數(shù)學(xué)選修2131空間向量及其運(yùn)算

1、第三章 空間向量與立體幾何課標(biāo)要求1、了解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示2、掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)運(yùn)算，會判斷向量的共線（平行）與垂直3、能用向量方法證明線面位置關(guān)系的一些定理，能用向量方法解決線線、線面、面面夾角的計算問題。4、體會向量方法在研究幾何問題中的作用。§3.1空間向量及其運(yùn)算課標(biāo)要求1、經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程。層次：2.1 2、了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。層次：1.1 1.1 1.33、掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。層次：1.3 4、掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示

2、，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。層次：1.3 1.2學(xué)習(xí)目標(biāo)1、類比平面向量掌握空間向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算層次：1.2 1.32、掌握空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)形式，并能運(yùn)用它判斷向量的共線與垂直層次：1.3 1.2重點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算難點(diǎn)空間向量的數(shù)量積，并用其判斷向量的共線與垂直課時5課時教具背投、電腦3.1.1 空間向量及其加減運(yùn)算師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)空間向量及其加減運(yùn)算，請看學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解空間向量的概念，掌握其表示方法；會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡單的立體幾何中的問題師：在必修四第二章平面向量中

3、，我們學(xué)習(xí)了平面向量的一些知識，現(xiàn)在我們一起來復(fù)習(xí)。（不要翻書）（在黑板或背投上呈現(xiàn)或邊說邊寫）1、 在平面中，我們把具有_的量叫做平面向量；2、 平面向量的表示方法： 幾何表示法：_ 字母表示法：_（注意：向量手寫體一定要帶箭頭）3、 平面向量的模表示_，記作_4、 一些特殊的平面向量： 零向量：_，記作_（零向量的方向具有任意性） 單位向量：_（強(qiáng)調(diào)：都只限制了大小，不確定方向） 相等向量：_ 相反向量：_5、 平面向量的加法： 6、 平面向量的減法：7、平面向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，其長度和方向規(guī)定如下：(1)|a|a|(2)當(dāng)0時，a與a同向； 當(dāng)0時，a與a反向

4、； 當(dāng)0時，a0.8、向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律加法交換律：abba加法結(jié)合律：(ab)ca（bc）數(shù)乘分配律：(ab)ab 數(shù)乘結(jié)合律：（）=師：剛才我們復(fù)習(xí)了平面向量，那空間向量會是怎樣，與平面向量有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系呢?請同學(xué)們閱讀書P84-P86.（5分鐘）師：對比平面向量，我們得到空間向量的相關(guān)概念。（在剛復(fù)習(xí)的黑板或幻燈片上，只需將平面改成空間）師：空間向量與平面向量有什么聯(lián)系？生：向量在空間中是可以平移的空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示因此我們說空間任意兩個向量是共面的所以凡涉及空間兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。師空間向量加法的運(yùn)算律要注

5、意以下幾點(diǎn)：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量即：兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立因此，求始點(diǎn)相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則師：請同學(xué)們試著完成P85的探究。在平行六面體ABCD-ABCD中，AB+AD+ AA=ACAB+ AA+ AD= AC所以 （AB+AD）+AA=（AB+AA）+AD所以 三個不共面向量的和等于以該三個向量為鄰邊的平行六面體的體對角線所表示的向量。完成書P86的練習(xí)3師：下面來練習(xí)打開同步

6、P95 做 1、2、3、5師：今天的作業(yè)：1、同步P95 練習(xí)二十五 做完2、書P97 習(xí)題3.1 A組 1、2做書上反思：3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（可分兩課時）師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了空間向量的相關(guān)概念，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)共線向量與共面向量定理，請看學(xué)習(xí)目標(biāo)。（展示學(xué)習(xí)目標(biāo)）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；2掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公式師：請看自學(xué)指導(dǎo) 請同學(xué)們認(rèn)真閱讀書P86-87的內(nèi)容，怎樣的向量叫做共線向量？兩個向量共線的充要條件是什么？空間中點(diǎn)在直線上的充要條件是什么？什么叫做空間直線的向量表示式？怎樣的向量叫做共面向量？向量p與不

7、共線向量a、b共面的充要條件是什么？空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？（結(jié)合自學(xué)指導(dǎo)，略作解答）1、共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：注意：零向量與任意向量都是共線向量。2、共線向量定理：對空間任意兩個向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)，且平行于已知向量的直線，那么對任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則式可化為或（要知道這個推論的條件）師：如何證明這兩個推論呢？因?yàn)閘a，滿足AP=ta,又因AP=OP-OA,所以O(shè)P=OA

8、+ta,若在l上取AB=a，則有OP=OA+tAB，進(jìn)一步，因?yàn)锳B=OB-OA,所以O(shè)P=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB師：若當(dāng)時，點(diǎn)P是什么？向量OP會怎樣？生：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時師：所以把和都叫空間直線的向量表示式，也叫做空間直線的向量參數(shù)方程，是線段的中點(diǎn)公式師：結(jié)合推論的條件，請同學(xué)們思考，空間中的任意直線是由哪些因素確定的？生：空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定。師：共線向量定理及其推論有何應(yīng)用？生：與平面向量一樣，可以判斷空間任意三點(diǎn)共線。3、共面向量：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量師：根據(jù)定義，說明空間任意的兩向量都是共面的，為什么？

9、生：因?yàn)榭偪梢哉业揭粋€平面，使得這兩個向量和平面平行師：空間中任意三個向量是不是一定共面呢？什么情況下三個向量共面？生：不一定，比如（自舉例）。4共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有上面式叫做平面的向量表達(dá)式師：這與平面向量基本定理類似，a，b叫做基底，請同學(xué)們完成P87的探究前者與平面向量基本定理吻合，后者可結(jié)合圖3.1-9 講解（因?yàn)閤a，yb與a，b共線，所以xa，yb都在a，b確定的平面內(nèi)。又因?yàn)閤a+yb是以|xa|，|yb|為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，并且此平行

10、四邊形在a，b確定的平面內(nèi)，所以p=xa+yb在a，b確定的平面內(nèi)，即p與a，b共面。）師：共面向量定理和推論有何應(yīng)用？生：可以判斷四點(diǎn)共面。師生共同完成例1補(bǔ)充：證明平面AC平面EG。（選講），又，所以，平面平面例2已知三點(diǎn)不共線，對平面外任一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？解：由題意：，即，所以，點(diǎn)與共面推廣：對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式 （其中）的四點(diǎn)是否共面？（仿照例2獨(dú)立完成，寫在練習(xí)本上或P88思考處，請一位同學(xué)上黑板板書）解：，點(diǎn)與點(diǎn)共面 注意：可作為結(jié)論來判斷四點(diǎn)共面。師：剩下時間請同學(xué)們完成P89 練習(xí)1、2、3師：我們一起來小結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容：（師生共同完

11、成）1、共線向量、共線向量定理及其推論，以此來判斷三點(diǎn)共線（與平面向量類似）2、共面向量、共面向量定理及其推論，可判斷空間四點(diǎn)共面。布置作業(yè)：同步P96 練習(xí)二十六 反思：3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）師：這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（板書）請看本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。展示學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)目標(biāo)：1掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題。師：目標(biāo)明確的同學(xué)請舉手。（老師根據(jù)情況進(jìn)行下一步）。請看自學(xué)指導(dǎo)。（展示自學(xué)指導(dǎo)）認(rèn)真閱讀書P90的內(nèi)容，完成下列問題。（時間5分鐘）1、空間兩個向量的夾角：已知兩個

12、_a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作_，則_叫做向量a與b的夾角，記作_,且規(guī)定夾角范圍為_.若夾角為90°，則稱a與b_，記作_；當(dāng)非零向量同向時夾角為_,反向時夾角為_.零向量與其他向量之間不定義夾角，所以約定：零向量與任何向量都共線，即_，在研究垂直時，也認(rèn)為0a.（空間向量的夾角特點(diǎn)：_2、兩個向量的數(shù)量積：a·b=_規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為_3、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：_交換律：_ 分配律：_師：通過看書，同學(xué)們已經(jīng)掌握了空間向量數(shù)量積的基本概念，請思考下面的問題。問題1：類比平面向量，你能說出a·b的幾何意義嗎？問題2：你能證明這些運(yùn)算定律嗎？（簡

13、要解釋）問題3：完成P90的思考。（2）向量沒有除法；（3）向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律師：請閱讀P91的例1、例2（5分鐘）這兩題都用向量法證明了三垂線定理和線面垂直的判斷定理，主要用到了空間向量aba·b=0這個結(jié)論。（在講例1時，請同學(xué)們仿照例1證明三垂線的逆定理）師：下面進(jìn)行當(dāng)堂訓(xùn)練。同步P100.11、12 注意：在用向量方法解決幾何問題時，可按下面的程序思考：（1）如何把已知的幾何條件轉(zhuǎn)化為向量表示？（2）未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？（3）如何對已經(jīng)表示出來的向量進(jìn)行運(yùn)算？獲得需要的結(jié)論？師：布置作業(yè)書P98.4 B組1同步練習(xí)二十九P101 10、11、12反

14、思：3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（二）師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了空間向量的數(shù)量積的概念，今天我們來運(yùn)用數(shù)量積求向量的模和夾角問題。類比平面向量，空間向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用：（帶領(lǐng)學(xué)生邊回憶邊寫）（用于判定垂直問題）（用于求模運(yùn)算問題）（用于求角運(yùn)算問題，）注意夾角范圍投影：b在a方向上的投影是_ a在b方向上的投影是_師：下面我們來練習(xí)（例題講練）1、已知，且與的夾角為，求當(dāng)m為何值時2、已知，則 。3、已知和是非零向量，且=，求與的夾角師：請同學(xué)們完成書P92 練習(xí)1、2、3（練習(xí)1求夾角，2、3求模長）總結(jié)方法：1、先確定求什么？2、用已知向量表示未知向量，代入計算師：作業(yè)1、書P98 3、5

15、2、同步 P99 練習(xí)二十八反思：3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示師：請同學(xué)們回憶平面向量如何坐標(biāo)化？生：利用正交分解，把平面中的任意一個向量分解成相互垂直的兩個向量，放到直角坐標(biāo)系中，可用平面向量基本定理表示成a=xi+yj=（x，y）就把向量坐標(biāo)化了。師：那對于空間向量是不是也一樣呢？請看本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)（出示目標(biāo)）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解空間向量的基本定理，并了解基向量的概念； 2、了解空間向量形式與坐標(biāo)形式的轉(zhuǎn)化。認(rèn)真閱讀書P92-94例1以上的內(nèi)容，回答下列問題。（時間7分鐘）（帶領(lǐng)學(xué)生簡單的把空間向量的正交分解過程和空間向量基本定理過一下）問題1：請用空間向量基本定理來正交分解

16、得到向量的坐標(biāo)形式。問題2：空間向量的基底有什么要求？基底和基向量有什么區(qū)別？問題3：單位正交基底有何要求？如何建立和畫直角坐標(biāo)系？師生共同解決：問題1結(jié)合書P93 圖3.1-15說明問題2應(yīng)明確以下幾點(diǎn)：空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底，任意向量都有無數(shù)組基底；基底中的三個向量都是非零向量；一個基底是由不共面的三個向量構(gòu)成，一個基向量是指基底中的某一個向量。（完成練習(xí)1）若把定理中的p、a、b、c分別用該向量的有向線段表示，就可以得到推論“設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則空間人一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC”當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z

17、=1時，P、A、B、C四點(diǎn)共線。（完成練習(xí)2）問題3要知道單位正交基底是三個基向量相互垂直，且長都為1，常用表示。所以單位正交基間的數(shù)量積：， 以的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz。畫圖時一般使用xOy=135°,yOz=90°。講解例4，先讓學(xué)生試著做，在略講，詳看書。師：下面我們當(dāng)堂訓(xùn)練。書P94 練習(xí)3師：作業(yè)同步練習(xí)二十七、練習(xí)二十九選擇題反思：3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示師：今天我們來學(xué)習(xí)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，與平面向量類似，只不過由二維變?nèi)S而已。請同學(xué)們快速閱讀書P95的內(nèi)容，然后我們來測試看誰記得又快又準(zhǔn)

18、。 ,則a+b=_ ；a-b=_；a·b=_ab_ab_|a|=_=_cos<a,b>=_=_若，則AB=_特別地，A與原點(diǎn)O的向量OA=_空間中兩點(diǎn)間距離公式=|AB|=_快速完成P97練習(xí)1、2師：將空間向量的運(yùn)算與向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來，不僅可以解決一些夾角和距離的計算問題，而且可以在立體幾何中運(yùn)用并使問題變得簡單，例如例4、例5。請同學(xué)們認(rèn)真分析這兩道例題，思考：在運(yùn)用空間向量解決幾何問題時應(yīng)注意什么？生：注意選擇垂直關(guān)系建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后將向量正確坐標(biāo)化，最后根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為向量間的夾角、模、垂直、平行問題。完成練習(xí)3師：布置作業(yè)書P98 7、8、9、10、11同步練習(xí)三十反思：習(xí)題課師：今天這節(jié)課我們上習(xí)題課，主要熟練空間向量的運(yùn)算，請同學(xué)們拿出同步，我們分題型來對應(yīng)練習(xí)。題型一、平行與垂直問題（復(fù)習(xí)相關(guān)概念或請同學(xué)回答）例、已知A（1,0,0），B（0,1,0