方向導數(shù)與梯

1、第六節(jié)方向導數(shù)與梯度在實際問題中，經(jīng)常需要研究函數(shù)在某點沿某一固定方向的變化率問題，例如我們所學習的函數(shù)的偏導數(shù)實際上就是點沿軸方向變化時函數(shù)的變化率，由此引入方向導數(shù)的概念。一、 方向導數(shù)我們以二元函數(shù)為例介紹方向導數(shù)。 不難看出函數(shù)沿方向的變化率可以用如下極限表示設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，為一向量，其單位向量為，自點引射線，方向與相同，由于是面上通過點且以為方向向量的直線，由解析幾何知射線的參數(shù)方程為。在上任意取一點，則。由于，所以到兩點間的距離為yLQPOx則函數(shù)在點處沿方向的變化率我們可以用函數(shù)增量與點到點的距離的比值當點沿直線趨于（即）時的極限來表示，該極限為函數(shù)在點處沿方向的變化

2、率，稱為方向導數(shù)。定義設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，是一非零向量，其單位向量為，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點處沿方向的方向導數(shù)，記作，即。由方向導數(shù)的定義可知，方向導數(shù)就是函數(shù)在點處沿方向的變化率。特別地，如果取，且存在，則。如果取，且存在，則。注意，反之未然。方向導數(shù)的計算本質(zhì)上仍然是一元函數(shù)導數(shù)的計算，因為若令，則，因而，。例1求在點處沿方向的方向導數(shù)。解這里，故設所以 當函數(shù)在點處可微時，方向導數(shù)可以由偏導數(shù)表示出來。所以有于是有如下定理定理設函數(shù)在點可微，向量的方向上的單位向量為，則有。設為別為軸、軸到方向的轉角，向量上的單位向量為，則例2 求函數(shù)在點處沿從到點的方向的方向導數(shù)。

3、解 ，。二元函數(shù)方向導數(shù)的定義及計算方法可以推廣到三元函數(shù)的情形，若可微，則它在空間一點沿方向（設三個方向角為）的方向導數(shù)為。例3設，求它在點沿方向的方向導數(shù)。解。方向導數(shù)的幾何意義：過直線：作平行于軸的平面，它與曲面所交的曲線記作。容易看出，表示割線相應于與向量的斜率，當時，割線相應于斜率即為在點處切線相應于斜率 二、 梯度1、梯度一般說來，一個函數(shù)在不同方向上的方向導數(shù)是不一樣的，這說明函數(shù)值沿不同的方向變化速度不同，在許多實際問題中經(jīng)常需要討論函數(shù)沿什么方向的變化率最大。設函數(shù)在可微，的單位向量為，由方向導數(shù)的計算公式顯然，當?shù)姆较蚝鸵恢聲r，方向導數(shù)達到最大值。為此我們介紹在物理上一個非

4、常有用的概念梯度。這里我們首先介紹二元函數(shù)的情形。定義設二元函數(shù)在可偏導，稱向量為函數(shù)在點的梯度（gradient），記為或，即梯度的方向是使方向導數(shù)取到最大值的方向，即為函數(shù)增加最快的方向，最大值為。例4 設。(1) 求出在點處從到方向的變化率。(2) 在點處沿什么方向具有最大增長率，最大增長率是多少？解(1)設是與同方向的單位向量，則又，所以。(2)在點處沿方向具有最大增長率，為。上面介紹的梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形。請大家自己寫出定義，并歸納出相應的結論。2、有勢場與梯度場場論是物理學即其他學科中常用的一個概念，所謂場是指某種物理量在平面或者空間區(qū)域中的一種分布，在數(shù)學上實際上是一個映射。數(shù)量場如果對于空間區(qū)域上定義了一個數(shù)量值函數(shù)，則稱定義了一個數(shù)量場，記為，或稱為一個數(shù)量場。向量場如果對于空間區(qū)域上定義了一個向量值函數(shù)，則稱在上定義了一個向量場，記為，或稱為一個向量場。簡單地說，場就是函數(shù)。數(shù)量場是數(shù)值函數(shù)；向量場就是向量值函數(shù)。場通常是空間坐標及時間的函數(shù)即為的函數(shù)，如果時間的影響可以忽略不計，則稱場為靜場或恒穩(wěn)場。一個數(shù)量值函數(shù)可以生成一個向量值函數(shù)稱為的梯度場。反之，如果某個向量場是某數(shù)量場的梯度場，即，則稱該向量場為有勢場，而稱為的勢函數(shù)。例6求數(shù)量場的梯度場，其中是一正常數(shù)，為原點到的距離。解，因而，如果記為與同方向的單位向量，即，則，物理上，上式