2016新課標三維人教B版數(shù)學選修1-12.1橢圓

1、_2.1橢_圓21.1橢圓的標準方程橢圓的定義取一條定長的無彈性的細繩，把它的兩端分別固定在圖板的兩點F1、F2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖問題1：若繩長等于兩點F1、F2的距離，畫出的軌跡是什么曲線？提示：線段F1F2.問題2：若繩長L大于兩點F1、F2的距離，移動筆尖(動點M)滿足的幾何條件是什么？提示：|MF1|MF2|L.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.橢圓的標準方程在平面直角坐標系中，若A(4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，4)問題1：若|PA|

2、PB|10，則P點的軌跡方程是什么？提示：軌跡方程為1.問題2：若|PC|PD|10，則P點的軌跡方程是什么？提示：1.橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦點坐標(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a、b、c的關(guān)系c2a2b21平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離和為常數(shù)，即|MF1|MF2|2a，當2a>|F1F2|時，軌跡是橢圓；當2a|F1F2|時，軌跡是一條線段F1F2；當2a<|F1F2|時，軌跡不存在2標準方程中根據(jù)x2，y2對應(yīng)的分母的大小可以確定橢圓的焦點在哪條坐標軸上，x2對應(yīng)的分母大，焦點就在

3、x軸上；y2對應(yīng)的分母大，焦點就在y軸上3標準方程中的兩個參數(shù)a，b確定了橢圓的形狀和大小，是橢圓定形的條件a，b，c三個量滿足：a2b2c2，恰好是一個直角三角形的三條邊，構(gòu)成如圖所示的直角三角形，稱為橢圓的“特征三角形”橢圓的特征三角形清晰地反映了參數(shù)a，b，c的幾何意義橢圓的定義的應(yīng)用例1如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點P在第二象限，且PF1F2120°，求PF1F2的面積思路點撥由橢圓的定義和余弦定理分別建立關(guān)于|PF1|和|PF2|的方程，解方程組求得|PF1|，再用面積公式求解精解詳析由已知a2，b，得c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2

4、|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120°××2×，即PF1F2的面積是.一點通橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1、F2構(gòu)成的F1PF2稱為焦點三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識對于求焦點三角形的面積，若已知F1PF2，可利用Sabsin C把|PF1|&

5、#183;|PF2|看成一個整體，利用定義|PF1|PF2|2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，這樣可以減少運算量1設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的焦點，P為橢圓上一點，則PF1F2的周長為()A16B18C20 D不確定解析：橢圓1中，a5，b3，c4.則PF1F2的周長為|PF1|PF2|F1F2|2×52×418.答案：B2已知橢圓1上的點M到該橢圓一個焦點F的距離為2，N是MF的中點，O為坐標原點，那么線段ON的長是()A2 B4C8 D.解析：設(shè)橢圓的另一個焦點為E，如圖則|MF|ME|10，|ME|8，又ON為MEF的中位線，|ON|ME|4.答案：B用待

6、定系數(shù)法求橢圓的標準方程例2求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點分別為(0，2)，(0,2)，經(jīng)過點(4,3)；(2)經(jīng)過兩點(2，)，.思路點撥求橢圓標準方程，先確定焦點位置，設(shè)出橢圓方程，再定量計算精解詳析(1)法一：因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設(shè)它的標準方程為1(ab0)由橢圓的定義知2a12，所以a6.又c2，所以b4.所以橢圓的標準方程為1.法二：因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設(shè)其標準方程為1(ab0)由題意得解得所以橢圓的標準方程為1.(2)法一：若橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標準方程為1.同理可得：焦點在y軸上的橢圓不存

7、在綜上，所求橢圓的標準方程為1.法二：設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A0，B0，AB)將兩點(2，)，代入，得解得所以所求橢圓的標準方程為1.一點通(1)確定橢圓方程的“定位”與“定量”(2)巧設(shè)橢圓方程若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2By21(A0，B0，AB)3已知橢圓的焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，且ac，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么橢圓的標準方程為_解析：根據(jù)橢圓的焦點在x軸上，可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，根據(jù)ABF2的周長為16得4a16，a4.ac，c2，則b2a2c21688

8、.故橢圓的標準方程為1.答案：14求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是(3,0)、(3,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10；(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)解：(1)橢圓的焦點在x軸上，設(shè)它的標準方程為1(a>b>0)2a10，a5.又c3，b2a2c2523216.所求橢圓的標準方程為1.(2)橢圓的焦點在y軸上，設(shè)它的標準方程為1(a>b>0)橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，故所求橢圓的標準方程為x21.與橢圓有關(guān)的軌跡問題例3(12分)如圖，圓C：(x1)2y225及點A(1,0)，Q為圓上一點，AQ的垂直平分線

9、交CQ于M，求點M的軌跡方程精解詳析由垂直平分線性質(zhì)可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|5.(6分)M點的軌跡為橢圓，其中2a5，焦點為C(1,0)，A(1,0)，a，c1，(8分)b2a2c21.所求軌跡方程為：1.(12分)一點通在求動點的軌跡方程時，要對動點仔細分析，當發(fā)現(xiàn)動點到兩定點的距離之和為定值且大于兩定點之間的距離時，由橢圓的定義知其軌跡是橢圓，這時可根據(jù)定值及兩定點的坐標分別求出a，c，即可寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫定義法5已知橢圓的兩焦點為F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，P為橢圓上的一點，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項

10、，該橢圓的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：|PF1|PF2|2|F1F2|2×48，2a8，a4，b2a2c216412，橢圓方程是1.答案：B6已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，求動圓圓心的軌跡方程解：如圖所示，設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意動圓M內(nèi)切于圓C1，|MC1|13r.圓M外切于圓C2，|MC2|3r.|MC1|MC2|16>|C1C2|8，動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求軌跡方程為1.1運用橢圓定義解題

11、時，一定要注意隱含條件a>c.2注意焦點分別在x軸和y軸上對應(yīng)的橢圓方程的區(qū)別和了解3求橢圓的標準方程常用的方法是定義法和待定系數(shù)法4解答與橢圓相關(guān)的求軌跡問題的一般思路是 1已知命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之和|PA|PB|2a，其中a為大于0的常數(shù)；命題乙：P點軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分且必要條件 D既不充分又不必要條件解析：若P點軌跡是橢圓，則一定有|PA|PB|2a(a>0，為常數(shù))，所以甲是乙的必要條件反過來，若|PA|PB|2a(a>0，為常數(shù))，P點軌跡不一定是橢圓，所以甲不是乙的充分條件，綜上，甲是乙的必要不

12、充分條件答案：B2設(shè)P是橢圓1上一點，P到兩焦點F1、F2的距離之差為2，則PF1F2是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形解析：由橢圓定義知|PF1|PF2|2a8.又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3.又|F1F2|2c24，PF1F2為直角三角形答案：B3以圓(x1)2y21的圓心為橢圓的右焦點，且過點的橢圓的標準方程為()A.1 B.1C.y21 Dx21解析：由已知c1，且焦點在x軸上，設(shè)橢圓方程為1，將點代入求得a24或a2(舍去)故所求橢圓的標準方程為1.答案：B4若方程1表示焦點在y軸上的橢圓，則銳角的取值范圍是()A. B.C. D.解析

13、：方程1表示焦點在y軸上的橢圓，8sin >4，sin >.為銳角，<<.答案：C5已知橢圓的中心在原點，一個焦點為(0，2)且a2b，則橢圓的標準方程為_解析：c2，a24b2，a2b23b2c212，b24，a216.又焦點在y軸上，標準方程為1.答案：16橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|4，則|PF2|_，F(xiàn)1PF2的大小為_解析：a29，b22，c，|F1F2|2.又|PF1|4，|PF1|PF2|2a6，|PF2|2.又由余弦定理得cosF1PF2，F(xiàn)1PF2120°.答案：2120°7求適合下列條件的橢圓的方程(1)焦

14、點在x軸上，且經(jīng)過點(2,0)和點；(2)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P(0，10)，點P到離它較近的一個焦點的距離等于2.解：(1)橢圓焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標準方程為1(a>b>0)橢圓經(jīng)過(2,0)和，所求橢圓的標準方程為y21.(2)橢圓的焦點在y軸上，設(shè)它的標準方程為1(a>b>0)P(0，10)在橢圓上，a10.P到離它較近的一個焦點的距離為2，c(10)2，c8，b2a2c236，橢圓的標準方程為1.8一動圓過定點A(2,0)，且與定圓x24xy2320內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程解：將圓的方程化為標準形式為(x2)2y262，圓心坐標為B(2,0)，

15、半徑為6，如圖：由于動圓M與已知圓B相內(nèi)切，設(shè)切點為C.已知圓(大圓)半徑與動圓(小圓)半徑之差等于兩圓心的距離，即|BC|MC|BM|，而|BC|6，|CM|AM|，|BM|AM|6.根據(jù)橢圓的定義知M的軌跡是以點B(2,0)和點A(2,0)為焦點的橢圓，且2a6.a3，c2，b，所求圓心的軌跡方程為1.21.2橢圓的幾何性質(zhì)圖中橢圓的標準方程為1(a>b>0)問題1：橢圓具有對稱性嗎？提示：有，橢圓是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，也是以x軸，y軸為對稱軸的軸對稱圖形問題2：可以求出橢圓與坐標軸的交點坐標嗎？提示：可以，令y0得x±a，故A1(a,0)，A2(a,0)

16、，同理可得B1(0，b)，B2(0，b)問題3：橢圓方程中x，y的取值范圍是什么？提示：xa，a，yb，b問題4：當a的值不變，b逐漸變小時，橢圓的形狀有何變化？提示：b越小，橢圓越扁橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程1(ab0)1(ab0)范圍axa且bybbxb且aya頂點A1(a,0)、A2(a,0)，B1(0，b)、B2(0，b)A1(0，a)、A2(0，a)，B1(b,0)、B2(b,0)軸長短軸長2b，長軸長2a焦點F1(c,0)、F2(c,0)F1(0，c)、F2(0，c)焦距|F1F2|2c對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)離心率e(0&l

17、t;e<1)當橢圓的離心率越接近于1，則橢圓越扁；當橢圓離心率越接近于0，則橢圓越接近于圓1橢圓的范圍決定了橢圓的大小，即橢圓1位于四條直線x±a，y±b圍成的矩形內(nèi)2橢圓的頂點是它與坐標軸的交點，所以必有兩個頂點與焦點在同一條直線上，且這兩個頂點對應(yīng)的線段為橢圓的長軸，因此橢圓的長軸恒在焦點所在的坐標軸上3橢圓中的基本關(guān)系：(1)焦點、中心和短軸端點構(gòu)成直角三角形，三邊滿足a2b2c2；(2)焦點到長軸鄰近頂點的距離為ac(又稱近地距離)，到長軸另一頂點的距離為ac(常稱為遠地距離)橢圓的幾何性質(zhì)例1求橢圓16x225y2400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的

18、坐標思路點撥化為標準方程，確定焦點位置及a，b，c的值，再研究相應(yīng)的幾何性質(zhì)精解詳析把已知方程化成標準方程1，可知a5，b4，所以 c3.因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是2a10和2b8，離心率e，兩個焦點分別是F1(3,0)和F2(3,0)，橢圓的四個頂點是A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，4)和B2(0,4)一點通已知橢圓的方程討論其性質(zhì)時，應(yīng)先將方程化成標準形式，不確定的要分類討論，找準a與b，才能正確地寫出焦點坐標、頂點坐標等1若橢圓y21(a>0)的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.解析：由橢圓方程知長軸長為2a，短軸長為2，2a2

19、×24，a2，c ，e.答案：A2已知橢圓C1：1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C2的焦點在y軸上(1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點坐標及離心率；(2)寫出橢圓C2的方程，并研究其范圍、對稱性、頂點、焦距、軸長及離心率e.解：(1)由橢圓C1：1可得其長半軸長為10，短半軸長為8，焦點坐標(6,0)，(6,0)，離心率e；(2)由題意可得橢圓C2：1，范圍：8x8，10y10；對稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點對稱；頂點：長軸端點(0,10)，(0，10)，短軸端點(8,0)，(8,0)；焦距：12；軸長：長軸長為20，短軸長為16；離心率：e.利用橢圓的幾

20、何性質(zhì)求標準方程例2求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)長軸長是10，離心率是；(2)在x軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.思路點撥解答本題可先由已知信息判斷焦點所在坐標軸并設(shè)出標準方程，再利用待定系數(shù)法求參數(shù)a，b，c.精解詳析(1)設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)由已知得2a10，a5.e，c4.b2a2c225169.橢圓方程為1或1.(2)依題意可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)如圖所示，A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218，故所求

21、橢圓的方程為1.一點通利用性質(zhì)求橢圓的標準方程，通常采用待定系數(shù)法，而其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定其標準方程的形式并列出關(guān)于參數(shù)的方程，解方程(組)求得參數(shù)3(廣東高考)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由右焦點為F(1,0)可知c1，因為離心率等于，即，故a2，由a2b2c2知b23，故橢圓C的方程為1.故選D.答案：D4求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)與橢圓4x29y236有相同的焦距，且離心率為；(2)長軸長是短軸長的2倍，且過點(2，4)解：(1)將方程4x29y236化為1，可得橢圓焦距為2c2，又因為離心率

22、e，即，所以a5，從而b2a2c225520.若橢圓焦點在x軸上，則其方程為1；若橢圓焦點在y軸上，則其方程為1.(2)依題意2a2·2b，即a2b.若橢圓焦點在x軸上，設(shè)其方程為1(a>b>0)，則有解得所以橢圓方程為1；若橢圓焦點在y軸上，設(shè)其方程為1(a>b>0)，則有解得所以橢圓方程為1.求橢圓的離心率例3(新課標全國卷)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為()A. B.C. D.思路點撥通過已知條件PF2F1F2，PF1F230°，得到RtPF1F2中邊

23、的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義建立參數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，進而求出橢圓的離心率精解詳析在RtPF2F1中，令|PF2|1，因為PF1F230°，所以|PF1|2，|F1F2|.所以e.答案D一點通求離心率的值或取值范圍是一類重要問題，解決這類問題通常有兩種辦法：(1)定義法：若給定橢圓的方程，則根據(jù)焦點位置確定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e直接求解(2)方程法：若橢圓的方程未知，則根據(jù)條件建立a，b，c滿足的關(guān)系式，化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍5橢圓1的離心率為()A. B.C. D.解

24、析：由1可得a216，b28，c2a2b28.e2.e.答案：D6已知橢圓1(a0，b0) 的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，若BFBA，則稱其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為_解析：根據(jù)題意，|AB|2a2b2，|BF|a，|AF|ac，在RtABF中，有(ac)2a2b2a2，化簡得c2aca20，等式兩邊同除以a2，得e2e10，解得e.又0e1，e.答案：1已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標準形式，應(yīng)先化成標準形式2根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可以求橢圓的標準方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系數(shù)法在橢圓的基本量中，能確定類型的量有焦點、頂點，而不能確定類型的

25、量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距3求橢圓的離心率要注意函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1若中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是()A.1B.1C.1D.1解析：由已知得a9,2c·2a，ca3.又焦點在x軸上，橢圓方程為1.答案：A2若一個橢圓的長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A. B.C. D.解析：由題意有2a2c4b，即ac2b.又c2a2b2，5c23a22ac，即5e22e30.解之得e或e1(舍)答案：B3(新課標全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，P為直線x上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()A. B.C. D.解析：由題意可得|PF2|F1F2|，所以22c，所以3a4c，所以e.答案：C4已知橢圓1(a>b>0)的離心率是，過橢圓上一點M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點，且斜率分別為k1，k2，若點A，B關(guān)于原點對稱，則k1·k2的值為()A3 B3C D.解析：設(shè)點M(x，y)，A(x1，y1)，B(x1，y1)，則y2b2，yb2.所以k1·k2·1e21，即