與二次函數(shù)與三角形面積或相似問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1、如圖2，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；xyO3911AB圖2（3）點(diǎn)P（m，m）與點(diǎn)Q均在該函數(shù)圖像上（其中m0），且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求m的值及點(diǎn)Q 到x軸的距離解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入得解得 二次函數(shù)的表達(dá)式為 （2）對(duì)稱(chēng)軸為；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-10）（3）將（m，m）代入，得 ，解得m0，不合題意，舍去m=6點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)Q到x軸的距離為62、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）

2、.拋物線(xiàn)y=ax2+bx過(guò)A、C兩點(diǎn). (1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線(xiàn)的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線(xiàn)段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線(xiàn)段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過(guò)點(diǎn)P作PEAB交AC于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)E作EFAD于點(diǎn)F，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)G.當(dāng)t為何值時(shí)，線(xiàn)段EG最長(zhǎng)?連接EQ在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得CEQ是等腰三角形?請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的t值.解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8） 1分將A (4，8)、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2+

3、4x 3分（2）在RtAPE和RtABC中，tanPAE=,即=PE=AP=tPB=8-t點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+t，8-t）.點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. 5分EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.-0，當(dāng)t=4時(shí)，線(xiàn)段EG最長(zhǎng)為2. 7分共有三個(gè)時(shí)刻. 8分t1=， t2=，t3= 11分3，已知二次函數(shù)解析式為y=-2x-3, 與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)。問(wèn)：是否存在直線(xiàn)y=kx+b交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，使y軸平分CPQ的面積，若存在，求出k、b滿(mǎn)足的條件。若不存在，說(shuō)明理由。答：存在k=-2，b-3使y軸平分CPQ的面積。解：過(guò)P作PMy軸于M，Q

4、Ny軸于NXYy軸平分CPQ的面積=PM=QN -=聯(lián)立-（2+k）x-3-b=0+=2+k=0 k=-2又=-3-b0 b-3反思： 這類(lèi)題其實(shí)根據(jù)所給出的幾何特性：y軸平分CPQ面積，將等分面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段相等的問(wèn)題，即P、Q到y(tǒng)軸的距離相等，再將線(xiàn)段相等轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，即：-=建立方程，得出本題的解，完成了從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。,4、已知二次函數(shù)。（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)。（2）設(shè)a0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式。（3）若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐

5、標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。解（1）因?yàn)?所以不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)。（2分）（2）設(shè)x1、x2是的兩個(gè)根，則，因兩交點(diǎn)的距離是，所以。（4分）即：變形為：（5分）所以：整理得：解方程得：又因?yàn)椋篴 Py=4，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4= x2-2x-3=4,或者x2-2x-3=-4當(dāng)x2-2x-3=4時(shí)，x=1+22或者x=1-22當(dāng)x2-2x-3=-4時(shí)，x=1 P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+22，4)或(1-22，4)或(1，-4)（3）由前面的計(jì)算可以得到，C(0,-3),且拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1 令Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q(1，y)那么，QAC的周長(zhǎng)=QA+QC+AC=(y+4)+1+(y+3)+10

6、可以看出，要使得QAC的周長(zhǎng)最小，即只要保證(y+4)+1+(y+3)最小即可令f(y)=(y+4)+1+(y+3),在f(y)=0得到y(tǒng)=-2,此時(shí)f(y)有最小值，也即是QAC的周長(zhǎng)有最小值。此時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q(1,-2)5、如圖5，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（1,0），與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）.（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式.（2）A、B是軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B間的距離為AB=4，A在B的左邊，過(guò)A作AD軸交拋物線(xiàn)于D，過(guò)B作BC軸交拋物線(xiàn)于C. 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（,0），四邊形ABCD的面積為S. 求S與之間的函數(shù)關(guān)系式. 求四邊形ABCD的最小面積，此時(shí)四邊形ABCD是什么四邊形？ 當(dāng)四

7、邊形ABCD面積最小時(shí)，在對(duì)角線(xiàn)BD上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PAE的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及這時(shí)PAE的周長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.EO1備用圖D圖5EBACO1EO1DBACP5、（1） 拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為F（1,0） （1分） 該拋線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（0,1） ， 即所求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為. （2） A點(diǎn)的坐標(biāo)為（,0）, AB=4，且點(diǎn)C、D在拋物線(xiàn)上， B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2). . . 當(dāng)=-1時(shí)，四邊形ABCD的最小面積為16， 此時(shí)AD=BC=AB=DC=4，四邊形ABCD是正方形. 當(dāng)四邊形ABCD的面積最小時(shí)，四邊形ABC

8、D是正方形，其對(duì)角線(xiàn)BD上存在點(diǎn)P, 使得PAE的周長(zhǎng)最小. AE=4（定值），要使PAE的周長(zhǎng)最小，只需PA+PE最小. 此時(shí)四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),由幾何知識(shí)可知，P是直線(xiàn)CE與正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)BD的交點(diǎn). 點(diǎn)E、B、C、D的坐標(biāo)分別為（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） 直線(xiàn)BD，EC的函數(shù)關(guān)系式分別為：y=-x+3, y=2x-2. P(,) 在RtCEB中，CE=, PAE的最小周長(zhǎng)=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+. 已知拋物線(xiàn)交x軸于A(yíng)(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D （1）求b、c的值并寫(xiě)出拋物

9、線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；（2）連接BC，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)OEBC交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E求證：四邊形ODBE是等腰梯形；（3）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【關(guān)鍵詞】拋物線(xiàn)關(guān)系式及圖形的存在性問(wèn)題【答案】（1）求出：，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=2 3分(2) 拋物線(xiàn)的解析式為，易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)F，易得F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），連接OD，DB，BEOBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），BOE= OBD= OEBD四邊形ODBE是梯形 5分在和中，OD

10、= ，BE=OD= BE四邊形ODBE是等腰梯形 7分(3) 存在， 8分由題意得： 9分設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，y），由題意得：=當(dāng)y=1時(shí)，即， ， ，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，1）或(2-，1) 11分當(dāng)y=-1時(shí)，即， x=2，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）綜上所述，拋物線(xiàn)上存在三點(diǎn)Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）使得= 12分EFQ1Q3Q2如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)作CD平行于軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并求AD、BC的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，連結(jié)C、D，判斷四邊形CEDP的形狀，并說(shuō)明理由.【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)、一次函數(shù)、菱形的判定【答案】 由于拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為，則，解得拋物線(xiàn)的解析式為 的坐標(biāo)為 直線(xiàn)的解析式為直線(xiàn)的解析式為由求得交點(diǎn)的坐標(biāo)為 連結(jié)交于，的坐標(biāo)為又，且四邊形是菱形如圖，已知拋物線(xiàn)與交于A(yíng)(1，0)、E(3，0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)B(0，3)。（1） 求拋物線(xiàn)的解析式；（2） 設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；（3） AOB與DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。2