單擺實(shí)驗(yàn)的改進(jìn) 畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、 單擺實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)摘要:介紹了單擺實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法，從理論推導(dǎo)上將擺角擴(kuò)展到任意角；并提高了誤差的修正精度.；介紹了用計(jì)算機(jī)輔助測(cè)量單擺的振幅和周期的關(guān)系；介紹了用”漸進(jìn)法”加大了周期的測(cè)量精度；從實(shí)驗(yàn)裝置上進(jìn)行了改良；給出了擺角的測(cè)量方案；從測(cè)量方法上更好的比較了多種測(cè)量方法，得出了更好的測(cè)量方法。關(guān)鍵詞:單擺；漸進(jìn)法；計(jì)算機(jī)輔助測(cè)量；線性/非線性振動(dòng)。 Improvement of the phys, simple pendulum experimentAbstract : Introduce phys, simple pendulum improvement experiment met

2、hod of experiment , derive from theory general wave corner expand wanton corner to; And has improved the precision of revision of the error. Recommend and assist and measure amplitude and relation of cycle of phys, simple pendulum with computer. Recommend with" advance gradually law" and s

3、trengthen the precision of measurement of cycle. Have improved from experimental provision, has got off the measurement scheme which puts the angle; From measure fine many kinds of measurement method at the method, draw kind measurement method.Keyword: Phys, simple pendulum, advancing gradually law,

4、 the computer assists measurement, Linear / non-linear vibration.1引言單擺實(shí)驗(yàn)是一個(gè)古老的實(shí)驗(yàn),伽利略用單擺測(cè)出了大約的重力加速度.在單擺實(shí)驗(yàn)測(cè)量重力加速度的過程中,存在著許多影響精度測(cè)量的因素,我們應(yīng)考慮這些不利因素,改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)方法,推導(dǎo)更合理的理論計(jì)算公式,修正系統(tǒng)的誤差.2 單擺實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)2.1 單擺的理論公式，實(shí)驗(yàn)條件和實(shí)驗(yàn)安排單擺的理想模型一根細(xì)線上端固定，下端系一金屬小球。細(xì)線質(zhì)量與小球質(zhì)量相比可以略不記，球的直徑相比擺長(zhǎng)的長(zhǎng)度可以忽略不記而作為質(zhì)點(diǎn).設(shè)擺長(zhǎng)L，重力加速度g，其運(yùn)動(dòng)方程： 當(dāng)擺角很小時(shí). ,s

5、in0式中及取決于初始條件。 ，為故單擺周期圓頻率故 可見，理想單擺周期T只與單擺擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)，若測(cè)得擺長(zhǎng)和周期，就可求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?圖（1） 單擺實(shí)驗(yàn)理論圖2.1.2 現(xiàn)實(shí)的模型（為任意角）不對(duì)角進(jìn)行近似，及回復(fù)力： （a）由機(jī)械能守恒： （b）由（a），（b）可得： （1）上式可以寫成： 略去高次項(xiàng)，保留二次小量。有： （2）很小時(shí)，取零級(jí)近似有： （3） 式（3）中要求擺角的說法欠準(zhǔn)確。在此提出質(zhì)疑： 由（2）式算得： 表一 擺角變化對(duì)周期的影響 1.000076 1.00017 1.00048 1.0019 1.0075 1.017 1.037式（2）與式（3）比

6、較：當(dāng)時(shí)，有約萬分之五（0.00048）的差別，因此我們不能把式（3）成立的條件寫作；因?yàn)槿绻挥?jì)擺角影響，我們要求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度高于萬分之五時(shí)，就夠了。反之，如果我們?nèi)菰S實(shí)驗(yàn)的不高于千分之二時(shí)，式（2）與式（3）差0.0019也是允許的2.1.6 用擺長(zhǎng)差求g 在物理實(shí)驗(yàn)中常常不去測(cè)量物理量本身，而去測(cè)量其改變量。如測(cè)量金屬絲在外力下的伸長(zhǎng)量，材料受熱膨脹量等。在改變量相對(duì)于物理量本身是一個(gè)小量的情況下可以得到較好的結(jié)果。這里用測(cè)量擺長(zhǎng)差來代替直接測(cè)量擺長(zhǎng)本身（擺球的重心難于準(zhǔn)確測(cè)定）。如右圖所示：設(shè)l1為懸線的長(zhǎng)度，r為擺球的半徑， 周期為T1，則擺長(zhǎng) （4）改變的長(zhǎng)度為，相應(yīng)的周期為2

7、則擺長(zhǎng)為 （5）以上兩式（4）-（5）得： 即 代入（1）式中： 但是擺長(zhǎng)差求g有局限性：如果能精確測(cè)量擺長(zhǎng)，有 用擺線差 有 設(shè) 則 可見越小，結(jié)果越不好；只有在擺球是不規(guī)則物體或直接測(cè)不準(zhǔn)時(shí)，采用擺長(zhǎng)差的方法。2.2 實(shí)驗(yàn)裝置及測(cè)量?jī)x器 卡線機(jī)制 單擺的基本結(jié)構(gòu)是用線吊起一個(gè)擺球。單擺的懸點(diǎn)要在一個(gè)點(diǎn)上，把擺線緊緊卡住。擺線通過一個(gè)小孔垂下（圖5）是不好的。這樣在擺動(dòng)時(shí)的擺長(zhǎng)是一個(gè)不確定量?？ň€的辦法很多：用螺絲.夾板等都可以。用一個(gè)釘在墻上的斜刀也可以（圖6）。 卡線裝置 擺球 擺球常用鐵制。為了吊線，擺球上方會(huì)有一個(gè)“凸起”圖7a。加工擺球時(shí)可以挖出一個(gè)空隙與a補(bǔ)償，以免影響質(zhì)心的位置

8、。設(shè)擺球的直徑為28cm，a的線度為4cm，則a與擺球的質(zhì)量的質(zhì)量比為（4/28）3 1/343。a的存在將會(huì)使球的質(zhì)心偏離球心（28mm/2）*（1/343）0.04mm，即使沒有補(bǔ)償，也不會(huì)影響擺長(zhǎng)的測(cè)量結(jié)果。為了用光電計(jì)時(shí)器計(jì)時(shí)，擺球的底面加一個(gè)擋光板圖7（a），也可獲得與“突起”a的補(bǔ)償效果擺球2.2.3 擺線 擺線用很系的鋼絲為好,利用圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可以計(jì)算出擺線在各時(shí)刻的受力.估計(jì)其最大受力及伸長(zhǎng).可以得到t的改變量及對(duì)g的影響的數(shù)量級(jí).擺線的選擇應(yīng)該使其影響可略去.尼龍絲的楊氏摸量小,相對(duì)伸長(zhǎng)大,是不好的. 計(jì)時(shí)器.米尺和測(cè)擺角裝置 計(jì)時(shí)器用合格的石英振蕩電子秒表,在常溫下,可

9、以達(dá)到10 的精度,所以不需校準(zhǔn);機(jī)械秒表就必須校準(zhǔn).隨便的秒表是不可以用的.用光電計(jì)時(shí)器可以把測(cè)得的精確度0提高一個(gè)數(shù)量級(jí). 測(cè)l要用帶卡口的長(zhǎng)于1m的米尺 ,游標(biāo)尺是不必要的.用測(cè)高儀測(cè)量擺長(zhǎng)可以提高精度.在擺線后面加一塊表面有一豎直的平面鏡(圖8)可以減少視覺差,利用弧度尺(圖9a)或直尺(圖9b)都可以判斷或估算擺角: 擺角測(cè)量裝置2.3 測(cè)量2.3.1擺長(zhǎng)和擺球直徑 用帶卡口的長(zhǎng)米尺可以把擺長(zhǎng)的估讀誤差降低到小于0.5mm,比較以下三種測(cè)量方案:圖10（a）是直接測(cè)量。如果擺球半徑，則利用代替的誤差為小于估讀誤差。這種方法的缺點(diǎn)是p點(diǎn)不易找準(zhǔn)，帶來較大誤差。 圖10（b）是測(cè)量及，這

10、種方法可能會(huì)把擺線伸長(zhǎng)。圖10（c）是測(cè)量及，這種方法較好，是三種方案中最好的。擺球直徑用游標(biāo)卡尺測(cè)量，一次測(cè)量以足夠，誤差可以不計(jì)。必須測(cè)量沿懸線方向的直徑如圖11（a），不能去測(cè)量其他方向的。為此，可以把擺球做的略橢，且視看出來、從數(shù)據(jù)上可以看出來，要從不同起點(diǎn)多次測(cè)量，各次間相差應(yīng)不超過1cm，這樣如取=100cm，經(jīng)過多次測(cè)量的誤差為10-4。 擺角測(cè)量裝置2.3.2 周期2.3.2.1 用光電計(jì)時(shí)器測(cè)周期，用累積的方法，每次測(cè)n個(gè)周期得nT，測(cè)幾十個(gè)周期的相對(duì)誤差可減為測(cè)一個(gè)周期的1/n，算回到一個(gè)周期比測(cè)一個(gè)周期其絕對(duì)誤差亦減少為1/n，如果=100cm. ，則，各次間相差應(yīng)不超過

11、0.2s，則多次平均誤差在10-4 。 可考慮nT中n=？ 共測(cè)多少次？如果5次與n=50，測(cè)3次，那種好？注意：要在擺球過最底點(diǎn)時(shí)計(jì)時(shí)，這時(shí)擺球運(yùn)動(dòng)速度最快，理論上誤差最小。光電計(jì)時(shí)器的接收器進(jìn)光縫要窄，要放在最低位置以減少阻尼引起的誤差。 .2上面一般常測(cè)量幾十個(gè)及至n個(gè)周期的時(shí)間間隔，再除以振動(dòng)次數(shù)n，即可以得到較精確的周期值。實(shí)驗(yàn)者在累計(jì)振動(dòng)次數(shù)時(shí)常因疲勞而數(shù)錯(cuò)振動(dòng)次數(shù)，于是產(chǎn)生較大的誤差。這里采用“漸進(jìn)法”測(cè)量單擺的周期：可以數(shù)較少的振動(dòng)次數(shù)來獲得較高精度的周期值。 先測(cè)定n1個(gè)周期的時(shí)間間隔t1，一般取n1的值較?。ㄈ鏽1=30），由此得到的周期當(dāng)然不夠精確，但是可以作為一次近似值

12、T01，T01= t1/ n1，當(dāng)單擺繼續(xù)平穩(wěn)振動(dòng)通過平衡位置可重新計(jì)時(shí)，此時(shí)實(shí)驗(yàn)者可不必去數(shù)振動(dòng)次數(shù)，經(jīng)過一段較長(zhǎng)時(shí)間后當(dāng)單擺再度與初始相同方向經(jīng)過平衡位置時(shí)，記錄該段的時(shí)間間隔t2，其間的振動(dòng)次數(shù)n2理應(yīng)為整數(shù)。但計(jì)算t2/T01值時(shí)常出現(xiàn)小數(shù)位值。于是將該小數(shù)位值按四舍五入原則處理，其整數(shù)值就選定為n2，這樣就可以的到比T01更精確的周期T02. T02= t2/ n2. 一般取n2值較大（如n2為100左右）。在采用“漸進(jìn)法”進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐時(shí)，常發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算出來的t2/T01其小數(shù)位出現(xiàn)了3，4，5，6和7等數(shù)，并常伴最后得出的重力加速度值有較大的誤差，究其原因：主要是由于

13、時(shí)間間隔的測(cè)量誤差（t1和t2）較大引起的。如果一擺長(zhǎng)的單擺振動(dòng)周期的正確值T0正好為2s，分別測(cè)定這個(gè)擺30個(gè)， 100個(gè)周期的時(shí)間間隔t1。t2，在其測(cè)量誤差分別為. . 秒時(shí)，可以算出相應(yīng)的t2/T01（設(shè)該值為）。其結(jié)果如下表所示：表二 漸進(jìn)法測(cè)周期表 t2t1 n/2200.0200.1199.9200.2199.8200.3199.760.0100.0100.1100.0100.199.9100.299.960.199.999.999.8100.099.8100.099.759.9100.2100.2100.1100.3100.1100.3100.060.299.799.799.6

14、99.899.699.899.559.8100.4100.4100.3100.4100.3100.5*100.260.399.599.699.599.699.499.799.459.7100.5*1006*100.5*100.6*100.4100.7*100.4從表中可知，只有在.均在0.1s以下，n2的小數(shù)位上僅出現(xiàn)1，2，8，9；當(dāng).達(dá)0.2s時(shí)，n2的小數(shù)位上就出現(xiàn)了19各數(shù)；此時(shí)由n2小數(shù)位值按四舍五入原則處理得到。如表中打*號(hào)的數(shù)，雖然其小數(shù)位數(shù)大于5，但不能進(jìn)位取n2等于101。表中打號(hào)的數(shù)，其小數(shù)位數(shù)小于4，但不能舍去取n2等于99。如n2值計(jì)錯(cuò)一次，將導(dǎo)致g值的相對(duì)誤差達(dá)百分之

15、二。由于： 一般情況下滿足： .所以 與的偏差為，只有當(dāng)滿足時(shí)才由按四舍五入原則處理得到正確的值，由于/ n11，所以的影響要比大。適當(dāng)增加t1測(cè)量次數(shù)并取其平均值，則可以減?。蝗? n1值選取過大，會(huì)使變大。可采用“二步漸進(jìn)法”來克服這個(gè)缺點(diǎn)。如第一次測(cè)30個(gè)周期（n1=30）的時(shí)間間隔t1，第二次根據(jù)T01值測(cè)大約65個(gè)周期的時(shí)間間隔t2（n2=65），第三次再根據(jù)T02值測(cè)約140個(gè)周期的時(shí)間間隔t3（n3=140）。于是根據(jù)n3值計(jì)算出的T03值比T02更接近T0值，不難證明，即使t1. t2 . t3的測(cè)量誤差絕對(duì)值君達(dá)0.3秒，相應(yīng)的 和的絕對(duì)值也不會(huì)超過0.5，這種方法既有較高的

16、測(cè)量精度，又允許時(shí)間測(cè)量可有稍大的誤差，是一種較佳的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方案。 單擺2.3.3.1 前面已經(jīng)推導(dǎo)了擺角為任意角時(shí)的周期公式: 從理論上推導(dǎo)了周期與擺角(振幅)的關(guān)系.但是通常的實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量單擺的振動(dòng)周期與振幅的關(guān)系很困難,在本實(shí)驗(yàn)中用計(jì)算輔助測(cè)量,使實(shí)驗(yàn)的精度和效益大為提高.2.3.3.2 測(cè)量裝置簡(jiǎn)圖如圖1所示:將兩組高亮度發(fā)光二極管和光電三極管固定在板上,兩組間距4cm,放于o點(diǎn)下方.擺錘在擺動(dòng)時(shí), 光電三極管會(huì)不斷產(chǎn)生脈沖信號(hào),經(jīng)整形與放大電路后變成符合要求的脈沖信號(hào),供計(jì)算機(jī)測(cè)量并計(jì)算周期和振幅. 設(shè)發(fā)光二極管被擋住光的時(shí)刻為,被擋住光的時(shí)刻為;擺錘返回時(shí)經(jīng)時(shí)刻為,經(jīng)過為; 擺錘又

17、一次改變方向,經(jīng)過被擋光的時(shí)刻為,時(shí)刻為.則單擺的振動(dòng)周期為: 擺錘通過第一光門的速度: ;通過第二光電門的速度: .由于空氣的粘度為量級(jí).實(shí)驗(yàn)中所用的擺錘是500g 不銹鋼球,因此空氣阻力的量級(jí)為N,故空氣阻力可以忽略.根據(jù)機(jī)械能守恒定律,在測(cè)量某一擺角周期的時(shí)間范圍內(nèi)其振幅的計(jì)算公式為: 式中l(wèi)為擺長(zhǎng),g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣? 本實(shí)驗(yàn)中擺長(zhǎng)為50cm,時(shí)間分辨率為16bit.由于篇幅的限制,這里只給出測(cè)量的部分?jǐn)?shù)據(jù): 表三 振幅與周期的關(guān)系表/deg 52.62 54.03 58.56 60.90 65.82 70.10 75.56 77.12 79.08 81.31T/s 1.500 1.

18、504 1.520 1.526 1.549 1.568 1.592 1.600 1.608 1.616由數(shù)據(jù)可知:單擺的周期隨幅度的增加而增加.單擺的振動(dòng)理論方程為: (6)用龍格-庫(kù)塔法解該方程.初始條件為: , 將(3)式二階方程轉(zhuǎn)化為一階方程組的初值問題: 初始條件: 步長(zhǎng)h=0.1m, 這時(shí).其四階龍格-庫(kù)塔公式有以下形式: (7)其中 由（6）式求出單擺的振動(dòng)周期和幅度的理論關(guān)系，如下圖中實(shí)線所示（圖中表示測(cè)量值），從圖中可以看出實(shí)驗(yàn)與理論符合的很好。單擺在擺角小于5度近似線形振動(dòng)，大于5度明顯非線形振動(dòng)。 2.4 系統(tǒng)誤差的歸結(jié)和修正2.4.1 復(fù)擺的修正實(shí)際上，任何單擺都不是理想

19、的。例如，擺球并非質(zhì)點(diǎn)，繞懸點(diǎn)有轉(zhuǎn)慣量外，還應(yīng)考慮其擺動(dòng)過程中繞其自身轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；擺線也有一定質(zhì)量，重力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，繞懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: 。 若不計(jì)空氣阻力和浮力，則由轉(zhuǎn)動(dòng)定理可得： （4.1）當(dāng)擺角時(shí), 上式變?yōu)楣蕪?fù)擺的周期: 考慮到 .利用二項(xiàng)式展開,再略去高次項(xiàng)有: 浮力的校正設(shè)空氣的密度為,擺球的密度為.由于空氣的浮力的影響。根據(jù)（4.1）式有： （4. 2）考慮到， .利用二項(xiàng)式展開,再略去高次項(xiàng) 擺角的修正 在（4. 2）式中，如果擺角不太小時(shí)，根據(jù)振動(dòng)理論其振動(dòng)周期： 略去高次項(xiàng)，作二次近似有： （4.3） 阻尼的修正實(shí)際上，由于擺球振動(dòng)時(shí)還受到空氣的阻力作用。振幅要逐漸減小，

20、最終要停下來。它不是作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是作阻尼振動(dòng)。在擺球運(yùn)動(dòng)速度不太大時(shí)，阻力與速度成正比，方向總是和速度方向相反，這時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)方程為： （4.41） 式中：和為最大振幅初相位。由初始條件決定。為阻尼因子，為阻尼振動(dòng)時(shí)的圓頻率。阻尼振動(dòng)的周期： （4.42）式中的無阻尼時(shí)，擺球振動(dòng)的固有頻率設(shè) （4.43）由 (4.3)式 （4.44）將(4.44)式代入（4.42）中，有： 因而重力加速度： 將（4.43）代入上式，并略去高次項(xiàng)： 由(4.41)式可見：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)的振幅隨時(shí)間衰減，振幅越小，說明阻尼越小，振幅隨時(shí)間衰減越慢；越大，說明阻尼越大，振幅隨時(shí)間衰減越快。設(shè)t時(shí)刻和（t+nt）時(shí)刻的振幅分別為： 式中n為正整數(shù)。則有： 對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得：ln=令t=0，所以 根據(jù)上式，利用振幅的衰減，就可以測(cè)量空氣對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)阻尼因數(shù) 2.5 數(shù)據(jù)處理作圖 可作l-（50T）2，（50T）2l，lT2，T2l或者lT的對(duì)數(shù)圖等，得直線這時(shí)式得到驗(yàn)證，圖不必包括原點(diǎn)，從斜率或截距可以求g；如果要求用作圖法驗(yàn)證單擺公式，則必須滿足：（1）圖為一直線；（2）過原點(diǎn)；（3）從圖中的斜率或截距可以求得g與已知實(shí)際g值相等。2.5.2 回歸法及其他 可以用回歸法，平均法，差值法求g。對(duì)于4位以上的精度要求不能用作圖法如果使擺長(zhǎng)改變?yōu)榈乳g距的，可用逐差法或回歸的簡(jiǎn)便方法。2.5