不定積分的概念與基本公式教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)教案課程名稱高等數(shù)學(xué)教師姓名教 研 室數(shù)理教研室教學(xué)對(duì)象授課時(shí)間2014.11.25 星期二第1 節(jié)教學(xué)內(nèi)容4.1 不定積分的概念與基本公式學(xué)時(shí)數(shù)2教 材高等數(shù)學(xué)教學(xué)目的理解原函數(shù)、不定積分的概念理解不定積分的幾何意義、物理意義及經(jīng)濟(jì)意義并能應(yīng)用不定積分解決簡(jiǎn)單問題熟練掌握基本積分公式熟練掌握直接積分法教學(xué)內(nèi)容提要1.原函數(shù)的概念2.不定積分的概念3.不定積分的幾何意義、物理意義及經(jīng)濟(jì)意義4.基本積分公式5直接積分法重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：不定積分的概念、基本積分公式、直接積分法難點(diǎn)：不定積分的概念更新補(bǔ)充刪節(jié)內(nèi)容教學(xué)組織與設(shè)計(jì)一、新課引入二、

2、新課講授三、舉例應(yīng)用四、課堂練習(xí)五、課堂小結(jié)六、布置作業(yè)作業(yè)習(xí)題4主任意見教學(xué)實(shí)施情況小結(jié)§51不定積分的概念與基本公式（第一節(jié)課）引入：教師：請(qǐng)一位同學(xué)走到教室門口，然后再倒退著走回來。教師問：倒過來走是什么感覺，有沒有體會(huì)到和正常走路不一樣？學(xué)生答：不一樣。教師：相對(duì)于正著走，倒過來走是一種逆向過程，就如同數(shù)學(xué)里：加與減，乘與除互為逆運(yùn)算一樣。那么和我們前面學(xué)過的求導(dǎo)數(shù)相對(duì)的又是什么呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“不定積分”。要學(xué)習(xí)“不定積分”，需要一點(diǎn)剛才那樣“倒著走”的逆向思維。教師：正因?yàn)榈怪卟涣?xí)慣，因此我們先要通過練習(xí)來加以鞏固，慢慢地尋找感覺。已知導(dǎo)函數(shù)要求在括號(hào)里填寫被

3、求導(dǎo)之前原來的函數(shù)。(1) (9) (2) (10) (3) (11) (4) (12) (5) (13) (6) (14) (7) (15) (8) 被求導(dǎo)之前原來的函數(shù)我們給它一個(gè)簡(jiǎn)稱：原函數(shù)。一、原函數(shù)的概念1、定義：若在某區(qū)間，則稱的一個(gè)原函數(shù)。如：是的一個(gè)原函數(shù)問：原函數(shù)加上一個(gè)常數(shù)還是原函數(shù)嗎？答：，等也是的原函數(shù)。2、一般地，若有一個(gè)原函數(shù)，則有無數(shù)個(gè)原函數(shù)。問：是否能表示的全部原函數(shù)？答：能，證明如下設(shè)為的任一原函數(shù)即故3、定理：若有一個(gè)原函數(shù)，則表示的所有原函數(shù)。這的所有原函數(shù)，我們給它一個(gè)名稱：不定積分。二、不定積分的概念1定義：若在某區(qū)間，則稱為的不定積分，記作，即。其中

4、積分號(hào)（寫法是拉長(zhǎng)的S），被積函數(shù)，被積表達(dá)式，積分變量，積分常數(shù)。注1：積分常數(shù)不可丟，否則只得到一個(gè)原函數(shù)，而不定積分表示一個(gè)函數(shù)的所有原函數(shù)。注2：檢驗(yàn)積分做得對(duì)不對(duì)，只需要看原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)。例1(1)(2)(3)(4)例2.驗(yàn)證積分(1)(2)2不定積分與導(dǎo)數(shù)、微分的關(guān)系(1)，(2)，這說明求不定積分與求導(dǎo)、求不定積分與求微分是互為逆運(yùn)算（除了相差一個(gè)積分常數(shù)外）例3求(1) (2) (1)(2)什么樣的函數(shù)一定有不定積分？3不定積分存在的充分條件：連續(xù)函數(shù)一定有不定積分。自問：除了連續(xù)函數(shù)，還有其他函數(shù)會(huì)有不定積分嗎？自答：其他函數(shù)也可能會(huì)有不定積分。三、不定積分的幾

5、何意義、物理意義及經(jīng)濟(jì)意義1、幾何意義：的圖形是一族積分曲線，在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)它們的切線彼此平行。例4已知某曲線上任一點(diǎn)處切線的斜率為，(1)求該曲線方程;(2)若此曲線過，求該曲線方程。解：(1)設(shè)曲線方程為，則，該曲線方程為。（2）由，得，所以該曲線方程為。2、物理意義：若變速直線運(yùn)動(dòng)物體速度，則運(yùn)動(dòng)方程。例5 某物體從靜止開始作自由落體運(yùn)動(dòng)，其速度為，求運(yùn)動(dòng)方程。解：，把代入得，所以。3、經(jīng)濟(jì)意義：邊際成本的積分是成本，邊際收益的積分是收益，邊際利潤(rùn)的積分是利潤(rùn)。例6 某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本是1000元，邊際成本是元，求成本。解：，由知所以四、基本積分公式對(duì)照求導(dǎo)公式，邊問邊答邊寫：

6、12345678910111213課堂小結(jié)1.原函數(shù)的概念（被求導(dǎo)之前原來的函數(shù)、不唯一、+C表示全部原函數(shù)）2.不定積分的概念（所有原函數(shù)、與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算、怎么驗(yàn)證）3.不定積分的幾何意義、物理意義及經(jīng)濟(jì)意義（是不定積分運(yùn)用的落腳點(diǎn)）4.基本積分公式（利用導(dǎo)數(shù)公式逆推，熟練掌握）布置作業(yè) 習(xí)題4 P86 1 2直接積分法 （第二節(jié)課）一、 復(fù)習(xí)回顧1、 定義 的全體原函數(shù)所具有的一般形式 2、 基本公式（）3、 運(yùn)算性質(zhì) 二、新課講授直接積分法利用變形湊成公式形狀的積分例1、解：原式= =積分運(yùn)算的性質(zhì)只有關(guān)于函數(shù)的加減法的積分，如果遇到函數(shù)間的乘除法的積分該如何處理？例2、解：原式例3、解：原式=【貼士】同底的冪、同指數(shù)的冪可用指數(shù)的性質(zhì)加以合并，進(jìn)而化為加減形式例4、解：原式例5、（可略講）解：原式=【貼士】“”形可以通過加減常數(shù)、通分的逆運(yùn)算等辦法化為與的和差形式積分公式中有許多三角函數(shù)形式，碰到三角函數(shù)形式的積分運(yùn)算常常會(huì)用到高中所學(xué)的三角恒等關(guān)系例6、求解：原式=例7、求解：原式【貼士】常用恒等公式： 例8、求解：原式=例9、求解：原式【貼士】常用恒等公式：練習(xí)鞏固：計(jì)算下列積分 課堂小結(jié)：由這一節(jié)得到的求