圓中的壓軸題

1、圓中的壓軸題?？贾R(shí)點(diǎn)：1、說(shuō)明某條線是切線（兩種?？挤桨福环N是說(shuō)明垂直，另一種是說(shuō)明距離相等）2、利用K形相似或其他特殊條件（等腰三角形，直角三角形）求解線段長(zhǎng)度3、利用切線性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P（4，2）是O外一點(diǎn)，連接AP，直線PB與O相切于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C（1）證明PA是O的切線；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）求直線AB的解析式解：（1）證明：依題意可知，A（0，2）A（0，2），P（4，2），APx軸 OAP=90°，且點(diǎn)A在O上，PA是O的切線； （2）解法一：連接OP，OB，作PEx軸于點(diǎn)E，BDx

2、軸于點(diǎn)D，PB切O于點(diǎn)B，OBP=90°，即OBP=PEC，又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC（或證RtOAPOBP，再得到OC=PC也可）設(shè)OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2+PE2，x2=(4x)2+22，解得x=， 4分BC=CE=4=，OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，BD=OD=，由點(diǎn)B在第四象限可知B（，）； 解法二：連接OP，OB，作PEx軸于點(diǎn)E，BDy軸于點(diǎn)D，PB切O于點(diǎn)B，OBP=90°即OBP=PEC又OB=

3、PE=2，OCB=PEC，OBCPECOC=PC（或證RtOAPOBP，再得到OC=PC也可）設(shè)OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2PE2,x2=(4x)2+22，解得x=， 4分BC=CE=4=，BDx軸，COB=OBD，又OBC=BDO=90°，OBCBDO， =，即=BD=，OD=由點(diǎn)B在第四象限可知B（，）； （3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由A（0，2），B（，），可得； 解得直線AB的解析式為y=2x+2【考點(diǎn)解剖】 本題考查了切線的判定、全等、相似、勾股定理、等面積法求邊長(zhǎng)、點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等【

4、解題思路】（1） 點(diǎn)A在圓上，要證PA是圓的切線，只要證PAOA（OAP=90°）即可，由A、P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等可得APx軸，所以有OAP+AOC=180°得OAP=90°；（2） 要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的意義，就是要求出點(diǎn)B到x軸、y軸的距離，自然想到構(gòu)造RtOBD，由PB又是O的切線，得RtOAPOBP，從而得OPC為等腰三角形，在RtPCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出關(guān)于CE的方程可求出CE、OC的長(zhǎng)，OBC的三邊的長(zhǎng)知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式【方法規(guī)

5、律】 從整體把握?qǐng)D形，找全等、相似、等腰三角形；求線段的長(zhǎng)要從局部入手，若是直角三角形則用勾股定理，若是相似則用比例式求，要掌握一些求線段長(zhǎng)的常用思路和方法.例2：如圖所示，AB是O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過(guò)C作CDAB于點(diǎn)D，CD交AE于點(diǎn)F，過(guò)C作CGAE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G（1）求證：CG是O的切線（2）求證：AF=CF（3）若EAB=30°，CF=2，求GA的長(zhǎng)考點(diǎn)：切線的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)3718684分析：（1）連結(jié)OC，由C是劣弧AE的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得OCAE，而CGAE，所以CGOC，然后根據(jù)切

6、線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連結(jié)AC、BC，根據(jù)圓周角定理得ACB=90°，B=1，而CDAB，則CDB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到B=2，所以1=2，于是得到AF=CF；（3）在RtADF中，由于DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DF=1，AD=，再由AFCG，根據(jù)平行線分線段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入計(jì)算即可解：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，C是劣弧AE的中點(diǎn)，OCAE，CGAE，CGOC，CG是O的切線；（2）證明：連結(jié)AC、BC，AB是O的直徑，ACB=90°，2

7、+BCD=90°，而CDAB，B+BCD=90°，B=2，AC弧=CE弧，1=B，1=2，AF=CF；（3）解：在RtADF中，DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，DF=AF=1，AD=DF=，AFCG，DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，AG=2點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的判定：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線也考查了圓周角定理、垂徑定理和等腰三角形的判定例3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的O上，連接OC，過(guò)O點(diǎn)作ODOC，OD與O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C、O、D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接AB（1）當(dāng)OCAB

8、時(shí)，BOC的度數(shù)為45°或135°；（2）連接AC，BC，當(dāng)點(diǎn)C在O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ABC的面積最大？并求出ABC的面積的最大值（3）連接AD，當(dāng)OCAD時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；直線BC是否為O的切線？請(qǐng)作出判斷，并說(shuō)明理由考點(diǎn)：圓的綜合題3718684專題：綜合題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易得OAB為等腰直角三角形，則OBA=45°，由于OCAB，所以當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，有BOC=OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，有BOC=180°OBA=135°；（2）由OAB為等腰直角三角形得AB=OA=6，根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)C到

9、AB的距離最大時(shí)，ABC的面積最大，過(guò)O點(diǎn)作OEAB于E，OE的反向延長(zhǎng)線交O于C，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OE，然后計(jì)算ABC的面積；（3）過(guò)C點(diǎn)作CFx軸于F，易證RtOCFRtAOD，則=，即=，解得CF=，再利用勾股定理計(jì)算出OF=，則可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；由于OC=3，OF=，所以COF=30°，則可得到BOC=60°，AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷BOCAOD，所以BCO=ADC=90°，再根據(jù)切線的判定定理可確定直線BC為O的切線解：解：（1）點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），OA=OB=6，

10、OAB為等腰直角三角形，OBA=45°，OCAB，當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，BOC=OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，BOC=180°OBA=135°；（2）OAB為等腰直角三角形，AB=OA=6，當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，ABC的面積最大，過(guò)O點(diǎn)作OEAB于E，OE的反向延長(zhǎng)線交O于C，如圖，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)，OAB為等腰直角三角形，AB=OA=6，OE=AB=3，CE=OC+CE=3+3，ABC的面積=CEAB=×（3+3）×6=9+18當(dāng)點(diǎn)C在O上運(yùn)動(dòng)到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時(shí)，ABC的面積最大，最大

11、值為9+18（3）如圖，過(guò)C點(diǎn)作CFx軸于F，OCAD，ADO=COD=90°，DOA+DAO=90°而DOA+COF=90°，COF=DAO，RtOCFRtAOD，=，即=，解得CF=，在RtOCF中，OF=，C點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；直線BC是O的切線理由如下：在RtOCF中，OC=3，OF=，COF=30°，OAD=30°，BOC=60°，AOD=60°，在BOC和AOD中，BOCAOD（SAS），BCO=ADC=90°，OCBC，直線BC為O的切線點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的判定定理、平行線的性質(zhì)和等腰直

12、角三角形的判定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算例4：【新定義問(wèn)題】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系O中的點(diǎn)P和C，給出如下定義：若C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得APB=60°，則稱P為C 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。已知點(diǎn)D（，），E（0，-2），F(xiàn)（，0）（1）當(dāng)O的半徑為1時(shí)，在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_；過(guò)點(diǎn)F作直線交軸正半軸于點(diǎn)G，使GFO=30°，若直線上的點(diǎn)P（，）是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑的取值范圍?！窘馕觥?1) ； 由題意可知，若點(diǎn)要?jiǎng)偤檬菆A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)； 需要點(diǎn)到圓的兩條切線和之間所夾的角度為；由圖可知，則，連接，則

13、；若點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；則需點(diǎn)到圓心的距離滿足；由上述證明可知，考慮臨界位置的點(diǎn)，如圖2；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；過(guò)作軸的垂線，垂足為；易得點(diǎn)與點(diǎn)重合，過(guò)作軸于點(diǎn)；易得；從而若點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)必在線段上；(2) 若線段上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小， 則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段的中點(diǎn)；考慮臨界情況，如圖3；即恰好點(diǎn)為圓的關(guān)聯(lián)時(shí)，則；此時(shí)；故若線段上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑的取值范圍為. 【點(diǎn)評(píng)】“新定義”問(wèn)題最關(guān)鍵的是要能夠把“新定義”轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí)，通過(guò)第(2)問(wèn)開頭部分的解析，可以看出本題的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”本質(zhì)就是到圓心的距離小于或等于倍半徑的點(diǎn).了解了這一點(diǎn)，在結(jié)

14、合平面直角坐標(biāo)系和圓的知識(shí)去解答就事半功倍了.例5：射線QN與等邊ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒，以點(diǎn)P為圓心，cm為半徑的圓與ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫出t可取的一切值 （單位：秒）考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)專題：分類討論分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60°，分為三種情況：畫出圖形，結(jié)合圖形求出即可；解答：解：ABC是等邊三角形，AB=AC=BC=AM+MB=4cm，A=C=B=60°，QN

15、AC，AM=BMN為BC中點(diǎn)，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60°，分為三種情況：如圖1，當(dāng)P切AB于M時(shí)，連接PM，則PM=cm，PMM=90°，PMM=BMN=60°，MM=1cm，PM=2MM=2cm，QP=4cm2cm=2cm，即t=2；如圖2，當(dāng)P于AC切于A點(diǎn)時(shí)，連接PA，則CAP=APM=90°，PMA=BMN=60°，AP=cm，PM=1cm，QP=4cm1cm=3cm，即t=3，當(dāng)當(dāng)P于AC切于C點(diǎn)時(shí)，連接PC，則CPN=ACP=90°，PNC=BNM=60°，CP=cm，PN=1cm，QP=

16、4cm+2cm+1cm=7cm，即當(dāng)3t7時(shí)，P和AC邊相切；如圖1，當(dāng)P切BC于N時(shí)，連接PN3則PN=cm，PMNN=90°，PNN=BNM=60°，NN=1cm，PN=2NN=2cm，QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案為：t=2或3t7或t=8點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，切線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算的能力，注意要進(jìn)行分類討論?。?013巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作P的正半軸交

17、于點(diǎn)C（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）試說(shuō)明直線MC與P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切線的判定245761 專題：計(jì)算題分析：（1）求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；（2）求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程組，求出方程組的解

18、即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出PCD=90°，即可求出答案解答：解：（1）A（4，0），B（1，0），AB=5，半徑是PC=PB=PA=，OP=1=，在CPO中，由勾股定理得：OC=2，C（0，2），設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x4）（x+1），把C（0，2）代入得：2=a（04）（0+1），a=，y=（x4）（x+1）=x2+x+2，答：經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=x2+x+2（2）y=x2+x+2=+，M（，），設(shè)直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，y=x+2，y=x+2答：直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=x+2（3）MC與P的位置關(guān)系是相切證明：設(shè)直線MC交x軸于D，當(dāng)y=0時(shí)，0=x+2，x=，OD=，D（，0），在COD中，由勾股定理得：CD2=22+=，PC2=，PD2=，CD2+PC2=PD2，PCD=90°，PCDC，P