與二次函數(shù)與三角形面積或相似問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1、如圖2，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A和點B（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；xyO3911AB圖2（3）點P（m，m）與點Q均在該函數(shù)圖像上（其中m0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q 到x軸的距離解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入得解得 二次函數(shù)的表達式為 （2）對稱軸為；頂點坐標為（2，-10）（3）將（m，m）代入，得 ，解得m0，不合題意，舍去m=6點P與點Q關于對稱軸對稱，點Q到x軸的距離為62、如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）

2、.拋物線y=ax2+bx過A、C兩點. (1)直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；(2)動點P從點A出發(fā)沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向終點D運動速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒.過點P作PEAB交AC于點E.過點E作EFAD于點F，交拋物線于點G.當t為何值時，線段EG最長?連接EQ在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應的t值.解：(1)點A的坐標為（4，8） 1分將A (4，8)、C（8，0）兩點坐標分別代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4拋物線的解析式為：y=-x2+

3、4x 3分（2）在RtAPE和RtABC中，tanPAE=,即=PE=AP=tPB=8-t點的坐標為（4+t，8-t）.點G的縱坐標為：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. 5分EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.-0，當t=4時，線段EG最長為2. 7分共有三個時刻. 8分t1=， t2=，t3= 11分3，已知二次函數(shù)解析式為y=-2x-3, 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點。問：是否存在直線y=kx+b交拋物線于P、Q兩點，使y軸平分CPQ的面積，若存在，求出k、b滿足的條件。若不存在，說明理由。答：存在k=-2，b-3使y軸平分CPQ的面積。解：過P作PMy軸于M，Q

4、Ny軸于NXYy軸平分CPQ的面積=PM=QN -=聯(lián)立-（2+k）x-3-b=0+=2+k=0 k=-2又=-3-b0 b-3反思： 這類題其實根據(jù)所給出的幾何特性：y軸平分CPQ面積，將等分面積的問題轉(zhuǎn)化為線段相等的問題，即P、Q到y(tǒng)軸的距離相等，再將線段相等轉(zhuǎn)化為點的坐標關系，即：-=建立方程，得出本題的解，完成了從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。,4、已知二次函數(shù)。（1）求證：不論a為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點。（2）設a0，當此函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數(shù)的解析式。（3）若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點，在函數(shù)圖象上是否存在點P，使得PAB的面積為，若存在求出P點坐

5、標，若不存在請說明理由。解（1）因為=所以不論a為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點。（2分）（2）設x1、x2是的兩個根，則，因兩交點的距離是，所以。（4分）即：變形為：（5分）所以：整理得：解方程得：又因為：a Py=4，即P點縱坐標為4= x2-2x-3=4,或者x2-2x-3=-4當x2-2x-3=4時，x=1+22或者x=1-22當x2-2x-3=-4時，x=1 P點坐標為(1+22，4)或(1-22，4)或(1，-4)（3）由前面的計算可以得到，C(0,-3),且拋物線的對稱軸為x=1 令Q點坐標為Q(1，y)那么，QAC的周長=QA+QC+AC=(y+4)+1+(y+3)+10

6、可以看出，要使得QAC的周長最小，即只要保證(y+4)+1+(y+3)最小即可令f(y)=(y+4)+1+(y+3),在f(y)=0得到y(tǒng)=-2,此時f(y)有最小值，也即是QAC的周長有最小值。此時，Q點坐標為Q(1,-2)5、如圖5，已知拋物線的頂點坐標為E（1,0），與軸的交點坐標為（0,1）.（1）求該拋物線的函數(shù)關系式.（2）A、B是軸上兩個動點，且A、B間的距離為AB=4，A在B的左邊，過A作AD軸交拋物線于D，過B作BC軸交拋物線于C. 設A點的坐標為（,0），四邊形ABCD的面積為S. 求S與之間的函數(shù)關系式. 求四邊形ABCD的最小面積，此時四邊形ABCD是什么四邊形？ 當四

7、邊形ABCD面積最小時，在對角線BD上是否存在這樣的點P，使得PAE的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及這時PAE的周長；若不存在，說明理由.EO1備用圖D圖5EBACO1EO1DBACP5、（1） 拋物線頂點為F（1,0） （1分） 該拋線經(jīng)過點E（0,1） ， 即所求拋物線的函數(shù)關系式為. （2） A點的坐標為（,0）, AB=4，且點C、D在拋物線上， B、C、D點的坐標分別為(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2). . . 當=-1時，四邊形ABCD的最小面積為16， 此時AD=BC=AB=DC=4，四邊形ABCD是正方形. 當四邊形ABCD的面積最小時，四邊形ABC

8、D是正方形，其對角線BD上存在點P, 使得PAE的周長最小. AE=4（定值），要使PAE的周長最小，只需PA+PE最小. 此時四邊形ABCD是正方形，點A與點C關于BD所在直線對稱,由幾何知識可知，P是直線CE與正方形ABCD對角線BD的交點. 點E、B、C、D的坐標分別為（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） 直線BD，EC的函數(shù)關系式分別為：y=-x+3, y=2x-2. P(,) 在RtCEB中，CE=, PAE的最小周長=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+. 已知拋物線交x軸于A(1,0)、B(3,0)兩點，交y軸于點C，其頂點為D （1）求b、c的值并寫出拋物

9、線的對稱軸；（2）連接BC，過點O作直線OEBC交拋物線的對稱軸于點E求證：四邊形ODBE是等腰梯形；（3）拋物線上是否存在點Q，使得OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由【關鍵詞】拋物線關系式及圖形的存在性問題【答案】（1）求出：，拋物線的對稱軸為：x=2 3分(2) 拋物線的解析式為，易得C點坐標為（0，3），D點坐標為（2，-1）設拋物線的對稱軸DE交x軸于點F，易得F點坐標為（2，0），連接OD，DB，BEOBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E點坐標為（2，2），BOE= OBD= OEBD四邊形ODBE是梯形 5分在和中，OD

10、= ，BE=OD= BE四邊形ODBE是等腰梯形 7分(3) 存在， 8分由題意得： 9分設點Q坐標為（x，y），由題意得：=當y=1時，即， ， ，Q點坐標為（2+，1）或(2-，1) 11分當y=-1時，即， x=2，Q點坐標為（2，-1）綜上所述，拋物線上存在三點Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）使得= 12分EFQ1Q3Q2如圖9，在平面直角坐標系中，已知A、B、C三點的坐標分別為A（2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)過點作CD平行于軸交拋物線于點D，寫出D點的坐標，并求AD、BC的交點E的坐標；(3)若拋物線的頂點為，連結(jié)C、D，判斷四邊形CEDP的形狀，并說明理由.【關鍵詞】二次函數(shù)、一次函數(shù)、菱形的判定【答案】 由于拋物線經(jīng)過點，可設拋物線的解析式為，則，解得拋物線的解析式為 的坐標為 直線的解析式為直線的解析式為由求得交點的坐標為 連結(jié)交于，的坐標為又，且四邊形是菱形如圖，已知拋物線與交于A(1，0)、E(3，0)兩點，與軸交于點B(0，3)。（1） 求拋物線的解析式；（2） 設拋物線頂點為D，求四邊形AEDB的面積；（3） AOB與DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。2