多邊形邊角關(guān)系(思維訓(xùn)練含答案)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔知識(shí)要點(diǎn)梳理 定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。 凸多邊形 分類1： 凹多邊形正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。 分類2：多邊形非正多邊形：1、n邊形的內(nèi)角和等于180（n-2）。 多邊形的定理 2、任意凸形多邊形的外角和等于360。 3、n邊形的對(duì)角線條數(shù)等于1/2n（n-3） 只用一種正多邊形：3、4、6。 鑲嵌拼成360度的角 只用一種非正多邊形（全等）：3、4。知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念1、 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的

2、邊 頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn) 內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應(yīng)注意： 一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù)）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時(shí)要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件,其目的是為了排除幾個(gè)點(diǎn)不共面的情況,即空間多邊形. 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸多邊形. 凸多邊形 凹多邊形

3、 圖1 (2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角 形是邊數(shù)最少的多邊形知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點(diǎn)詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的對(duì)角線多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線. 如圖2，BD為四邊形ABCD的一條對(duì)角

4、線。要點(diǎn)詮釋：(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n2)個(gè)三角形。(2)n邊形共有條對(duì)角線。證明：過一個(gè)頂點(diǎn)有n3條對(duì)角線(n3的正整數(shù))，又共有n個(gè)頂點(diǎn)，共有n(n-3)條對(duì)角線，但過兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對(duì)角線重復(fù)了一次，凸n邊形，共有條對(duì)角線。知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式1.公式：邊形的內(nèi)角和為.2.公式的證明：證法1：在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和為，再減去一個(gè)周角，即得到邊形的內(nèi)角和為.證法2：從邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以作條對(duì)角線，并且邊形被分成個(gè)三角形，這個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.證法3：在邊形的一

5、邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，即.要點(diǎn)詮釋：(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。 知識(shí)點(diǎn)五：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。要點(diǎn)詮釋：(1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)

6、，求外角度數(shù). (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180(n3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加 1條邊，內(nèi)角和增加180。 多邊形的外角和等于360，與邊數(shù)的多少無關(guān)。知識(shí)點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360；相鄰的多邊形有公共邊。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之

7、和為360。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對(duì)于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形。事實(shí)上，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，要求k個(gè)正n邊形各有一個(gè)內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360，由此導(dǎo)出k2，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形

8、也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖： 又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)周角360。規(guī)律方法指導(dǎo)1內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少. 每增加一條邊，內(nèi)角的和 就增加180（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180的整數(shù)倍.2多邊形外角和恒等于360，

9、與邊數(shù)的多少無關(guān).3多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，最少 沒有鈍角.4在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié) 問題的常用方法.5在解決多邊形的內(nèi)角和問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是 研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.鞏固提高一、填空題1.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于900,那么這個(gè)多邊形是_7_邊形.2.一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于30,則這個(gè)多邊形邊數(shù)是_12_.3.n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)之比為2:7,則邊數(shù)為_9_.4.從一個(gè)多邊形的一

10、個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),一共做了10條對(duì)角線,則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為_1980度.5.在四邊形ABCD中,如果A:B:C:D=1:2:3:4,則D=_144_.6.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )7、正n邊形的一個(gè)外角等于它的一個(gè)內(nèi)角的，則n=_.8、正n邊形的一個(gè)內(nèi)角等于150，則從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引_條對(duì)角線.9、一個(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角后，其余各內(nèi)角的和為2780，則除去的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_. 11.從n邊形(n3)的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫_ n-3_條對(duì)角線，這些對(duì)角線把n邊形分成_ n-2_三角形，分得三角形內(nèi)角的總和與多邊形的內(nèi)角和_相等_。 12.如果一個(gè)

11、多邊形的內(nèi)角和與它的外角和相等，那么這個(gè)多邊形是_四_邊形。13.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和5倍，那么這個(gè)多邊形是_12_邊形。14.若n邊形的每個(gè)內(nèi)角都是150，則n=_12_。16.如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且內(nèi)角的度數(shù)是與它相鄰的外角度數(shù)的2倍，那么這個(gè)邊形的每個(gè)內(nèi)角是_120_度，其內(nèi)角和等于_720_度。18.一個(gè)多邊形的外角和是它的內(nèi)角和的，這個(gè)多邊形是_10_邊形。19.如果十邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，那么它的每個(gè)內(nèi)角都等于_144_度，每個(gè)外角都等于_36_度。21.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1800，則這個(gè)多邊形是_12_邊形；如果一個(gè)邊形每一個(gè)內(nèi)角都是135，則

12、_8_；如果一個(gè)邊形每一個(gè)外角都是36，則_10_。26.多邊形的邊數(shù)增加一條時(shí)，其外角和 ，內(nèi)角和增加 .29.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等,且每一個(gè)內(nèi)角都大于135, 那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)最少為_.30.已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等,一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比為9:2,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_.37.從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),一共做了10條對(duì)角線,則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為_度.44個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是300， 則這個(gè)多邊形是 邊形45.一個(gè)五邊形五個(gè)外角的比是2：3：4：5：6，則這個(gè)五邊形五個(gè)外角的度數(shù)分別是 63.若凸邊形的內(nèi)角和為1260，則從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引的對(duì)角線條數(shù)是_

13、【答案】665.如圖5，四邊形ABCD中，若去掉一個(gè)60o的角得到一個(gè)五邊形，則1+2=_度圖5思路導(dǎo)引：根據(jù)題意，結(jié)合平角定義以及三角形的內(nèi)角和，三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行解答解析：12=360（180A）=180A=240點(diǎn)評(píng)：靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和、三角形的外角以及多邊形的內(nèi)角和、外角和是解答與多邊形有關(guān)的角度計(jì)算問題的基礎(chǔ).66.如圖，1、2、3、4是五邊形ABCDE的4個(gè)外角，若A=1200，則1+2+3+4= . 解析：由于多邊形的外角和均為3600，因而1、2、3、4 及 其A的領(lǐng)補(bǔ)角這五個(gè)角的和為3600，A的領(lǐng)補(bǔ)角為600，所 以1+2+3+4=3600-600=3000.答案：3

14、000.點(diǎn)評(píng)：多邊形的外角和均為3600，常用這一結(jié)論求多邊形的邊數(shù)、外 角的度數(shù)等問題.69.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 .【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意可得，（n-2）180=360解得，n=5【答案】5.【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，只要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解二、選擇題2.若一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外,其余各內(nèi)角之和是2570,則這個(gè)角是( D ) A.90 B.15 C.120 D.1303.在多邊形的內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)不能多于( B ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)4.n邊形的邊數(shù)增加一倍,它的內(nèi)角和增

15、加( C ) A.180 B.360 C.(n-2).180 D.n.1806、若多邊形的邊數(shù)由3增加到（為正整數(shù)），則其外角和的度數(shù)（ ） A、增加 B、減少 C、不變 D、不能確定7、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ） A、5條 B、6條 C、 7條 D、8條8、下列說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)： （ ）（1）、任意一個(gè)三角形的三條高至少有一條在此三角形內(nèi)部；（2）、若線段a、b、c滿足，以為邊能構(gòu)成一個(gè)三角形；（3）、一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)共引出三條對(duì)角線，此多邊形一定是五邊形（4）、多邊形中內(nèi)角最多有2個(gè)是銳角；（5）、一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)角不小于（6）、以為底的等腰

16、三角形其腰長(zhǎng)一定大于（7）、一個(gè)多邊形增加一條邊，那它的外均增加。A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)9、下列說法中，等邊三角形是等腰三角形；三角形外角和大于這個(gè)三角形內(nèi)角和；四邊形的內(nèi)角最多可以有三個(gè)鈍角；多邊形的對(duì)角線有7條，正確的個(gè)數(shù)有幾個(gè)( )A1B2C3D410、如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1倍，它的內(nèi)角和是2160，那么原來那個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )A5B6C7D811、a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)后等于( )ABCD12、一個(gè)n邊形削去一個(gè)角后，變成(n+1)邊形的內(nèi)角和為2520，則原n邊形的邊數(shù)是( )A7B10C14D1515.某學(xué)生在計(jì)算四個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，得到下列四個(gè)

17、答案，其中錯(cuò)誤的是（C）A.180 B.540 C.1900 D.108017.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的n倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（D）.n .2n-2 .2n .2n+218.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角（不過頂點(diǎn)）后，形成的多邊形的內(nèi)角和是2520，那么原多邊形的邊數(shù)是（C）.13 .14 .15 .13或15 20.一個(gè)多邊形中，除一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和是120，則這個(gè)角的度數(shù)是（A）.60 .80 .100 .12030.若把一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和是25200，那么原多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為( )A.8 B.9 C.6 D.1042.在多邊形的內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)不能多于(

18、 ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)44、一個(gè)多邊形的外角中,鈍角的個(gè)數(shù)不可能是( )毛 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)45.若一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等,則一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比不可能是( ) A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:446.一個(gè)多邊形的內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)最多有( ) A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)47.四邊形中,如果有一組對(duì)角都是直角,那么另一組對(duì)角可能( ) A.都是鈍角; B.都是銳角 C.是一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角 D.是一個(gè)銳角、一個(gè)直角54.如圖所示,各邊相等的五邊形ABCDE中,若ABC=2DBE,則ABC等于( ) A.60 B.120 C.90 D.4568.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和小于其外角和,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 A3 B4 C5 D6【答案】A 69.下列命題是假命題的是A三角形的內(nèi)角和是180oB多邊形的外角和都等于360oC五邊形的內(nèi)角和是900oD三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和【答案】C 三、簡(jiǎn)答題1.一個(gè)多邊形的最大外角為85,其他外角依次減少10, 求這個(gè)多邊形的邊數(shù).（6）2.已知:如圖,五邊形ABCDE中,AE/CD,A=107,B=121,求C的度數(shù).（132）4.已知:過m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線,n