述結論同樣成立。nm 0* Knm 3 3、 根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則29由法則由法則3：當：當 時，將有時，將有 條根軌

20、跡條根軌跡終止于終止于 平面的無窮遠處平面的無窮遠處。下面討論這下面討論這 條根軌跡條根軌跡沿何方向沿何方向趨于無窮遠處。趨于無窮遠處。表征這些方位的稱為表征這些方位的稱為根軌跡漸近線根軌跡漸近線，由根軌跡方程得：，由根軌跡方程得：4 4、 根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線mns*1111111)()()()(Kpspszszsniinininmjjmjmjm mn mn 一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則30當當 時，由于時，由于 ，滿足上式的，滿足上式的 也必趨向也必趨向于無窮遠處，即于無窮遠處，即 ，此時上式，此時上式可近似可近似寫成：寫成： 亦即：亦即：兩邊兩邊開開 次方次方

21、可得：可得：*Kss*1111 )()(Kspzsnmniimjjnm *111)()(1Kspzsniimjjnm nm nm 4 4、 根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則31根據根據二項式定理二項式定理，將等式左邊展開得：，將等式左邊展開得：nmnmmjjniiKszps 1*111)1()1(11111(1)1()nmnmijijijijmnpzpzsmn s 112111(1)()2!nmijijpzmnmns L L4 4、根軌跡的漸近線、根軌跡的漸近線一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則32當當 很大很大時，時，近似近似有：有：

22、又可寫為：又可寫為：ssnmzpszpmjjniinmmjjnii)(1)1(11111 nmnmmjjniiKszps 1*111)1()1(mnmjjniiKmnzps 1*11)(這就是這就是漸近線方程漸近線方程，但，但不夠直接不夠直接。4 4、根軌跡的漸近線、根軌跡的漸近線一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則33若令若令 并代入上式，得：并代入上式，得：即：即：注意到：注意到： js mnmjjniiKmnzpj 1*11)( mnmnmjjniiKjmnzp 11*11)1()()( ), 1 ,0( 1)12( kekj 4 4、根軌跡的漸近線、根軌跡的漸近線一、根軌跡

23、繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則34則有：則有：mnkjmnmjjniieKjmnzp )12(1*11)()( mnzpmnkmnkmjjniiaa11110)12( ），（amnamnaKjKj sin)(cos)()(1*1* 令：令：則有：則有：4 4、根軌跡的漸近線、根軌跡的漸近線一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則35這就是漸近線方程式的這就是漸近線方程式的最終形式最終形式。上式上式實部、虛部分別相等實部、虛部分別相等，有：，有：相除可得：相除可得： 或：或： amnamnaKK sin)(cos)(1*1*aaaatg cossinaatg )( 4 4、根軌跡

24、的漸近線、根軌跡的漸近線一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則36顯然，在顯然，在 平面上，它是一個直線方程。平面上，它是一個直線方程。直線與直線與正實軸的夾角正實軸的夾角：直線與直線與實軸交點實軸交點：aatg )( s），（11 ,0)12( mnkmnka mnzpmjjniia 11 4 4、根軌跡的漸近線、根軌跡的漸近線一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則37 可得可得法則法則4 4：當系統(tǒng)開環(huán)有限極點數大于有限零點數時，：當系統(tǒng)開環(huán)有限極點數大于有限零點數時，系統(tǒng)有系統(tǒng)有 條根軌跡分支分別沿著條根軌跡分支分別沿著 條漸近線趨向條漸近線趨向于無窮遠處。于無窮遠處

25、。 這這 條漸近線在條漸近線在實軸的交點實軸的交點以及與以及與正正實軸的夾角實軸的夾角為：為： ），（110)12(11mnkmnkmnzpamjjniia mn mn mn 4 4、根軌跡的漸近線、根軌跡的漸近線一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則38根據根軌跡方程的根據根軌跡方程的相角條件相角條件考察考察實軸上的點實軸上的點 。 5 5、實軸上的根軌跡、實軸上的根軌跡 )12()()(11 kpszsniimjj1s結論結論A：在確定實軸上的根軌跡時，：在確定實軸上的根軌跡時，不必考慮開環(huán)復不必考慮開環(huán)復 數零點、極點數零點、極點的影響。的影響。A：開環(huán)系統(tǒng)：開環(huán)系統(tǒng)共軛復數極

26、點共軛復數極點(或零點或零點)到點到點 的向量的幅角和均的向量的幅角和均為為 ，故它們均不影響相角，故它們均不影響相角條件。條件。1s 21s1z3p4p2p1p2z3 4 1 2 一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則391s1z3p4p2p1p2z結論結論B：在確定實軸上的根軌跡時，：在確定實軸上的根軌跡時，不必考慮考察點左側不必考慮考察點左側的開環(huán)實數零、極點的影響。的開環(huán)實數零、極點的影響。5 5、實軸上的根軌跡、實軸上的根軌跡B： 位于考察點位于考察點 左側的開環(huán)實左側的開環(huán)實數零、極點到這一點的向量數零、極點到這一點的向量的幅角為零，它們不影響根的幅角為零，它們不影響根軌

27、跡中的相角條件。軌跡中的相角條件。1s一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則40結論結論：在確定實軸上的根軌跡時，只需考慮考察點：在確定實軸上的根軌跡時，只需考慮考察點 右側右側的開環(huán)實數零、極點的開環(huán)實數零、極點。1s1z3p4p2p1p2zC： 位于考察點位于考察點 右側的開環(huán)實右側的開環(huán)實數零、極點到這一點的向量數零、極點到這一點的向量的幅角為的幅角為 。1s 1801s5 5、實軸上的根軌跡、實軸上的根軌跡一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則41)180(180180180 pzpzNNNN若設考察點若設考察點 右側右側的開環(huán)的開環(huán)實數零點數實數零點數為為 ，開環(huán)

28、，開環(huán)實數實數極點數極點數為為 ，它們到考察點，它們到考察點 的向量之幅角為：的向量之幅角為：1szNpN1s而而 和和 代表代表相同角度相同角度，因此，上式又可寫成：，因此，上式又可寫成：根據根據相角條件相角條件，應有：，應有：要使上式成立，只有當要使上式成立，只有當 為奇數為奇數時。時。 180 180 180)(180180pzpzNNNN 180)12(180)(kNNpzpzNN 5 5、實軸上的根軌跡、實軸上的根軌跡一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則42法則法則5：實軸上的某一區(qū)域，若其實軸上的某一區(qū)域，若其右側右側的開環(huán)零、極點個數的開環(huán)零、極點個數之之和為奇數和為

29、奇數，則該區(qū)域必是根軌跡。，則該區(qū)域必是根軌跡。5 5、實軸上的根軌跡、實軸上的根軌跡一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則43兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在 平面上平面上相遇又立即相遇又立即分開的點分開的點，稱為根軌跡的，稱為根軌跡的會合點和分離點會合點和分離點。會合點和分離點的分布：會合點和分離點的分布：根軌跡對稱于實軸，故其分離點或位于根軌跡對稱于實軸，故其分離點或位于實軸上實軸上，或，或以以共軛成對共軛成對的形式出現在復平面中。的形式出現在復平面中。6 6、根軌跡的會合點和分離點、根軌跡的會合點和分離點sA A：一般情況下，常見的根軌跡分離點：一般情

30、況下，常見的根軌跡分離點位于實軸上位于實軸上。B B：如果根軌跡位于實軸上的：如果根軌跡位于實軸上的兩個開環(huán)極點兩個開環(huán)極點( (或零點或零點) )之之間間，則在這兩個開環(huán)極點，則在這兩個開環(huán)極點( (或零點或零點) )之間之間至少至少有一個有一個分離點。分離點。一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則44分離點的計算：分離點的計算： 會合點和分離點即為根軌跡的交點，它必為閉環(huán)會合點和分離點即為根軌跡的交點，它必為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)的重根重根。故可由。故可由特征方程和對特征方程求導聯(lián)解特征方程和對特征方程求導聯(lián)解得出。得出。 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：則系統(tǒng)的特征方程

31、式為：則系統(tǒng)的特征方程式為：)()()()()()()(*11*sNsMKpszsKsHsGsGniimjjK 6 6、根軌跡的會合點和分離點、根軌跡的會合點和分離點一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則45或：或：對上式求導可得：對上式求導可得：上兩式聯(lián)立，并上兩式聯(lián)立，并消去消去 ，得：，得：0)()(1)()(1)(1*11* sNsMKpszsKsGniimjjK0)()()()(*1*1 sMKsNzsKpsmjjnii0)()( )()(*1*1 sMKsNdsdzsKpsdsdmjjnii*K6 6、根軌跡的會合點和分離點、根軌跡的會合點和分離點一、根軌跡繪制的基本法則一、根軌跡繪制的基本法則46或寫成：或寫成：當已知當已知 和和 時，解上式，即可求得時，解上式，即可求得分離點。分離點。另外另外：也可根據根軌跡方程，推導出計算分離點：也可根據根軌跡方程，推導出計算分離點 的的方程：方程：0)()()(